Autovalores e Autovetores - Exercícios Resolvidos e Conceitos Chave

Marque as alternativas cujas afirmações são corretas Escolha uma ou mais Se λ é um autovalor de uma matriz A então o sistema linear A λIx 0 possui uma única solução Um autovalor de uma matriz não pode ser igual a 0 Se x é tal que Ax x 0 então x é um autovetor de A Se x é um autovetor de A tal que Ax x então o autovalor associado x pode ser igual a 0 Os autovetores da matriz A associados a um certo autovalor juntamente com o vetor nulo constituem um subespaço vetorial O polinômio característico da matriz 2 1 9 0 2 3 0 0 2 é pλ λ 2³ Dada uma matriz A qualquer vetor nãonulo é um autovetor de A Um autovetor da matriz A é um vetor nãonulo x tal que Ax é múltiplo de x Os autovlores de uma matriz A satisfazem a equação em λ detA λI 0 Sobre a matriz 2 1 1 0 2 1 0 0 3 é verdadeiro afirmar que Escolha uma ou mais a multiplicidade geométrica do autovalor 2 é igual a 1 a multiplicidade algébrica do autovalor 3 é igual a 1 a multiplicidade geométrica do autovalor 3 é igual a 2 a multiplicidade geométrica do autovalor 2 é igual a 2 a multiplicidade algébrica do autovalor 2 é igual a 2 A multiplicação da matriz R cos φ sin φ sin φ cos φ por um vetor u tem o efeito ilustrado a seguir Isto é R rotaciona qualquer vetor u de um ângulo φ 31 no sentido antihorário Nessas condições é correto afirmar que Escolha uma ou mais R possui autovalor nulo Se os vetores Ru e u são paralelos então u 0 Possui autovalor λ 31 R possui autovetores R não possui autovetores Se λ é um autovalor de uma matriz A então o sistema linear A λIx 0 possui uma única solução Falso Tome A 2I por exemplo Então λ 2 é autovalor de A e A 2Ix 0 tem infinitas soluções Um autovalor de uma matriz não pode ser igual a 0 Falso Tome A 0 1 0 0 Então A1 0 0 0 01 0 logo 0 é um autovalor de A Se x é tal que Ax x 0 então x é um autovetor de A Falso Tome A 0 1 1 0 Então se x 1 0 vale Ax 0 1 de forma que Ax x 01 10 0 e x não é autovetor de A Se x é um autovetor de A tal que Ax x então o autovalor associado a x pode ser igual a 0 Verdadeiro Tome A 0 1 0 0 e x 1 0 Então Ax 0 0 0x logo 0 é o autovalor associado ao autovetor x e Ax 0 x 1 Os autovetores da matriz A associados a um certo autovalor juntamente com o vetor nulo constituem um subespaço vetorial Verdadeiro Fixe λ autovalor de A matriz nxn O conjunto do enunciado associado a esse autovalor é S x Rn Ax λx Tome x y S ψ R Então Ax ψy Ax ψAy λx ψλy λx ψy logo x ψy S e portanto S é espaço vetorial O polinômio característico da matriz 2 1 9 0 2 3 0 0 2 é pλ λ 23 Verdadeiro O polinômio é dado por pλ detλI A onde A 2 1 9 0 2 3 0 0 2 Logo pλ detλ2 1 9 0 λ2 3 0 0 λ2 λ23 130 900 9λ20 1λ20 3λ20 λ23 Dada uma matriz A qualquer vetor nãonulo é um autovetor de A Falso Tome A 0 1 1 0 e x 1 0 Daí Ax 0 1 e não existe λ R tal que Ax λx Um autovetor da matriz A é um vetor nãonulo x tal que Ax é múltiplo de x Verdadeiro Essa é a definição de autovetor Os autovalores de uma matriz A satisfazem a equação em λ detA λI 0 Verdadeiro Todo autovalor é raiz do polinômio característico pλ detλI A Seja A 2 1 1 0 2 1 0 0 3 O polinômio característico de A é pλ λ 22 λ 3 Assim a multiplicidade algébrica de 2 é 2 e de 3 é 1 Então a multiplicidade geométrica de 3 é no máximo 1 logo não é 2 Queremos resolver agora Ax 2x isto é fazendo x x1 x2 x3T temos o sistema 0x1 x2 x3 0 0x1 0x2 x3 0 0x1 0x2 x3 0 cuja única solução é x 000 Logo a multiplicidade geométrica do 2 é 0 Assim marcamos os seguintes itens A multiplicidade algébrica do autovalor 3 é igual a 1 2 2 R possui autovalor nulo Falso Com R é matriz de rotação vale Rx x logo Rx 0 Rx 0 x 0 x 0 portanto 0 não é autovalor de R Se os vetores Ru e u são paralelos então u 0 Verdadeiro Por definição R rotaciona u Logo se u 0 Ru e u não são paralelos Possui autovalor λ 31 Falso Como Rx x x R2 se λ é autovalor de R vale Rv λv λ v e Rv v logo λ 1 e λ 31 com autovetor v R possui autovetores Falso Se v é autovetor de R então ve Rv são paralelos Pelo item ii vale v 0 logo v não é autovetor R não possui autovetores Verdadeiro