Prova GAAV - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial - CEFET-MG

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Terceira prova de GAAV Prof Ricardo Saldanha de Morais Turmas 246T56 26N34 4N12 26N12 4N34 20222 23 de novembro de 2022 25 pontos NOME INSTRUÇÕES 1 Leia todas as instruções 2 A interpretação das questões faz parte da prova 3 As questões deverão ser resolvidas de forma organizada legível e bem fundamentada 4 Itens sem justificativas ou sem desenvolvimento não serão considerados Desenhos são bem vindos e podem compor as justificativas 5 Observe o emprego correto de notações O uso inadequado será penalizado 6 O prazo para o envio da resolução digitalizada em arquivo PDF pelo SIGAA se encerra às 13h do dia 28 de novembro de 2022 segundafeira Questão 1 07 pontos Considere o resultado do Exercício 6 da Parte II da Lista de Exercícios 9 Considere também a seguinte Definição Se β v1 v2 vk uma base ordenada do subespaço W Rn e w W então w α1 v1 α2 v2 αk vk para certos números reais α1 α2 αk Esses escalares são chamados coordenadas de w em relação à base β e denotados por wβ α1 α2 αk a Encontre um vetor v3 R3 que pode ser acrescentado ao conjunto v1 1 2 3 v2 1 2 2 de modo a formar uma base β de R3 b Obtenha as coordenados do vetor v 5 12 3 em relação à base β c Encontre o vetor w R3 cujas coordenadas são wβ 1 3 2 Questão 2 06 pontos Considere o seguinte subespaço W a 3b c 5d 3b 3c 3d a 7b 9c 5d a b 3c da b c d R a Qual é a dimensão de W b Leia a subseção 532 do texto SANTOS RJ Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear Belo Horizonte Imprensa Universitária da UFMG 2014 c Encontre uma base ortonormal para W d O vetor v 9 6 11 1 pertence ao subespaço W Em caso afirmativo quais são as coordenadas de v em relação à base ortonormal encontrada Questão 3 06 pontos Determine se A é diagonalizável sobre R e quando for encontre uma matriz invertível P pij3x3 e uma matriz diagonal D dij3x3 tais que P1AP D a A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 b A 1 2 1 1 0 1 1 1 0 Questão 4 06 pontos a Leia a subseção 611 do texto SANTOS RJ Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear Belo Horizonte Imprensa Universitária da UFMG 2014 b Calcule Ak em que A 1 1 0 2 2 2 0 1 1 e k é um inteiro positivo ATENÇÃO A publicação desta prova não está autorizada