Prova de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial - GAAV - CEFET-MG

Centro Federal de Educacao Tecnologica de Minas Gerais Segunda Prova Valor 31 pontos GAAV 30052023 Professor Charles Todos os calculos devem ser apresentados de forma clara e organizada Respostas sem JUSTIFICATIVA nao serao consideradas NOME 1ª Questao 8 pontos Considere os pontos A 1 2 0 B 2 2 4 C 0 3 1 e D 5 0 2 a 4 pontos Determine as equacoes parametricas da reta que passa pelos pontos A e B Em seguida verifique se os pontos A B e C sao colineares b 4 pontos Determine a equacao geral do plano que passa pelos pontos A B e C Em seguida verifique se os pontos A B C e D sao coplanares 2ª Questao 9 pontos Considere os planos π1 x 2y z 2 e π2 3x y 2z 0 e as retas r s e u dadas abaixo r x 1 2t y 2 t t R z 1 t s x 1 α y 1 α α R z 1 2α u x n γ y 1 mγ γ R z n nγ a 3 pontos Determine a posicao relativa entre r e s b 2 pontos Determine a posicao relativa entre π1 e r c 4 pontos Calcule os valores de m e n para que a reta u esteja contida no plano π2 3ª Questao 6 pontos Determine o vetor v R3 que satisfaca todas as condicoes abaixo i v e ortogonal a w 1 0 1 ii v e ortogonal a u 2 1 2 iii v 4 2 iv O ˆangulo entre o vetor v e o vetor p 1 1 0 e obtuso 90o 4ª Questao 8 pontos Considere os planos π 5x y 3z 0 e α 2x y z 3 a 4 pontos Determine a intersecao entre π e α b 4 pontos Determine as equacoes parametricas de uma reta que seja paralela a ambos os planos π e α 1 a Vamos determinar AB overrightarrowAB B A 2 2 4 1 2 0 1 0 4 Portanto a reta r é da forma r A λ overrightarrowAB λ ℝ Ou seja r 1λ 2 4λ ie r begincases x 1 λ y 2 z 4λ endcases λ ℝ Veja que todos os pontos de r possuem coordenada y2 Como C 0 3 1 então C r portanto A B C não são colineares b Para determinar a equação do plano π em questão vamos determinar o vetor normal a π vecn overrightarrowAB overrightarrowAC Temos overrightarrowAB 1 0 4 overrightarrowAC C A 0 3 1 1 2 0 1 1 1 Portanto vecn beginvmatrix veci vecj veck 1 0 4 1 1 1 endvmatrix 4vecj veck vecj 4veci 4 3 1 Agora X x y z π vecn overrightarrowAX 0 vecn X A 0 4 3 1 x 1 y 2 z 0 4x 4 3y 6 z 0 4x 3y z 10 0 equação de π Veja que D 5 0 2 não satisfaz a equação de π portanto A B C e D não são coplanares 2 a Podemos escrever r 1 2t 2 t 1 t ou seja r tem vetor diretor overrightarrowvr 2 1 1 Analogamente s possui vetor diretor overrightarrowvs 1 1 2 Observe que overrightarrowvs α overrightarrowvr α ℝ do contrário overrightarrowvs α overrightarrowvr 1 1 2 2α 1α α α 12 e α 1 contradição overrightarrowvr e overrightarrowvs não são paralelos r e s não são paralelas Vamos determinar se existe P x y z r s begincases x 1 2τ 1 α y 2 τ 1 α z 1 τ 1 2α endcases begincases α 2 2τ α 1 τ endcases 1 τ 2 2τ τ 13 α 1 13 43 Mas veja que 13 2 2 43 Logo r s Portanto r e s são reversas b Em r begincases x 1 2τ y 2 τ z 1 τ endcases 1 2τ 22 τ 1 τ 2 1 2τ 4 2τ 1 τ 2 6 τ 2 τ 4 r intercepta π1 no ponto 9 2 3 r e π1 são concorrentes 2 c Se z 0 então P1 n 1 n μ queremos que P π2 3n 1 2n 0 5n 1 n 15 Agora se z 1 P2 65 1 m 25 μ analogamente para π2 3 65 1 m 2 25 0 185 45 1 m 0 22 55 m m 175 n 15 m 175 3 Seja vecv x y z Como vecv vecw i vecv vecw x z 0 x z Por vecv vecu vecv vecu 2x y 2z 0 2x 2z y 0 y 0 Por vecv 42 vecv2 422 32 x2 y2 z2 32 x2 x2 32 2x2 32 x 4 Sendo θ o ângulo entre vecv e vecp 1 1 0 queremos que cosθ 0 pois θ 90 Logo cosθ fracvecv vecpvecv vecp fracxvecv vecp 0 x 0 x 4 y 0 z 4 vecv 4 0 4 4 a Vamos mostrar que π e α são concorrentes Por α I z2xy3 Por π II y5x3z Substituindo II em I z2x5x3z3 4z3x3 z3x34 Substituindo isso em II y5x33x34 20x9x94 11x94 P x 11x94 3x34 π α x R Ou seja P π α P x 11x94 3x34 para algum x R Logo π α reta π e α são concorrentes b Temos a reta r x 94 11x4 34 3x4 x R Logo vr 1 114 34 Para que a reta s seja paralela vamos usar o mesmo vetor vr Precisamos determinar um ponto P π e P α Seja P 100 Veja que P não satisfaz as equações de α e π Logo s P λvr 1λ 11λ4 3λ4 λ R Ou seja s x 1λ y 11λ4 λ R z 3λ4