Projeto de Controlador Digital: Especificações e Desempenho

SISTEMAS CONTROLADOS POR COMPUTADOR Engenharia Elétrica Prof Alesi A de Paula Contato alesiaugustohotmailcom Projeto de Controlador Digital Conteúdo 1 Especificações de Desempenho 2 Projeto por Emulação 3 Projeto Direto 4 Projeto por Alocação de Polos 2 Especificações de Desempenho Além de garantir estabilidade em malha fechada um sistema de controle deve considerar os seguintes requisitos 1 Rasteamento de referência o erro em estado estacionário deve ser pequeno tanto para o problema de regulação referência constante quanto para o problema de servomecanismo referência variável 2 Resposta transitória máxima sobreelevação tempo de subida e tempo de acomodação devem ser pequenos 3 Rejeição de distúrbios sinais de perturbação devem ser suficientemente atenuados pelo sistema de controle 4 Esforço de controle a variável manipulada deve se manter limitada de acordo com restrições físicas do atuador 5 Sensibilidade paramétrica a estabilidade e as especificações de desempenho devem ser robustas às variações de parâmetros da planta do sensor e do controlador Os parâmetros usados para avaliar o desempenho transitório de um sistema em malha fechada assumem que tal sistema seja aproximado pela função de transferência analógica padrão Ts fracomega2ns2 2zetaomegans omega2n cujos polos são dados por s12 zetaomegan pm jomegansqrt1 zeta2 e com zeros no infinito Considere as seguintes relações aproximadas Tempo de subida tr approx frac18omegan Rightarrow tr leq trmax omegan geq trmax 18 Tempo de acomodação d 1 ts approx frac46zetaomegan Rightarrow ts leq tsmax zetaomegan geq tsmax 46 Considere as seguintes relações aproximadas 𝑠12 𝜔𝑛 𝜁 𝑗 1 𝜁2 No plano z os polos da FT em MF padrão s12 ζωn jωn1 ζ² são mapeados em z12 rejθ em que r eTζωn e θ ωnT1 ζ² Assim as regiões de desempenho são mapeadas em 0 𝜁 1 𝜔𝑛 0 𝜁 𝑟 1 𝜃 0 𝜔𝑛 𝜋 𝑇 𝜁 0 𝑟 1 𝜃 𝜋 Considerações Importantes 𝜁 0 𝜔𝑛 𝑟 1 𝜃 𝜔𝑛𝑇 𝜁 1 𝜔𝑛 𝑟 𝑒𝜔𝑛𝑇 𝜃 0 Há conflitos entre vários objetivos relacionados a esses requisitos de desempenho 1 Estado estacionário versus regime transitante Se por um lado o aumento do ganho em baixas frequências pela inclusão de polos integradores ou pelo aumento do ganho DC melhora o desempenho estacionário por outro ele deteriora o desempenho transitório e reduz a estabilidade relativa do sistema de controle 2 Regulação versus rastreamento Se por um lado a alocação de zeros do controlador próximos aos polos lentos da malha aberta melhora o rastreamento de sinais que espectralmente estejam contidos na referida faixa de frequências por outro ela é ineficaz para tornar sistema mais rápido na rejeição de distúrbios e reduz a margem de estabilidade do sistema em malha fechada Consequentemente aumentar a velocidade de resposta e reduzir o efeito do ruído são objetivos conflintantes Grande parte das técnicas de projeto de controladores assume que o desempenho do sistema controlado é determinado fortemente pelos polos dominantes da malha fechada Dois fatores influenciam a dominância dos polos 1 polos lentos z 1 normalmente são mais dominantes que polos rápidos z 0 2 polos sem zeros próximos normalmente são mais dominantes que polos com zeros próximos Projeto por Emulação Passos Gerais Métodos de Aproximação Discreta Mapeamento de Polos e Zeros A técnica não se resume a um único polo e zero Mapeamento de Polos e Zeros Exemplo Integração Numérica Métodos de Aproximação Discreta Métodos de Aproximação Discreta Métodos de Aproximação Discreta Projeto por Emulação Compensador Exemplo Parte I Projete um compensador digital para a planta 𝐺 𝑠 1 𝑠10𝑠1 a fim de atender os seguintes requisitos de malha fechada Resposta ao degrau com 𝑀𝑝max 16 Resposta ao degrau com 𝑡𝑠max 10 𝑠 para critério de 1 𝑒𝑠𝑠 001 para uma entrada em rampa 𝑇𝑠 deve ser tal que haja pelo menos 10 amostras durante o tempo de subida Este projeto é mais indicado pelo lugar das raízes por causa do desempenho em regime transiente Faça tudo para atender em s primeiro depois escolha 𝑇𝑠 Projeto por Emulação Compensador Exemplo Parte II 𝑀𝑝max 16 𝜁 06 1 𝑀𝑃 max 100 𝜁 0504 𝑡𝑠max 10 s 𝜁𝜔𝑛 46 𝑡𝑠max 𝜁𝜔𝑛 046 Necessidade de deslocar o rlocus para a região desejada Projeto por Emulação Compensador Exemplo Parte III A planta possui um polo em 𝑠 0 portanto garante 𝑒𝑠𝑠 nulo para degrau e limitado para rampa O compensador é da forma 𝐷 𝑠 𝐾 𝑠𝑧𝑑 𝑠𝑝𝑑 e pela especificação de 𝑒𝑠𝑠 para rampa temos 𝑒𝑠𝑠 lim 𝑠0 𝑠𝐸 𝑠 1 𝐾𝑣 001 𝐾𝑣 100 𝐾𝑣 lim 𝑠0 𝑠𝐷 𝑠 𝐺 𝑠 𝐾 𝑧𝑑 𝑝𝑑 𝐾 𝑝𝑑 𝑧𝑑 𝐾𝑣 Estratégias de projeto 1 Cancelar um polo da planta com 𝑧𝑑 e escolher 𝑝𝑑 dentro da região de interesse 2 Escolher 𝑝𝑑 dentro da região de interesse e buscar compensar o que for preciso com 𝑧𝑑 ou fixar este e variar o outro Projeto por Emulação Compensador Exemplo Parte IV Primeira estratégia 𝑧𝑑 01 𝑝𝑑 2000 Segunda estratégia 𝑧𝑑 12 𝑝𝑑 20 Com isso obtemos o ganho 𝐾 Controlador do tipo avanço de fase Uma vez escolhido Ds tomamos 𝑇𝑠 001 s 10 amostras no mínimo O controlador será aproximado com tustin melhores resultados em geral A planta será discretizada com ZOH por causa do conversor DA padrão Para 𝑇𝑠 02 s o sistema quase perde estabilidade Projeto por Emulação Compensador Exemplo Parte V Primeira estratégia Resultados Maior diferença entre discreto e contínuo Transiente mais rápido polo de MF em z tem parte real negativa Pode implicar em maior esforço de controle Projeto por Emulação Compensador Exemplo Parte VI Segunda estratégia Resultados Menor diferença entre discreto e contínuo Transiente mais lento Pode implicar em menor esforço de controle Método da síntese direta é um método de síntese baseado no Modelo da Planta e na resposta em Malha Fechada Desejada Seborg 2004 1 1 Y GcG Eq R GcG Projeto por Emulação Síntese Direta Explicitando Gc na Eq 1 temos 1 2 1 Y R Gc Eq G Y R Considerando que é o modelo aproximado da Planta G YRd é a Função de Transferência em Malha Fechada Desejada A equação de projeto Prática tornase G 1 3 1 Y R d Gc Eq Y R d G Projeto por Emulação Síntese Direta Função de Transferência em Malha Fechada Desejada YRd Idealmente a melhor escolha YRd1 ou seja a saída instantaneamente seguir a referência entretanto isto é uma situação ideal controle perfeito que na prática não é alcançada Para processos sem atraso um modelo de primeira ordem é uma escolha razoável 1 4 1 c d Y Eq R s sendo τc a constante de tempo desejada em malha fechada Alguns autores usam λ no lugar de τc lambdatuning method Logo temos 1 1 5 c Gc Eq s G Termo integral 1𝜏𝑐𝑠 além de eliminar offset o ajuste de 𝜏𝑐 possibilita uma ação mais agressiva menor τc ou menos agressiva maior 𝜏𝑐 Projeto por Emulação Síntese Direta Para processos com atraso conhecido 𝜽 um modelo de primeira ordem com atraso é uma escolha razoável 6 1 s c d Y e Eq R s Substituindo Eq 6 na Eq 3 temos 1 7 1 s c s c e G Eq G s e Embora este controlador não esteja na forma de um PID padrão ele é fisicamente realizável Aproximando o termo do atraso do denominador pela série de Taylor truncada 1 s e s Projeto por Emulação Síntese Direta Temos 1 8 s c c e G Eq s G Fazendo 𝜃 0 temos o caso sem atraso Considerando Modelo da Planta de Primeira Ordem 9 1 s Ke G Eq s Substituindo Eq 9 na Eq 8 temos 1 1 10 c i G Kc Eq T s Sendo 1 c Kc K Ti Controlador PI Projeto por Emulação Síntese Direta Considerando Modelo da Planta de Segunda Ordem 1 2 11 1 1 s Ke G Eq s s Substituindo Eq 11 na Eq 8 temos 1 1 12 c d i G Kc T s Eq T s Sendo 1 2 1 c Kc K 1 2 Ti Controlador PID 1 2 1 2 Td Projeto por Emulação Síntese Direta Projeto por Emulação Síntese Direta Após a obtenção do controlador Gcs uma aproximação discreta é desempenhada onde 𝐾𝑃 𝐾𝑐 𝐾𝐼 𝐾𝑐𝑇𝐼 e 𝐾𝐷 𝐾𝑐𝑇𝐷 Integral é aproximada por áreas de trapézio 1 𝑠 𝑇 2 𝑧1 𝑧1 Derivada é aproximada por Euler backward 𝑠 1 𝑇 𝑧1 𝑧 𝐺𝑐 𝑧 𝐾𝑃 𝐾𝐼 𝑇 2 𝑧 1 𝑧 1 𝐾𝐷 1 𝑇 𝑧 1 𝑧 𝐺𝑐 𝑠 𝐾𝑃 𝐾𝐼 𝑠 𝐾𝐷𝑠 Projeto por Emulação Síntese Direta No caso contínuo o único parâmetro a ser sintonizado é 𝜏𝑐 um grau de liberdade No caso discreto 𝑇𝑠 deve ser adequadamente escolhido para que Gcz se aproxime de Gcs Podese também variar 𝜏𝑐 para ajustar 𝑇𝑠 Projeto por Emulação Síntese Direta Exemplo Parte I Dada a planta 𝐺 𝑠 𝐾𝑒 𝜃𝑠 𝜏1𝑠1𝜏2𝑠1 com 𝐾 2 𝜏1 10 𝜏2 5 e 𝜃 1 projete controladores PID com 𝜏𝑐 05 𝜏𝑐 1 𝜏𝑐 3 e 𝜏𝑐 10 Avalie vantagens e limitações Projeto por Emulação Síntese Direta Exemplo Parte II Resultados a tempo contínuo Aumento de 𝜏𝑐 deixa a resposta mais lenta mas reduz esforço de controle Projeto por Emulação Síntese Direta Exemplo Parte III Resultados a tempo discreto Fixouse 𝑇𝑠 𝜏110 Dificuldade em reduzir ao mesmo tempo 𝑀𝑝 𝑡𝑠 𝑡𝑟 Não há escolha independente de ganho polos e zeros Projeto Direto Passos Gerais Considera um processo Gs para o qual desejase projetar um controlador digital Dz Passos 1 Especificação de desempenho transitório posição dos polos dominantes da malha fechada 2 Escolha do período de amostragem Ts 3 Obter o processo discreto planta ZOH Gz a partir de Gs 4 Especificação de desempenho estacionário determinação do ganho DC mínimo do caminho direto e inclusão de polos integradores 5 Projeto de controlador digital Dz usando lugar das raízes técnicas no domínio da frequência diagrama de Bode diagrama de Nyquist carta de Nichols 6 Simulação e análise de desempenho e estabilidade Se necessário volte aos passos 4 ou 5 Considere um processo Gs para o qual desejase projetar um controlador digital Dz Passos O desempenho do sistema controlado é menos sensível à escolha do período de amostragem Ts Cuidado deve ser tomado quando polos da malha fechada tiverem parte real negativa no plano z Neste caso embora o desempenho transitório da variável controlada PV seja satisfatório o esforço de controle medido pela MV pode ser alto Projeto Direto Compensador Exemplo Parte I Projete um compensador digital para a planta 𝐺 𝑠 1 𝑠01 𝑠3 a fim de atender os seguintes requisitos de malha fechada Resposta ao degrau com 𝑀𝑝max 5 Resposta ao degrau com 𝑡𝑟max 1 𝑠 𝑇𝑠 01 s Este projeto é mais indicado pelo lugar das raízes por causa do desempenho em regime transiente 𝐺 𝑧 00045 𝑧0902 𝑧099 𝑧0741 Projeto Direto Compensador Exemplo Parte II 𝑀𝑝max 5 𝜁 06 1 𝑀𝑃 max 100 𝜁 057 𝑡𝑟max 1 s 𝜔𝑛 18 𝑡𝑟max 𝜔𝑛 18 Dados 𝜁 e 𝜔𝑛 temos também 𝑡𝑠max 𝜁𝜔𝑛 1026 rlocus de Gz colorido Região factível traçoponto Projeto Direto Compensador Exemplo Parte III 𝐷 𝑧 𝐾 𝑧𝑧𝑑 𝑧𝑝𝑑 𝑒𝑠𝑠 1 1𝐾𝑝 𝐾𝑝 1 𝑒𝑠𝑠 1 𝐾𝑝 𝐷 1 𝐺 1 𝐾 1𝑧𝑑 1𝑝𝑑 00045 10902 1099 10741 𝑒𝑠𝑠 deve ser devidamente escolhido pois ele influencia na factibilidade do projeto Compromisso entre transitório e estado estacionário Dependendo da escolha de 𝑒𝑠𝑠 é quase impossível atender os requisitos de transiente Projeto Direto Compensador Exemplo Parte IV Resultados com o compensador avanço de fase 𝑧𝑑 099 𝑝𝑑 045 e 𝑒𝑠𝑠 05 gerando 𝐾 166433 Novo rlocus Resposta temporal Projeto Direto Síntese Direta Os controladores Deadbeat e Dahlin são descritos pela mesma relação do caso da emulação trocando s por z 𝐺𝑐𝑧 1 ෨𝐺𝑧 𝑀 𝑧 1 𝑀𝑧 Ou seja eles podem ser implementados em ambos os tipos de projeto emulação e direto O usuário irá definir Mz com base em escolhas específicas O controlador de Kalman estabelece restrições nas variáveis manipulada e controlada Projeto Direto Síntese Direta Deadbeat M 𝑧 𝑧𝑁1 onde N é o atraso da planta Gera a resposta mais rápida possível Erro nulo para entrada degrau unitário em todos os instantes de amostragem após N1 instantes de amostragens Realizável quando o processo é rápido comparado com o período de amostragem tempo morto da planta deve ser menor do que T A maioria dos processos industriais não satisfazem essa condição O modelo da planta deve ser precisamente conhecido Projeto Direto Síntese Direta Dahlin 𝑀 𝑠 𝑒𝜃𝑠 𝜆𝑠 1 𝑀 𝑧 1 𝑒 𝑇𝜆 𝑧𝑁1 1 𝑒 𝑇𝜆 𝑧1 onde 𝜃 é o tempo morto do processo 𝜆 é a constante de tempo do sistema em malha fechada desejada parâmetro de ajuste e N é o maior número inteiro de períodos de amostragem compreendido em 𝜃 𝜃 𝑁 𝑇 𝜃 𝜃 𝑇 Quanto menor for a constante de tempo projetada maior será o esforço de controle exigido para a resposta subir mais rapidamente Dahlin equivale a Deadbeat com 𝜆 0 Projeto Direto Síntese Direta Exemplo Parte I Considere o sistema verdadeiro 𝐺 𝑠 1 𝑠04 𝑠2 e aproximado ෨𝐺 𝑠 1 𝑠01 𝑠3 Para 𝑇𝑠 01 s simule controladores Dead beat e Dahlin Lembrar que 𝑀1 1 Para 𝜆 0 Maior duração do Transiente Menor esforço de controle Projeto Direto Síntese Direta Exemplo Parte II Considere agora um atraso 𝜃 01 s e repita as simulações Deadbeat não convergiu Dahlin convergiu para 𝜆 0 Projeto Direto AvançoAtraso e PID Transformação bilinear Dado um período de amostragem conhecido 𝑇𝑠 Gs Gp e ZOH é transformado para Gz e com isso para Gw Depois de obter os parâmetros do compensador Dw via diagrama de Bode ou lugar das raízes por exemplo Dz é obtido usando equações específicas Projeto Direto AvançoAtraso e PID Considere o seguinte sistema de controle digital Equação característica Para 𝐻 𝑠 1 1 𝐷 𝑧 𝐺 𝑧 0 Para 𝐻 𝑠 1 1 𝐷 𝑧 𝐺𝐻 𝑧 0 Projeto Direto Atraso de fase Passos Dados ganho DC do compensador 𝑎0 e margem de fase 𝜙𝑚 desejados 𝑎0 é na verdade escolhido com base na especificação de 𝑒𝑠𝑠 1 Determine a frequência 𝜔𝑤1 na qual o ângulo da fase de 𝐺𝐻𝑗𝜔𝑤 é aproximadamente 180 𝜙𝑚 5 2 Faça 𝜔𝑤0 01𝜔𝑤1 3 Tome 𝐺𝐻𝑗𝜔𝑤1 e faça 𝜔𝑤𝑝 01𝜔𝑤1 𝑎0 𝐺𝐻𝑗𝜔𝑤1 4 Defina 𝐾𝑑 𝑎0 𝜔𝑤𝑝 𝜔𝑤02𝑇 𝜔𝑤0 𝜔𝑤𝑝2𝑇 𝑧0 2𝑇𝜔𝑤0 2𝑇𝜔𝑤0 𝑧𝑝 2𝑇𝜔𝑤𝑝 2𝑇𝜔𝑤𝑝 para obter 𝐷 𝑧 𝐾𝑑 𝑧𝑧0 𝑧𝑧𝑝 Projeto Direto Atraso de fase Exemplo Dados 𝐺𝑝 𝑠 1 𝑠 𝑠1 05𝑠1 𝑇 005 s 𝑎0 1 e 𝜙𝑚 55 1 2 Dada uma tabela de resposta em frequência ou Diagrama de Bode tomamos 𝜔𝑤1 036 e 𝐺𝑗𝜔𝑤1 257 para os quais 180 55 5 120 3 𝜔𝑤0 01𝜔𝑤1 0036 4 𝜔𝑤𝑝 01𝜔𝑤1 𝑎0 𝐺𝐻𝑗𝜔𝑤1 00140 Projeto Direto Avanço de fase Passos Dados ganho DC do compensador 𝑎0 e margem de fase 𝜙𝑚 desejados 1 Determine a frequência 𝜔𝑤1 tal que 𝐺𝐻 𝑗𝜔𝑤1 180 𝜙𝑚 𝐺𝐻𝑗𝜔𝑤1 1 𝑎0 cos 𝜃 𝑎0 𝐺𝐻𝑗𝜔𝑤1 onde 𝜃 180 𝜙𝑚 𝐺𝐻 𝑗𝜔𝑤1 2 Defina 𝑎1 1𝑎0 𝐺𝐻 𝑗𝜔𝑤1 cos𝜃 𝜔𝑤1 𝐺𝐻 𝑗𝜔𝑤1 sin 𝜃 𝑏1 cos 𝜃 𝑎0 𝐺𝐻𝑗𝜔𝑤1 𝜔𝑤1 sin 𝜃 Depois faça 𝜔𝑤0 𝑎0𝑎1 e 𝜔𝑤𝑝 𝑏1 1 para obter Dz como foi feito no atraso de fase Projeto Direto Avanço de fase Exemplo Parte I Dados 𝐺𝑝 𝑠 1 𝑠 𝑠1 05𝑠1 𝑇 005 s 𝑎0 1 e 𝜙𝑚 55 1 De acordo com as restrições 𝜔𝑤1 deve atender 𝐺𝐻 𝑗𝜔𝑤1 235 125 𝐺𝐻𝑗𝜔𝑤1 1 cos 𝜃 𝐺𝐻𝑗𝜔𝑤1 A tabela de resposta em frequência é dada a seguir Projeto Direto Avanço de fase Exemplo Parte II Projeto Direto Avanço de fase Exemplo Parte III 2 Escolhendo por exemplo 𝜔𝑤1 12 temse 𝐺 𝑗𝜔𝑤1 04576 1729 restrições 1 e 2 𝜃 180 55 1729 479 onde cos 𝜃 0670 04576 restrição 3 3 Uma vez que as restrições são completamente satisfeitas 𝑎1 1703 𝑏1 02397 Projeto Direto PID Paralelo Passos Ignorando a ausência de polos na parcela derivativa Dadas frequência 𝜔𝑤1 e margem de fase 𝜙𝑚 determine 1 𝜃 180 𝜙𝑚 𝐺𝐻 𝑗𝜔𝑤1 2 𝐾𝑃 cos 𝜃 𝐺𝐻 𝑗𝜔𝑤1 3 𝐾𝐷𝜔𝑤1 𝐾𝐼 𝜔𝑤1 sin 𝜃 𝐺𝐻 𝑗𝜔𝑤1 2 incógnitas para 1 equação Para PI 𝐾𝐷 0 ou PD 𝐾𝐼 0 o passo 3 é direto Incluir polos na parcela derivativa deixa o projeto do PID mais complexo Uma forma de escolher 𝜔𝑤1 é privilegiar o aumento de 𝐾𝑃 𝐷 𝑧 𝐾𝑃 𝐾𝐼 𝑇 2 𝑧 1 𝑧 1 𝐾𝐷 1 𝑇 𝑧 1 𝑧 Projeto Direto PID Exemplo Considere o mesmo sistema apresentado anteriormente Deixe 𝜙𝑚 55 e 𝜔𝑤1 12 a fim de privilegiar o aumento do ganho em malha aberta Então 1 𝐺 𝑗𝜔𝑤1 04574 17288 2 𝜃 180 55 17288 40788 4788 3 𝐾𝑃 cos 4788 04574 14664 4 𝐾𝐷 13513 06944𝐾𝐼 5 Para 𝐾𝐼 0004 por exemplo 𝐾𝐷 13541 Projeto por Alocação de Polos Considere um SLIT descrito pelas seguintes equações 𝑥 𝑘 1 𝐴𝑥 𝑘 𝐵𝑢 𝑘 𝑦 𝑘 𝐶𝑥 𝑥 𝐷𝑢𝑘 Assuma que todos os n estados sejam medidos ie 𝐶 I 𝐷 0 Assuma que o sistema seja controlável ie o posto de 𝑀𝑐 𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝑛1𝐵 ℝ𝑛𝑛 é completo uma única entrada O projeto visa alocar os polos desejados 𝑧 𝑧1 𝑧𝑛 no sistema atual por meio da realimentação de estado 𝑢 𝐾𝑥 onde 𝐾 𝐾1 𝐾𝑛 é a matriz de ganho estático desconhecida 𝐾1 𝐾𝑛 𝑥1 𝑥𝑛 𝐾1𝑥1 𝐾𝑛𝑥𝑛 Lei de controle dependência de x e k versus sinal de controle dependência de k como era entrada degrau rampa etc Projeto por Alocação de Polos Método 1 Igualdade de polinômios Substituindo a lei de controle na equação de estado temse 𝑥 𝑘 1 𝐴 𝐵𝐾 𝑥 𝑘 Lembrese que os autovalores de ሚ𝐴 𝐴 𝐵𝐾 correspondem aos polos da função de transferência Polinômio característico do sistema 𝑧I ሚ𝐴 𝑧 𝑧1 𝑧 𝑧𝑛 Isto é os ganhos de K aparecem no polinômio para estabelecer os autovalores desejados 𝑧1 𝑧𝑛 Projeto por Alocação de Polos O projeto pode ser facilitado se o sistema estiver na forma canônica controlável Forma canônica controlável 𝑥 𝑘 1 0 0 𝑎0 1 0 𝑎1 0 1 𝑎2 0 0 0 𝑎𝑛1 𝑥 𝑘 0 0 1 𝑢𝑘 𝐴 𝐵𝐾 0 0 𝑎0 𝐾1 1 0 𝑎1 𝐾2 0 1 𝑎2 𝐾3 0 0 0 𝑎𝑛1 𝐾𝑛 Projeto por Alocação de Polos Método 2 Forma controlável Polinômio característico da planta 𝛼 𝑧 𝑧I 𝐴 𝑧𝑛 𝑎𝑛1𝑧𝑛1 𝑎1𝑧 𝑎0 Polinômio característico de malha fechada 𝑧I 𝐴 𝐵𝐾 𝑧𝑛 𝑎𝑛1 𝐾𝑛𝑧𝑛1 𝑎1 𝐾2𝑧 𝑎0 𝐾1 Polinômio característico desejado 𝛼𝑐 𝑧 𝑧𝑛 𝛽𝑛1𝑧𝑛1 𝛽1𝑧 𝛽0 Após igualar os polinômios 𝐾𝑖1 𝛽𝑖 𝑎𝑖 𝑖 01 𝑛 1 Projeto por Alocação de Polos Método 3 Fórmula de Ackermann Nem todo sistema aparece na forma controlável nesse caso o método de Ackermann é mais prático Em princípio a entrada deve ser unidimensional cuja matriz de controlabilidade 𝑀𝑐 ℝ𝑛𝑛 associada deve ser invertível Polinômio de matriz obtido a partir do polinômio desejado 𝛼𝑐 𝐴 𝐴𝑛 𝛽𝑛1𝐴𝑛1 𝛽1𝐴 𝛽0I ℝ𝑛𝑛 Computação da matriz de ganho 𝐾 0 0 0 1 𝑀𝑐1𝛼𝑐 𝐴 ℝ1𝑛 Projeto por Alocação de Polos Exemplo Igualdade de polinômios 𝑀𝑐 𝐵 𝐴𝐵 𝑇 𝑇 𝑇22 3𝑇22 e 𝑇 0 portanto existe 𝑀𝑐1 𝛼𝑐 𝑧 𝑧 08 𝑗025 𝑧 08 𝑗025 𝑧2 16𝑧 07 𝑧I 𝐴 𝐵𝐾 𝑧 1 𝑇𝐾1 𝑇𝐾2 𝑇 𝑇2 2 𝐾1 𝑧 1 𝑇2 2 𝐾2 𝑧I 𝐴 𝐵𝐾 𝑧2 2 𝑇𝐾1 𝑇2 2 𝐾2 𝑧 1 𝑇𝐾1 𝑇2 2 𝐾2 ൞ 𝐾1 𝑇 2 𝐾2 04 𝑇 𝐾1 𝑇 2 𝐾2 03 𝑇 ൞ 𝐾1 035 𝑇 35 𝐾2 01 𝑇2 10 Projeto por Alocação de Polos Exemplo Ackermann Estimação de Estados Na prática nem todos os estados de um sistema são medidos Nem todos os estados possuem significado físico Exemplo Corrente e tensão de estator em um motor de indução podem ser medidas mas as de rotor não A medição de alguns estados pode ser onerosa ou impraticável Exemplo Em plataforma de petróleo alguns sensores só podem ser instalados uma vez Nesse caso a lei de controle requer que os estados sejam estimados Para isso o sistema deve ser observável 𝑀𝑜 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴𝑛1 ℝ𝑛𝑛 deve ser invertível saída unidimensional Estimação de Estados Erro de estimação 𝑒 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 𝑒 𝑘 1 𝐴 𝐿𝐶 𝑒𝑘 O ganho L deve garantir que lim 𝑘𝑒 𝑘 0 eig 𝐴 𝐿𝐶 1 assintoticamente estável Estimação de Estados 𝑒 𝑘 𝑥 𝑘 𝑥 𝑘 𝑒 𝑘 1 𝐴 𝐺𝐶𝐴 𝑒𝑘 O ganho G deve garantir que lim 𝑘𝑒 𝑘 0 eig 𝐴 𝐺𝐶𝐴 1 assintoticamente estável Estimação de Estados Observação As raízes 𝑧1 𝑧𝑛 da matriz de estado do erro devem ser duas a seis vezes mais rápidas que as raízes do regulador por realimentação de estados de forma que a resposta global do sistema em malha fechada seja dominada pelos polos da lei de controle Estimação de Estados Método 1 Alocação de Polos Polinômio característico desejado para o erro de estimação 𝛼𝑜 𝑧 𝑧 𝑧1 𝑧 𝑧𝑛 Ganho do estimador deve satisfazer 𝑧I 𝐴 𝐿𝐶 𝛼0 𝑧 preditor 𝑧I 𝐴 𝐺𝐶𝐴 𝛼0 𝑧 filtro Estimação de Estados Método 2 Forma canônica observável Estimação de Estados Método 3 Fórmula de Ackermann Estimação de Estados Exemplo Parte I Para o sistema descrito pelas matrizes 𝐴 1 0 𝑇 1 𝐵 𝑇 𝑇22 𝐶 0 1 𝐷 0 𝑇 01 s aloque os polos da dinâmica do erro de predição e filtragem em 𝑧12 04 𝑗04 𝑧I 𝐴 𝐿𝐶 𝑧2 𝑙2 2 𝑧 1 𝑇𝑙1 𝑙2 𝑧2 08𝑧 032 ቊ 𝑙2 2 08 1 𝑇𝑙1 𝑙2 032 ቊ𝑙1 052𝑇 𝑙2 12 𝐿 52 12 𝑧I 𝐴 𝐺𝐶𝐴 𝑧2 𝑔2 𝑔1𝑇 2 𝑧 1 𝑔2 𝑧2 08𝑧 032 ቊ𝑔2 𝑔1𝑇 2 08 1 𝑔2 032 ቊ𝑔1 052𝑇 𝑔2 068 𝐺 52 068 Obs Os ganhos estão relacionados por 𝐿 𝐴𝐺 Estimação de Estados Exemplo Parte II Simulação dos erros de predição e filtragem com condição inicial não nula 𝑒0 0 𝑒1 𝑒2 𝑒 𝑘 1 𝐴 𝐺𝐶𝐴 𝑒𝑘 𝑒 𝑘 1 𝐴 𝐿𝐶 𝑒𝑘 Estimação de Estados Controle I Exemplo Parte III Combinando controle e estimação de estados com 𝑟 𝑘 1 𝑘 0 Nesse caso 𝑢 𝑁𝑟 𝑘 𝐾𝑥𝑘 sendo N dada por 𝑌 𝑧 ቤ 𝑅 𝑧 𝑧1 𝐶 I 𝐴 𝐵𝐾 1𝐵𝑁 1 Neste exemplo 𝑁 10 mesmo que rk fosse variável 𝑥1 0 𝑦 𝑥2 𝑟 Estimação de Estados Controle II Exemplo Parte IV Ação integral para controlar o sistema dado 𝑟 𝑘 1 𝑘 0 Sistema aumentado ቐ𝑥 𝑘 1 ሚ𝐴𝑥 𝑘 ෨𝐵𝑢 𝑘 0𝑛1 𝑇 𝑟𝑘 𝑦 𝑘 ሚ𝐶 𝑥 𝑘 𝐷𝑢𝑘 𝑥 𝑥 𝑢𝑖 ෩A 𝐴 0𝑛1 𝑇 𝐶 1 ෩𝐵 𝐵 𝑇 𝐷 ෩𝐶 𝐶 0𝑚1 𝑢 𝑘 𝐾 𝐾𝑖 𝑥 𝑘 𝑢𝑖 𝑘 𝑢𝑖 𝑘 1 𝑢𝑖 𝑘 𝑇 𝑒 𝑘 𝑒 𝑘 𝑟 𝑘 𝑦𝑘 O terceiro autovalor em malha fechada deve ser 𝑧 0 integração O sistema aqui aumentado não é observável isso não é regra geral Portanto a estimação de estados será ilustrada assumindo que a entrada 𝑢𝑘 é conhecida Estimação de Estados Controle II Exemplo Parte V True Observações Para saber o valor de regime permanente 𝑘 de todos os estados dada uma referência constante 𝑟 𝑘 faça 𝑥 𝑘 1 𝑥 𝑘 ҧ𝑥 ҧ𝑥 ሚ𝐴 ҧ𝑥 ෨𝐵𝑟 I ሚ𝐴 ҧ𝑥 ෨𝐵𝑟 ҧ𝑥 I ሚ𝐴 1 ෨𝐵𝑟 com ෩A 𝐴 𝐵𝐾 𝐵𝐾𝑖 𝑇 𝐶 1 ෩𝐵 0 𝑇 Confira o resultado do problema anterior Caso o projeto do controlador digital por alocação de polos parta de uma planta contínua devemos primeiro obter o equivalente discreto 𝐺 𝑧 c2d𝐺 𝑠 𝑇 e mapear os polos desejados com 𝑧 𝜀𝑠𝑇