Lista de Exercicios Geometria Analitica - Equacoes da Reta e Ponto

Centro Federal de Educação Tecnológica CEFETMG Profa Érica Leite Pagani Página 1 1 1ª lista de Exercícios3º ano 1 Quais são as coordenadas dos vértices de um triângulo sabendo que as retas suportes dos lados desse triângulo têm equações 0 7 2 0 1 2 y x y x e y 5 0 respectivamente 2 Dados dois pontos A34 e B25 ache as coordenadas do ponto P sobre a reta que passa por A e B tal que P seja duas vezes mais distante de A do que de B 3 Sabendo que 3 P a a pertence à reta 0 1 3 x y calcule as coordenadas de P 4 Três pontos A B e C pertencentes à reta 0 1 3 y x s têm suas abscissas em progressão aritmética O ponto A é a interseção da reta s com eixo das abscissas a ordenada de C é 8 e B localizase entre A e C Nestas condições determine o ponto B 5 Encontre uma equação da reta que passa pelo ponto P23 e tem coeficiente angular igual a 4 6 Determine a equação da reta que passa por 37 e é paralela à reta r x4y500 7 Dois lados de um paralelogramo ABCD estão contidos nas retas r 2xy30 e s xy20 Dado o vértice A34 determine B C e D 8 Sejam Aa17 e B45 dois pontos pertencentes à uma reta r a Determine a de modo que a reta r seja paralela à reta s x3y90 b Escreva uma equação da reta r 9 Quando a quantidade x de artigos que uma determinada empresa vende aumenta de 200 para 300 o custo de produção y diminui de R10000 para R8000 Determine a variação média de custo representada pela declividade da reta que passa por esses dois pontos 10 Determine a equação da reta que passa pela origem dos eixos coordenados e pela interseção das retas 0 6 2 x y e 0 11 3 x y 11 Determine a equação da reta que é paralela à bissetriz do 2o quadrante que passa pelo ponto 3 4 12 Os pontos 76 14 32 e C B A são vértices de um triângulo ABC Determine a equação da reta suporte da mediana relativa ao lado BC 13 Dois lados de um paralelogramo estão contidos nas retas 0 8 2 3 0 8 6 y x e s y x r e uma das diagonais está contida na reta 0 8 2 x y t Quais são os vértices desse paralelogramo 14 Determine k para que as retas de equações 0 3 1 2 0 2 2 4 0 16 2 y k kx e y x y x sejam concorrentes no mesmo ponto 1 As retas suportes são x 2y 1 0 i x 2y 7 0 ii y 5 0 iii Os vértices do triangulo são os pontos de intersecção das retas tomadas dois a dois Então temos Das retas i e ii x 2y 1 0 x 2y 7 0 x 2y 1 x 2y 7 2y 2y 7 1 4y 6 y 64 32 Logo y 32 e x 232 1 0 x 4 Então o primeiro vértice é 4 32 Das retas i e iii x 2y 1 0 y 5 0 y 5 x 25 1 0 x 9 E o outro vértice é 9 5 Das retas ii e iii x 2y 7 0 y 5 0 y 5 x 25 7 0 x 17 E o outro vértice é 17 5 Assim fica determinado os vértices 4 32 95 e 17 5 2 A 34 e B 25 A reta que passa por A e B é obtida pelo determinante x y 7 3 4 1 2 5 1 x 4 1 y 3 1 7 3 4 5 1 2 1 2 5 0 x y5 723 0 x 5y 23 0 y 235 x5 queremos achar o ponto P p q que pertence a reta y 235 x5 tq dPA 2 dPB Logo temos dPA 2 dPB p 32 q 42 2 p 22 q 52 p 32 q 42 4p 22 q 52 Mas pq satisfaz y 235 x5 q 235 p5 Logo revertendo na igualdade de anterior temos p 32 235 p5 42 4p 22 235 p5 52 p 32 p 352 4p 22 4p 252 25p 32 p 32 100p 22 4p 22 26p 32 104p 22 26 p2 6p 9 104 p2 4p 4 26p2 156pt 234 104p2 416p 416 78p2 572p 182 0 E as raízes são P12 572 5722 478182 278 572 327184 56784 156 572 520 156 P1 572 520 156 7 P2 572 520 156 13 Então os pontos p são P1 7 e P2 13 logo os q cuves pendentes são q1 235 p15 23 7 5 305 6 q2 235 p25 23 13 5 69 1 15 7015 257 35 193 Esses pares desegados são 76 e 13 143 3 Paa3 pertence a reta x3y10 Logo x3y10 a3a310 4a910 4a8 a842 Logo a2 Então P21 4 S y3x10 O ponto A é da forma Aa0 O ponto C é da forma Cc8 E B está entre A e C 2Bbd Como A S temos y3x10 03a10 a13 As abscissas estão em PA logo temos que a13 b13r e c132r Onde r é a razão da PA Ou ainda podemos escrever abr e cbr que nos dá 13 br cbr Mas veja que C S logo 8 3c 1 0 7 3c 0 c 73 E com isso temos o sistema b r 13 b r 73 resolvendo temos b n 13 b n 73 2b 63 2 b 1 Mas B S ou seja Bbd S então d 3b 1 0 d 3 1 0 d 4 E o ponto B é 14 5 Basta usarmos a expressão geral da reta que é dada de um ponto x0y0 e um coeficiente angular m Então vamos ter y y0 mx x0 Para as condições x0y0 27 e m 4 temos y 7 4x 2 y 3 4x 8 y 4x 11 E y 4x 11 é a equação desejada 6 A reta x 4y 50 0 nos dá que y 14 x 252 é o seu coeficiente angular m 14 Como estamos buscando uma reta paralela essa deve ter o mesmo coeficiente angular Daí basta usarmos a fórmula da questão 5 logo teremos que Para x0y0 37 que y y0 m x x0 y 7 14 x 3 y 14 x 34 7 14 x 314 Portanto temos que yx 14 x 314 que é a reta procurada 7 Primeira das retas temos que n 2x y 3 0 y 2x 3 i s x y 2 0 y x 2 ii Cujo coeficientes angulares são m1 2 e m2 1 Ademais a interseção das retas é y 2x 3 x 2 x 2 3 x 1 e logo y 21 3 1 Portanto a interseção de i e ii é 11 Devemos achar os outros pontos do paralelogramo Da eq i escolhemos x 0 e teremos y 3 Logo o ponto B será 03 Para a reta AD segue que ela é paralela a n seu coeficiente angular m1 2 e ela passa por A 34 Portanto teremos que sua equação será y 4 2x 3 y 4 2x 6 y 2x 2 Para x 4 teremos y 2 4 2 y 8 2 6 E o ponto D é D 4 6 Resta acharmos C Com efeito buscaremos uma reta paralela a s m 1 que pode ser a própria reta s y x 2 porque x 0 vemos ter y 2 e logo C 0 2 Assim temos um quadrilátero de vértices 3 4 0 3 0 2 e 4 6 8 Como a 17 e B 4 5 pertencem a r podemos obter a equação dessa reta fazendo O x y 1 a 17 1 0 x 17 1 y a 1 1 a 17 4 5 1 5 1 4 5 0 x 12 y a 4 5a 68 E a reta r é r 12 x y a 4 5 a 68 0 a A reta n x 3 y 9 0 é y 1 3 x 3 logo seu coeficiente angular é m 1 3 Logo podemos determinar se por achada anteriormente De fato 12x y a 4 5a 68 0 Logo y a 4 12x 5a 68 ó y 12 a 4 x 5a 68 a 4 Então a coeficiente angular é m 13 deve ser igual a 12 a 4 Portanto obtemos 12 a 4 13 36 a 4 a 40 e a 40 b Basta considerarmos o desenvolvimento anterior que nos deu y 12 a 4 x 5a 68 a 4 que vale para todo a E R 4 9 Nesse caso temos os pares 200 100 e 300 80 E o coeficiente angular é m 80 100 300 200 20 100 2 10 1 5 E o declive buscado é m 1 5 10 A interseção das retas é obtida fazendo 2x y 6 i x 3y 11 O x 11 3y ii Logo pondo ii em i obtemos 2 3y 11 y 6 6y 22 y 6 7y 28 y 28 7 4 Logo a x é x 3y 11 x 3 4 11 12 11 1 x 1 Então o ponto de interseção é 1 4 Daí a reta que possa por 0 0 e 1 4 é obtido por 0 x y 1 0 0 1 x 0 1 y 1 1 1 0 4 4x y 2 4 1 9 1 2 9 E Logo a equação procurada é y 4x 11 Aneta que é paralela a bissetriz do 2º quadrante y x deve ter coeficiente angular m 1 Logo com o ponto 3 4 pertencente a essa reta nós teremos que y 4 1 x 3 y 4 x 3 y x 1 E a reta procurada é y x 1 12 A mediana relativa ao lado BC é a reta que passa por A e pelo ponto médio M do lado BC O lado BC é BC c B 6 7 4 2 2 6 e seu ponto médio é M 642 712 102 82 5 4 Então a mediana no ao lado BC passa por 5 4 e 23 Logo a eq da reta será 0 x y 1 5 4 1 2 3 1 x 4 1 3 1 y 5 1 2 1 1 5 4 2 3 x 4 3 y 5 2 15 8 x 3y 7 Logo a eq da reta é y 13 x 73 13 temos Lados n x 6y 8 0 s 3x 2y 8 0 e t x 2y 8 0 diagonal Primeiro vamos achar as intersecções das retas nes e net Com e feito Para nes temos x 6y 8 0 3x 2y 8 0 x 6y 8 36y 8 2y 8 0 18y 24 2y 8 0 16y 16 0 y 1 então x 6 8 2 E a interseção ocorre em 21 Para net obtemos x 6y 8 0 x 2y 8 0 subtraindo as equações 6y 2y 8 8 0 8y 16 0 y 2 logo x 6y 8 62 8 12 8 4 x 4 E a interseção é em 42 Para s et obtemos 3x 2y 8 0 x 2y 8 0 somando temos 4x 0 x 0 Logo 30 2y 8 0 2y 8 0 y 4 E o ponto é 04 Agora veja que os pontos 04 e 42 são dois vértices do paralelogramo E os dois vértices restantes são obtidos a partir deles buscando os simétricos O ponto 42 então será simétrico ao ponto 21 Logo o vértice oposto a 42 é V 2 q1 1 q2 Onde q1 q2 serão determinados pelos pontos médios de 04 e 42 Com e feito Pmédio04 42 042 422 23 E logo q1 q2 2Pmédio04 42 21 223 21 2 42 84 q1 8 e q2 4 Por fim o vértice oposto é V 08 44 88 V 88 Para o vértice aparente temos que esse será simétrico ao ponto R por 21 Logo o vértice será o ponto w 9 h1 2 h2 onde h1h2 é calculado de forma análoga ao caso anterior De fato o ponto médio de R P médio 23 Logo h1h2 2 P médio 21 2 23 21 2 44 88 Então w 4 8 2 8 1210 E esse é o último vértice 14 temos as retas 2x y 16 0 i 4x 2y 2 0 ii 2 k x k 1 y 3 0 iii Para que as retas sejam concorrentes elas devem se intersectar num único ponto Então para i e ii teremos 2x y 16 0 4x 2y 2 0 y 2x 1 Logo 2x y 16 0 2x 2x 1 16 0 4x 17 0 x 174 Consequentemente y 2 174 1 172 1 152 portanto y 152 Com isso temos o ponto P 174 152 Levando em iii Vamos ter 2x 174 k 1 152 3 0 172 k 152 k 152 3 0 322 k 152 3 92 32 k 9 k 932 Portanto k 932 Resumo do assunto O assunto estudado é essencialmente uma parte da geometria analítica Em particular é estudado a equação da reta no plano euclidiano e as relações de distâncias perpendiculares ortogonalidades paralelismo intersecções e alguns conhecimentos geométricos elementares No que tange a parte referente a geometria analítica vemos fortemente a presença dos conhecimentos associados a reta Com efeito a reta é uma estrutura geométrica que pode ser obtida de diferentes formas a partir de diferentes elementos dados Em suma por vezes no escopo da geometria analítica objetivase obter e estudar as equações que regem os objetos geométricos de interesse em particular a reta Nesse sentido que temos A equação da reta é um conceito fundamental da geometria analítica e permite representar uma reta no plano cartesiano Existem três formas principais de se escrever a equação da reta a forma reduzida a forma geral e a forma paramétrica A forma reduzida da equação da reta é a mais simples de se escrever e se entender Ela é dada por y mx n onde m é o coeficiente angular da reta e n é o coeficiente linear que indica o ponto onde a reta intercepta o eixo y Essa forma da equação da reta é útil para se obter rapidamente a inclinação e a interceptação da reta mas não permite uma visualização direta da posição dos pontos que a reta atravessa Ademais a partir do conhecimento do coeficiente angular m e um ponto dado x0 y0 também é possível determinarse a equação da reta Com efeito isso pode ser feito substituindo esses valores na seguinte expressão y y0 m x x0 Por outro lado também é possível explicitarse a relação geral acima por meio de um determinante De fato sabemos que podemos obter uma reta a partir de dois pontos do plano euclidiano dados Nesse sentido consideremos os pontos x0 y0 e x1 y1 De posse desses pontos sabemos que a reta que passa por eles pode ser obtida de modo que as coordenadas x y sejam tais que satisfaçam a seguinte igualdade 0 x y 1 x0 y0 1 x1 y1 1 x y0 1 y x0 1 1 x0 y0 y1 1 x1 1 x1 y1 onde na segunda igualdade desenvolvemos o determinante com uso do determinante de Laplace Além disso é possível obter o coeficiente angular da reta através desses pontos que é calculado da seguinte forma m y1 y0 x1 x0 onde supomos sem perda de generalidade que y1 y0 A forma geral da equação da reta é um pouco mais complexa mas permite uma visualização mais direta da posição da reta no plano cartesiano Ela é dada por ax by c 0 onde a b e c são constantes reais Essa forma da equação da reta é útil para se obter a equação de uma reta a partir de dois pontos que a atravessam ou para se calcular a distância de um ponto a uma reta No entanto ela não fornece diretamente a inclinação ou a interceptação da reta A forma paramétrica da equação da reta é a mais utilizada em cálculos avançados de geo metria analítica e é baseada na ideia de que a reta pode ser descrita como uma função de um parâmetro t Ela é dada por x x1 at y y1 bt onde x1 y1 é um ponto qualquer da reta e a e b são constantes reais Essa forma da equação da reta permite uma grande flexibilidade na manipulação da reta e é útil para se obter a equação de retas paralelas ou perpendiculares a uma reta dada Independentemente da forma escolhida a equação da reta é uma ferramenta poderosa para a análise e visualização de retas no plano cartesiano Cada uma das formas tem suas vantagens e desvantagens e a escolha da forma mais adequada dependerá da aplicação específica em questão Entretanto o estudo da reta não limitase apenas na determinação de uma forma explícita para a equação da reta Em verdade há várias relações que podem ser exploradas a partir desse objeto geométrico Em particular há as relações de intersecção perpendicularidade e paralelismo Então comecemos a estudar a intersecção de retas Com efeito a intersecção de duas retas no plano euclidiano é um ponto comum a ambas as retas A seguir será apresentado como determinar a intersecção de duas retas por meio da resolução de um sistema de equações lineares Suponha que as duas retas sejam dadas pelas equações r axbyc 0 e s dxeyf 0 onde a b c d e f são constantes reais Para determinar o ponto de intersecção Px0 y0 das duas retas precisamos encontrar valores para x0 e y0 que satisfaçam as duas equações simultaneamente 2 Podemos escrever um sistema de equações lineares com as equações das retas da seguinte forma ax by c 0 dx ey f 0 Para resolver esse sistema podemos utilizar o método da eliminação Para isso multiplica mos a primeira equação por e e a segunda equação por b e em seguida somamos as equações O objetivo é eliminar a incógnita y e obter uma equação apenas com a incógnita x aex bey ce 0 bdx bey bf 0 ae bdx ce bf 0 Agora podemos isolar a incógnita x na equação acima e obter x bf ce ae bd Para determinar o valor de y podemos utilizar uma das equações das retas por exemplo a equação da reta r e substituir o valor encontrado para x na equação ax by c 0 abf ce ae bd by c 0 y cd af ae bd Assim encontramos as coordenadas do ponto de intersecção Px0 y0 É importante res saltar que se as duas retas são paralelas ou coincidentes não haverá ponto de intersecção A seguir apresentamos o sistema de equações acima resolvido 2x y 1 0 3x y 1 0 Multiplicando a primeira equação por 3 e a segunda equação por 2 temos 6x 3y 3 0 6x 2y 2 0 Somando as equações obtemos 5y 1 0 y 1 5 3 Substituindo o valor encontrado para y em uma das equações originais temos 2x 15 1 0 x 25 Portanto as coordenadas do ponto de interseção das retas são P 25 15 Essa é a única solução possível para esse sistema de equações pois as retas são distintas e não paralelas Em resumo a interseção de retas no plano euclidiano é um problema resolvido por meio da resolução de um sistema de equações lineares O processo envolve a eliminação de uma das incógnitas para obter uma equação com apenas uma incógnita e posteriormente a substituição do valor encontrado na outra equação para determinar as coordenadas do ponto de interseção É importante lembrar que caso as retas sejam paralelas ou coincidentes não haverá ponto de interseção Perpendicularidade e paralelismo são conceitos fundamentais da geometria analítica que permitem analisar a relação entre retas no plano cartesiano A seguir serão apresentadas as condições necessárias para que duas retas sejam perpendiculares ou paralelas Duas retas são perpendiculares se seus coeficientes angulares são opostos e inversos Ou seja sejam as retas r1 y m1x n1 e r2 y m2x n2 então elas são perpendiculares se e somente se m1 1m2 Essa condição pode ser reescrita como m1 m2 1 Por outro lado duas retas são paralelas se seus coeficientes angulares são iguais Ou seja as retas r1 e r2 são paralelas se e somente se m1 m2 Uma outra forma de verificar se duas retas são paralelas ou perpendiculares é através do produto escalar entre seus vetores diretores O vetor diretor de uma reta é dado por 1 m onde m é o coeficiente angular Assim as retas r1 e r2 são perpendiculares se e somente se o produto escalar de seus vetores diretores é igual a zero ou seja 1 m1 1 m2 1 m1 m2 0 Já as retas r1 e r2 são paralelas se e somente se seus vetores diretores são paralelos o que significa que o produto escalar entre eles é igual ao produto do seu módulo ou seja 1 m1 1 m2 1 m1 1 m2 sqrt1 m12 sqrt1 m22