Equações: Tipos e Resolução

i Equagoes O que uma Equacao e EF uma sentenga escrita em linguagem matematica caracterizada pela igualdade entre duas expressoes algébricas dois membros separadas pelo sinal de igual e que apresenta ao menos uma incdgnita Incégnita é o valor que devemos determinar para tornar a sentenca matematica verdadeira e Exemplos o 1 2x 6 2 b 64 3 3x 2y 6 474257 A Oo 61 Equado do 1 grau Quando o maior valor do expoente das variaveis é 1 a equacao denominada equacao do 1 grau podendo ser representadas sob a forma ax b 0 em que ae b sao numeros reais com a diferente de zero ie a 0 e x a incognita ou variavel que tem o expoente igual a 1 LEITE e CASTANHEIRA 2014 p48 ec Exemplos o13x40 Qex20 32x57 Quando determinamos o valor de x ou de qualquer outra incognita em uma equacao dizemos que estamos resolvendo essa equacao A Oo 61 Equado do 1 grau e Solugao de uma equagao do 1 grau usando os principios aditivo e multiplicativo 2x 4 12 Aplicando o principio aditivo somamos 4 aos dois membros da equagaéao 2x44124 8 2x 8 entao x 2 finalmente x 4 Aplicando o principio multiplicativo multiplicamos os dois membros da equacao por 7 1 1 oI 2x5 85 8 o xe 2 ox4 Logo 4 a solucgao da equacao A Oo 62 Equado do 2 grau E toda fungao polinomial do tipo ax bx c 0em que necessariamente a 0 garantindo a existéncia de x2 Quando a equacéo do segundo grau ax bx c 0 tiver seus coeficientes b 0 ouc 0 ou ainda b c 0 dizemos que ela esta em sua forma incompleta Nas equacgoes do segundo grau a b e c sao numeros reais com a 0 e x a variavel ou incégnita VALE 2013 c Exemplos y x3x60 2 x3x126x8 x x5x0 4 x90 A Oo 621 Soluago de equacoes de 2 grau ec A primeira descricao da regra geral para achar as raizes da equacao do 2 grau parece ser de Sridhara matematico hindu que viveu entre 850 e 950 aC c Sridhara enunciou a regra que originou a formula atual para a resolucao de equagdes do segundo grau Apdos sua descoberta batizoua como formula geral para resolucao da equacéo polinomial do segundo grau VALE 2013 p27 2 A b4ac Pe eG 2a Discriminante da Fe Formula de Bhaskara Roe ee care A Oo 621 Solucao de equacoes de 2 grau Cupertino et al 2009 ao ajustar equacoées de predicao para producao de poedeiras leves de 54 a 70 semanas de idade encontrou a seguinte equacao Y 236487880088N605339N em que N o nivel de lisina digestivel e Y a producao de ovosdia Diante desse contexto para quais niveis de lisina digestivel a produao de ovosdia foi nula A Oo 621 Solucao de equacoes de 2 grau Os niveis de lisina digestivel a x xbtv bi sac substituindo os valores produgaéo de ovosdia foi nula t oe quando OS 236487880088N605339N 0 y 88008888008824605339236487 2605339 Aplicando a formula de resolugao 8800887745548857261921 de equacées de 2 grau temos Y 4210678titCW ees 88008820193567 88008844937 a esta com incognita ao quadrado Y 1210678 Y 4210678 b 880088 88008844937 430718 se Y 036 b esta com incdgnita com expoente 1 1210678 1210678 c 236487 88008844937 1329458 oe Y oo 110 4 c esta sem incognita independente 1210678 1210678 A Oo 621 Solucao de equacoes de 2 grau Logo para os niveis de lisina de 036 e 110 a produgao de ovosdia neste experimento foi nula Este fato reforca as conclus6es dos autores do experimento que concluem que os niveis dtimos de lisina digestiveis para uma boa produgao de ovosdia em termos econémicos varia de 0692 e 0724 63 Equacdo Exponencial ce Uma equaao exponencial é aquela que apresenta a incognita no expoente de pelo menos uma de suas poténcias ce Um método usado para resolver é a reducao de ambos os membros da equagao a poténcia de mesma base a com 0 aea 1 e dai aplicar a propriedade a a x1 x2 Quando isso é possivel a equacgao exponencial pode ser facilmente resolvida IEZZI et al 2016 p143 c Exemplos py 42 416 64 2 25 52 0 631Solucgo de equacodes exponencias c Para resolver equacdes exponenciais preciso encontrar o valor numérico da incdgnita o Para tanto é necessario ter conhecimento dos conteudos de equacao de 1 grau e 2 grau Vamos resolver a equacdo 4t 16 64 641Solucgo de equacoes exponencias 42 4 16 64 Aplicando a propriedade do produto de poténcias no primeiro termo 4 47 16 64 fatorando o segundo termo 4 424 42 64 chamamos 4y fazemos mudanga de variavel y16 y 64 Colocamos na ordem de equacao de 2 grau e resolvemos pela formula utilizada no item anterior deste capitulo 641Solucgo de equacoes exponencias y 16y 64 0 esta equacao de 2grau tem raizes reais e iguais y 8 Bhaskara Voltamos agora para a mudanea de variavel realizada 4 y substituindo e fatorando os numeros temos 48 223 por conta da igualdade das bases serem 0 mesmo valor sao simplificadas Restando apenas 2x 3 que uma equacao de 1 grau e sua solugaéo é x 2 641 Definido de Logaritmos Sendo a e b numeros reais e positivos com a 1 denominase logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a para que a poténcia alcanada seja igual a b isto é loggh x a b c Em que a é base do logaritmo x é 0 logaritmo e b o logaritmando IEZZI et al 2016 p149 ec Exemplos 1 Calcular log39 Solucao log9 x 3 9 3 34 x2 1 Calcular log 32 x 5 Solugo log 32 x 32 2 ox5 641 Definigado de Logaritmos oNotem que esses exemplos trazem valores numéricos possiveis de fatoracao ou seja o logaritmando é fator da base Mas nem sempre isso acontece Por exemplo se precisarmos calcular log30 como o 30 nao é uma poténcia racional de 2 neste caso a calculadora é 0 meio mais facil e rapido de se obter o resultado mas a maioria das calculadores faz o calculo de logaritmos na base 10 e na base e diante disso para resolver logaritmos na calculadora com a base 10 necessario conhecer a propriedade de mudanga de base 642 Mudanca de Base Segundo Iezzi et al 2016 p158 suponha a b e c numeros reais positivos com a e b diferentes de 1 Temos i logyc O9ae logpa e Exemplo 1 Calcular log350 Utilizando a técnica de mudanga de base vamos mudar para base 10 e resolver utilizando calculadora logy950 170 log350 logio3 048 354 ec Obs quando um logaritmo esta na base 10 é comum omitirmos o valor da base ou seja quando aparecer apenas log 45 significa que a base é 10 643 Propriedades Operatorias Droprieaace a a a eee log bc log 60 log2310 loggb loggc log2 log3 log 10 i b oO c log 5 log8 oglog5lo logb loggc 88 8 8 Seams 644 Definicado de Equacdo Logaritimica oChamase equacao logaritmica toda equacao que envolve logaritmos com a incognita aparecendo no logaritmando na base ou em ambos Séo resolvidas aplicandose as propriedades dos logaritmos e verificando as condicées de existéncia IEZZI et al 2016 Exemplos Resolver a equacao logaritmica loggx 6x logg14 x 644 Definicado de Equacdo Logaritimica Resolver a equacao logaritmica loggx 6x logg14 x Zz Condicao de existéncia 6x 0 14x0 Como a base a mesma nos dois lados da equagao podemos utilizar o principio da igualdade x 6x14x x6xx140 x5x140 Aplicando a formula de resolugao de equacées de 2 grau temos x 2 x7 Logo a solucao sera S 2 7