Cálculo de Retorno e Risco de Portfólios

MERCADO DE CAPITAIS Profa Laíse Ferraz Correia Passo 2 Cálculo do retorno e risco de portfolios Cálculo do retorno Portfolio com dois ativos Teorema 𝐸 𝑅 𝑅 𝐸𝑅𝐸𝑅 Teormea 𝐸 𝑋 𝑅 𝑋 𝑅 𝑋 𝐸𝑅𝑋 𝐸𝑅 𝑅𝑝 𝑋 𝑅1𝑋 𝑅2 𝑋 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑖 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑜𝑙𝑖𝑜 𝑋 𝑋 1 𝑋 0 𝑋 0 Passo 2 Cálculo do retorno e risco de portfolios Portfolio com N ativos Teorema 𝐸 𝑅 𝑅 𝑅 𝐸𝑅𝐸𝑅 𝐸𝑅 Teorema 𝐸 𝑋 𝑅 𝑋 𝑅 𝑋 𝐸𝑅𝑋 𝐸𝑅 𝑋 𝐸𝑅 𝑅𝑝 𝑋 𝑅1𝑋 𝑅2𝑋 𝑅𝑁 𝑅𝑝 𝑋 𝑅 Passo 2 Cálculo do retorno e risco de portfolios Cálculo da variância e desvio padrão 2 ativos 𝜎 𝐸 𝑅 𝑅𝑝 𝜎 𝐸 𝑋𝑅 𝑋𝑅 𝑋 𝑅𝑋 𝑅 𝜎 𝐸 𝑋𝑅 𝑅 𝑋𝑅 𝑅 𝜎 𝐸 𝑋 𝑅 𝑅1 2𝑋𝑋 𝑅 𝑅1 𝑅 𝑅2 𝑋 𝑅 𝑅2 𝜎 𝑋 𝐸 𝑅 𝑅1 2𝑋𝑋𝐸 𝑅 𝑅1 𝑅 𝑅2 𝑋 𝐸 𝑅 𝑅2 𝜎 𝑋 𝜎 2𝑋𝑋𝑬 𝑹𝟏 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟐 𝑋 𝜎 𝜎 𝑋 𝜎 2𝑋𝑋𝝈𝟏𝟐𝑋 𝜎 Covariância Série histórica 𝜎 01 0 01 0 21 Valor esperado 𝜎 3 𝑃3 𝑅 𝑅1 𝑅 𝑅2 Correlação Como 𝜌 4 44 1 𝝆𝟏𝟐 1 𝜎8 𝑋 𝜎 2𝑋𝑋𝝆𝟏𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟐𝑋 𝜎 Correlações portfolio de 2 ativos 𝜌 1 𝜌 0 𝜌 05 06 10 14 18 𝜌1 00 20 40 140 160 60 80 100 120 Desvio padrão do retorno Retorno Esperado Passo 2 Cálculo do retorno e risco de portfolios Cálculo da variância e desvio padrão N ativos 𝝈𝒑 𝟐 𝒊𝟏 𝑵 𝑿𝒊 𝟐 𝝈𝒊 𝟐 𝒊𝟏 𝑵 𝒌𝟏 𝒊𝒋 𝑵 𝑿𝒊𝑿𝒋𝝈𝒊𝒋 Correlação Diversificação e Variância de portfolio 𝜎8 𝑋 𝜎 2𝑋𝑋𝝆𝟏𝟐 𝝈𝟏𝝈𝟐𝑋 𝜎 Suponha 1 𝜎 𝜎 004 2 𝑋𝑋 050 𝜎 05 004 2 05 05 𝝆𝟏𝟐 02 02 05 004 𝜎 002 𝝆𝟏𝟐 002 Fronteira Eficiente 00 06 12 20 40 140 160 60 80 100 120 Retorno Esperado Fronteira de Mínima Variância 24 Fronteira Eficiente 18 Desvio padrão do retorno Carteira de mínima variância 1 Retorno esperado 2 ativos 𝑅𝑝 𝑋 𝑅1𝑋 𝑅2 𝑋 𝑋 1 𝑋 1 𝑋 𝑅𝑝 𝑋 𝑅1 1 𝑋 𝑅2 1 Carteira de mínima variância 2 ativos 𝜎 𝑋 𝜎 2𝑋𝑋𝜌 𝜎𝜎𝑋 𝜎 𝜎 𝑋 𝜎 2𝑋𝑋𝜌 𝜎 𝜎 𝑋 𝜎 𝜎 𝑋 𝜎 2𝑋1 𝑋𝜌 𝜎 𝜎 1 𝑋𝜎 𝜎 𝑋 𝜎 2𝑋𝜌 𝜎 𝜎 2𝑋 𝜌 𝜎 𝜎 1 2𝑋 𝑋 𝜎 𝜎 𝑋 𝜎 2𝑋𝜌 𝜎 𝜎 2𝑋 𝜌 𝜎 𝜎 𝜎 2𝑋𝜎 𝑋 𝜎 𝑦 𝑥 0 Carteira de mínima variância 2 ativos 𝑝 𝑋 0 𝜎 𝑋 𝜎 2𝑋𝜌 𝜎 𝜎 2𝑋 𝜌 𝜎 𝜎 𝜎 2𝑋𝜎 𝑋 𝜎 Regra da cadeira 𝑑 ℎ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 ℎ 𝑔 𝑥 𝑔𝑥 𝑝 𝑋 1 2 𝑣 2𝑋𝜎 2𝜎 2𝑋𝜎 2𝜌 𝜎 𝜎 4𝑋𝜌 𝜎 𝜎 𝑝 𝑋 2𝑋𝜎 2𝜎 2𝑋𝜎 2𝜌 𝜎 𝜎 4𝑋𝜌 𝜎 𝜎 2 𝑋 𝜎 2𝑋𝜌 𝜎 𝜎 2𝑋 𝜌 𝜎 𝜎 𝜎 2𝑋𝜎 𝑋 𝜎 hgx gx 2 Carteira de mínima variância 2 ativos Igualando a zero e resolvendo para X1 temse 𝑋 𝜎 𝜌 𝜎 𝜎 𝜎 𝜎 2 𝜌 𝜎 𝜎 𝑋 1 𝑋 Se 𝜌 0 𝑋 𝜎 𝜎 𝜎 FRONTEIRA EFICIENTE 2 ATIVOS 930 935 940 945 950 955 960 965 970 000 050 100 150 200 RETORNO RISCO CARTEIRA FRONTEIRA EFICIENTE 4 ATIVOS 000 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 000 010 020 030 040 050 Retorno Risco Fronteira Eficiente FRONTEIRA EFICIENTE 4 ATIVOS 000 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 000000 005000 010000 015000 020000 025000 030000 Retorno Risco Fronteira Eficiente