Algebra Linear - Exercicios Resolvidos e Sistemas Lineares - P1 2022-2

Considere o sistema linear S x1 3x2 x3 4x4 x5 x6 4x7 3 x1 3x2 2x3 6x4 x5 x6 2x7 6 x1 3x2 x3 4x4 3x5 x6 8x7 1 2x1 6x2 2x3 8x4 2x5 3x6 11x7 9 x1 3x2 x3 4x4 x5 x6 6x7 1 Calcule o posto da matriz dos coeficientes PostoA Calcule o posto da matriz associada ao Sistema Linear Matriz ampliada PostoM Calcule a nulidade da matriz dos coeficientes NulA Quanto ao espaçosolução do sistema linear se pode afirmar que O sistema linear é Atenção Responda I para Impossível não tem soluções PD para possível e determinado tem uma única solução PI para possível e indeterminado tem infinitas soluções ATIVIDADE ANTERIOR Teste preparatório para a P1 20222 Considere o sistema linear S 2x1 6x2 4x3 8x4 8 2x1 6x2 3x3 7x4 7 2x1 6x2 5x3 9x4 9 8x1 24x2 15x3 31x4 31 Escalone o sistema linear encontrando a forma de GaussJordan Em seguida calcule a solução do sistema linear colocando as soluções na forma x1 x2 x3 x4t P0 tu sv t s R onde P0 t u t v t Considere o sistema linear S x1 3x2 x3 2x4 x5 8 x1 3x2 2x3 x4 x5 5 3x1 9x2 x3 3x4 x5 1 2x1 6x2 2x3 2x4 3x5 16 Escalone o sistema linear encontrando a forma de GaussJordan Em seguida calcule a solução do sistema linear colocando as soluções na forma x1 x2 x3 x4 x5t P0 tu t R onde P0 t u t ATIVIDADE ANTERIOR Teste preparatório para a P1 20222 Algebra Linear Solucoes Solucao Arquivo 1 Vamos calcular O posto da matriz dos coeficientes 1 Subtrair linha 1 da linha 5 R5 R5 R1 1 3 1 4 1 1 4 0 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 2 2 10 Como o elemento na linha 2 e coluna 2 elemento pivô é igual a 0 precisamos trocar as linhas Encontre o primeiro elemento diferente de zero na coluna 2 sob a entrada do pivô Como pode ser visto não há tais entradas Mover para a próxima coluna Como o elemento na linha 3 e coluna 4 elemento pivô é igual a 0 precisamos trocar as linhas Encontre o primeiro elemento diferente de zero na coluna 4 sob a entrada do pivô Como pode ser visto não há tais entradas Mover para a próxima coluna Adicionar linha 3 remar 5 R5 R5 R3 1 3 1 4 1 1 4 0 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 2 6 Adicionar linha 3 remar 5 R5 R5 R3 1 3 1 4 1 1 4 0 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 2 6 Adicionar linha 4 multiplicado por 2 remar 5 R5 R5 2R4 1 3 1 4 1 1 4 0 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 Como o elemento na linha 5 e coluna 7 elemento pivô é igual a 0 precisamos trocar as linhas Encontre o primeiro elemento diferente de zero na coluna 7 sob a entrada do pivô Como pode ser visto não há tais entradas A forma escalonada por linhas é 1 3 1 4 1 1 4 0 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 A SOLUÇÃO A forma escalonada por linhas da matriz é 1 3 1 4 1 1 4 0 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 4 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 para etapas consulte calculadora rref O posto de uma matriz é o número de linhas diferentes de zero na matriz reduzida então o posto é 4 O posto da matriz ampliada Encontre a forma escalonada por linhas de 1 3 1 4 1 1 4 3 1 3 2 6 1 1 2 6 1 3 1 4 3 1 8 1 2 6 2 8 2 3 11 9 1 3 1 4 1 1 6 1 SOLUÇÃO Subtrair linha 1 da linha 2 R2 R2 R1 1 3 1 4 1 1 4 3 0 0 1 2 0 0 2 3 1 3 1 4 3 1 8 1 2 6 2 8 2 3 11 9 1 3 1 4 1 1 6 1 Subtrair linha 1 da linha 3 R3 R3 R1 1 3 1 4 1 1 4 3 0 0 1 2 0 0 2 3 0 0 0 0 2 0 4 2 2 6 2 8 2 3 11 9 1 3 1 4 1 1 6 1 Subtrair linha 1 multiplicado por 2 da linha 4 R4 R4 2R1 1 3 1 4 1 1 4 3 0 0 1 2 0 0 2 3 0 0 0 0 2 0 4 2 0 0 0 0 1 3 3 1 3 1 4 1 1 6 1 Subtrair linha 1 da linha 5 R5 R5 R1 Subtrair linha1da linha5 R5 R5 R1 1 3 1 4 1 1 4 3 0 0 1 2 0 0 2 3 0 0 0 0 2 0 4 2 0 0 0 0 0 1 3 3 0 0 0 0 2 2 10 4 Como o elemento na linha2e coluna2elemento pivô é igual a0 precisamos trocar as linhas Encontre o primeiro elemento diferente de zero na coluna2sob a entrada do pivô Como pode ser visto não há tais entradas Mover para a próxima coluna Como o elemento na linha3e coluna4elemento pivô é igual a0 precisamos trocar as linhas Encontre o primeiro elemento diferente de zero na coluna4sob a entrada do pivô Como pode ser visto não há tais entradas Mover para a próxima coluna Adicionar linha3remar5 R5 R5 R3 1 3 1 4 1 1 4 3 0 0 1 2 0 0 2 3 0 0 0 0 2 0 4 2 0 0 0 0 1 3 3 0 0 0 0 2 6 6 Adicionar linha4multiplicado por2remar5 R5 R5 2R4 1 3 1 4 1 1 4 3 0 0 1 2 0 0 2 3 0 0 0 0 2 0 4 2 0 0 0 0 1 3 3 0 0 0 0 0 0 0 Como o elemento na linha5e coluna7elemento pivô é igual a0 precisamos trocar as linhas Encontre o primeiro elemento diferente de zero na coluna7sob a entrada do pivô Como pode ser visto não há tais entradas Mover para a próxima coluna Como o elemento na linha5e coluna8elemento pivô é igual a0 precisamos trocar as linhas Encontre o primeiro elemento diferente de zero na coluna8sob a entrada do pivô Como pode ser visto não há tais entradas A nulidade da matriz dos coeficientes como A e uma matriz 5 7 de posto 4 entao sua nulidade e 7 4 3 Quanto ao espacosolucao do sistema linear se pode afirmar que o sistema linear e PI possıvel e indeterminado Solucao Arquivo 2 Vamos fazer o processo de Eliminacao de GaussJordan 6 Execute a eliminação GaussJordan de 1 3 1 2 1 8 1 3 2 1 1 5 3 9 1 3 1 1 2 6 2 2 3 16 SOLUÇÃO Adicionar linha1remar2 R2 R2 R1 1 3 1 2 1 8 0 0 3 3 2 13 3 9 1 3 1 1 2 6 2 2 3 16 Adicionar linha1multiplicado por3remar3 R3 R3 3R1 1 3 1 2 1 8 0 0 3 3 2 13 0 0 4 9 4 25 2 6 2 2 3 16 Subtrair linha1multiplicado por2da linha4 R4 R4 2R1 1 3 1 2 1 8 0 0 3 3 2 13 0 0 4 9 4 25 0 0 0 2 1 0 Como o elemento na linha2e coluna2elemento pivô é igual a0 precisamos trocar as linhas Encontre o primeiro elemento diferente de zero na coluna2sob a entrada do pivô Como pode ser visto não há tais entradas Mover para a próxima coluna Subtrair linha2multiplicado por 43 da linha3 R3 R3 4R23 1 3 1 2 1 8 0 0 3 3 2 13 0 0 0 5 43 233 0 0 0 2 1 0 Adicionar linha3multiplicado por 25remar4 R4 R4 2R35 1 3 1 2 1 8 0 0 3 3 2 13 0 0 0 5 43 233 0 0 0 0 2315 4615 Portanto P0 2 0 2 1 2 e u 3 1 0 0 0 Solucao Arquivo 3 Vamos usar o processo de Eliminacao de GaussJordan 8 SUA ENTRADA 2 6 4 8 8 2 6 3 7 7 2 6 5 9 9 8 24 15 31 31 SOLUÇÃO Adicionar linha1remar2 R2 R2 R1 2 6 4 8 8 0 0 1 1 1 2 6 5 9 9 8 24 15 31 31 Subtrair linha1 da linha3 R3 R3 R1 2 6 4 8 8 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 8 24 15 31 31 Adicionar linha1multiplicado por4remar4 R4 R4 4R1 2 6 4 8 8 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Como o elemento na linha2e coluna2elemento pivô é igual a0 precisamos trocar as linhas Portanto temos P0 2 0 1 0 10 e u 2 0 1 1 e v 3 1 0 0 11