Avaliação 2 de Álgebra Linear - Transformações Lineares e Matrizes

Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca Ciclo Comum da Engenharia Unidade Nova Iguaçu Álgebra Linear Avaliação 2 Grupo 5 Professor Julius Monteiro Grupo 5 Data de início 17032022 Data de entrega 24032022 Atenção Respostas sem justicativas não serão consideradas Nota As soluções para as questões listadas nesta atividade devem ser construídas de forma colaborativa pelo grupo no canal especíco criado no Microsoft Teams Cada aluno postará uma contribuição com no máximo 10 da solução do problema por postagem Tais postagens fazem parte da avaliação individual de cada aluno Um mesmo aluno só pode realizar uma nova postagem depois de todos os outros alunos do grupo terem postado suas respectivas contribuições ou depois de 24 horas da sua própria postagem Um documento único deve ser entregue pelo grupo para que a nota do grupo possa ser dada Esta nota corresponderá a 40 da nota individual de cada integrante do grupo Considere a aplicação T P2 P2 dada por Ta bt ct2 a 3b 3c 3a 5b 3ct 3a 3b ct2 1 20 pontos Mostre que T é transformação linear 2 20 pontos Calcule a matriz A matriz de T com respeito à base canônica de P2 3 20 pontos Calcule os autovalores de A e os respectivos auto espaços 4 20 pontos Determine uma base de P2 formada por autovetores de T 5 10 pontos Construa detalhadamente a matriz de T com respeito à base obtida no item anterior 6 10 pontos Encontre uma matriz inversível P tal que P 1AP seja uma matriz diagonal assim diagonalizando o operador linear T Considere a aplicação T P2 P2 dada por Tω bt ct² 10 3b 3c 30 5b 3ct 30 3b ct² 1 Mostre que T é transformação linear 2 Calcule a matriz A matriz de T com respeito à base canônica de P2 Portant o matriz de T em relação à base cons tica de R³ é dado por Assim 1λ2λ² 0 λ₁ 1 ou λ₂ 2 Seja M o matriz ampliado do sistema então Para 𝜆1 2 temos 3𝜔 3b 3c 0 3𝜔 3b 3c 0 3𝜔 3b 3c 0 𝜔 b c 0 cuja a solução é 𝜔 b c b b c c Logo o autor vetor associado a 𝜆1 2 é do Forma m b c b c O auto espaço associado o 𝜆1 2 é dado por S𝜆1 a b c 𝜔 b c b c b c No Forma polinomial mt bc bt ct2 e S𝜆1 𝜔 bt ct2 P2 𝜔 b c Em resumo os autovalores de A são 𝜆1 1 e 𝜆2 2 com respectivos auto espaços S𝜆1 c c c ou no Forma polinomial S𝜆1 𝜔 bt ct2 P1 𝜔 c e b c S𝜆2 b c b c ou no Forma polinomial S𝜆2 𝜔 bt ct2 P1 𝜔 b c Se 𝜑 S𝜆1 então 𝜑t cc t ct2 c1 t t2 Logo S𝜆1 é gerado pelo polinômio 1 t t2 e assim temos que B1 1 t t2 é uma base de S𝜆1 Portanto B B1 B𝜆2 1 t t2 1 t 1 t2 é uma base de autovalores para P2 Dados λ₁ λ₂ λ₃ ℝ considere o equação 1 t t² λ₁1 t t² λ₂1 t λ₃1 t² au seja λ₁ λ₂ λ₃ 1 λ₁ λ₂ 1 λ₁ λ₃ 1 Seja M o matriz ampliado do sistema então M 1 1 1 1 λ₂ λ₂ λ₁ 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 2 1 λ₁ λ₁ λ₂ 1 1 1 1 λ₃ λ₃ dλ₂ 0 0 1 1 0 1 0 1 Logo λ₁ λ₂ 1 λ₃ 0 λ₁ 0 cuja solução é λ₁ 1 λ₂ 0 λ₃ 0 Logo λ₁ λ₂ d λ₃ 0 λ₂ d A solução é λ₁ 0 λ₂ d e λ₃ 0 logo as coordenadas de T1t em relação a B é dada por T1tᵇ 0 d 0 0 T1t 13 33t 31t² T1 t2 2 λt2 T1 t t2B 0 0 λ 6 Encontre uma matriz inversível P tal que P1AP D onde D é uma matriz diagonal e os colunas P correspondem Logo P 1 1 1 1 0 0 1 0 1 Dai P A P 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 2 4 2 2 2 0 1 0 0 D