Plano de Ensino - Métodos Matemáticos: Álgebra Linear, Cálculo Numérico, Probabilidade e Estatística

Métodos Matemáticos Bemvindo Fonte encurtadorcombrvyPT7 Introdução Plano de ensino UNIDADE DE ENSINO 1 INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR COMPETÊNCIAS Aplicar matrizes e suas operações na resolução de sistemas lineares e conhecer as aplicações de vetores e suas RESULTADO DE Representação de dados na forma matricial modelagem de problemas aplicados como sistema de equações APRENDIZAGEM lineares e aplicação de matrizes na resolução desses Aplicação de vetores e suas operações na resolução de SEÇÃO 1 MATRIZES Teórico CONTEÚDO Matrizes Definição propriedades e operações básicas Tipos de matrizes Produto entre matrizes Determinantes SEÇÃO 2 SISTEMAS LINEARES Teórico CONTEÚDO Sistemas de equações lineares definição geral e matricial Operações elementares matrizes equivalentes e escalonamento Sistemas nãohomogêneos Matrizes inversíveis SEÇÃO 3 AUTOVALORES E AUTOVETORES Teórico CONTEÚDO Espaços vetoriais Transformações lineares e operadores Autovalores e autovetores Diagonalização Plano de ensino UNIDADE DE ENSINO 2 CÁLCULO NUMÉRICO COMPETÊNCIAS Realizar interpolação polinomial com a finalidade de aproximar funções reais e aproximar a integral definida de RESULTADO DE Determinação de polinômios interpoladores e análises de erros na interpolação e análise de algoritmos para APRENDIZAGEM determinação da integral definida de uma função de modo aproximado SEÇÃO 1 ZEROS DE FUNÇÕES Teórico CONTEÚDO Aritmética de ponto flutuante Erros e estimativas para o erro Zeros de funções reais Determinação de zeros de funções reais por meio de métodos numéricos e seus algoritmos SEÇÃO 2 INTERPOLAÇÃO Teórico CONTEÚDO Interpolação polinomial Forma de Lagrange Erro na interpolação polinomial Fórmula interpoladora de Newton SEÇÃO 3 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Teórico CONTEÚDO Integração através dos métodos numéricos e seus algoritmos Fórmula de NewtonCotes Regra dos Trapézios Regra de Simpson Plano de ensino UNIDADE DE ENSINO 3 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA COMPETÊNCIAS Conhecer os fundamentos estatísticos e probabilísticos necessários à formação do profissional da área de exatas RESULTADO DE Aplicação dos fundamentos de probabilidade e estatística na análise de situações realistas para o profissional de APRENDIZAGEM Engenharia e Ciências Exatas SEÇÃO 1 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Teórico CONTEÚDO Introdução à probabilidade eventos aleatórios espaços amostrais Introdução à estatística população e amostra Amostragem probabilística e não probabilística Aplicações da estatística SEÇÃO 2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E DE DISPERSÃO Teórico CONTEÚDO Medidas de tendência central com aplicações Médias Mediana Moda e Amplitudes Medidas de dispersão com aplicações Variância Desvio padrão e Coeficiente de variação SEÇÃO 3 REGRESSÃO LINEAR E CORRELAÇÃO Teórico CONTEÚDO Gráfico de dispersão Coeficiente correlação liner Regressão linear simples Método dos mínimos quadrados Plano de ensino UNIDADE DE ENSINO 4 ESTATÍSTICA APLICADA E PROBABILIDADE COMPETÊNCIAS Compreender os fundamentos probabilísticos e estatísticos para tomada de decisão necessários na prática RESULTADO DE APRENDIZAGEM Aplicação dos conceitos estatísticos e de probabilidade para resolução de problemas de situações realistas e tomar decisões diante das hipóteses estatísticas pertinentes às atividades profissionais da área de Engenharia e SEÇÃO 1 ESTATÍSTICA DESCRITIVA Teórico CONTEÚDO Métodos tabulares Métodos gráficos Tipos de variáveis Uso do Excel para métodos tabulares e gráficos SEÇÃO 2 PROBABILIDADE Teórico CONTEÚDO Introdução à probabilidade técnicas de contagem Probabilidade condicional Distribuições de probabilidade para variáveis discretas e contínuas Distribuição normal SEÇÃO 3 MÉTODOS DE TOMADA DE DECISÃO Teórico CONTEÚDO Hipótese estatística Teste de uma cauda e de duas caudas Teste t e teste z e testes referentes à proporção amostral Aplicação de testes de hipóteses Matrizes 9 Definições Matriz de ordem 𝑚 𝑛 Tabela constituída por 𝑚 𝑛 elementos dispostos em m linhas horizontais e n colunas verticais Cada elemento depende de dois índices 𝑚 e 𝑛 10 Definições a A ij mn m2 1 m 2n 22 21 1n 12 11 a a a a a a a a a A n j 1 m i 1 O par de números 𝒎 e 𝒏 é chamado de tamanho tipo ou ordem da matriz 11 Exemplo Uma indústria tem quatro fábricas A B C D cada uma das quais produz três produtos 1 2 3 A tabela mostra a produção da indústria durante uma semana 380 210 270 280 3 Prod 80 420 450 340 2 Prod 0 380 360 560 1 Prod Fab D Fab C Fab B Fab A Quantas unidades do produto 2 foram fabricadas pela fábrica C 12 Exemplo de representação de uma matriz Matriz 𝐴 𝑎𝑖𝑗2𝑥3 em que 𝑎𝑖𝑗 2𝑖 𝑗 𝑎11 2 1 1 3 𝑎12 2 1 2 4 𝑎13 2 1 3 5 𝑎21 2 2 1 5 𝑎22 2 2 2 6 𝑎23 2 2 3 7 Matriz do tipo 2 x 3 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝐴 3 4 5 5 6 7 13 Tipos de matrizes Matriz linha 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 Matriz coluna 𝑎11 𝑎12 𝑎𝑛1 Matriz nula todos os elementos são nulos 0 0 0 0 14 Tipos de matrizes Matriz Diagonal os elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero 3 0 0 0 5 0 0 0 2 A 15 Tipos de matrizes Matriz triangular os elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero 6 1 3 0 2 5 0 0 4 B 16 Matriz Quadrada Matriz 𝑚 𝑛 na qual o número de linhas e o número colunas são iguais 𝑚 𝑛 Dizemos que a matriz é de ordem 𝑛 nn n2 1 n 2n 22 21 1n 12 11 n n a a a a a a a a a A Diagonal Principal Diagonal Secundária 17 Matriz Identidade Matriz quadrada onde todos os elementos que estão na sua diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I 4 4 18 Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B são iguais 𝐴 𝐵 se Possuem mesmo tamanho Os elementos correspondentes são iguais 19 Exemplo de igualdade entre matrizes Calcule 𝑥 𝑦 𝑧 2 2𝑦 4 5𝑥 𝑥 8 𝑧 10 Dúvidas Operações com matrizes 22 Adição e Subtração Dadas as matrizes abaixo determine a A B b B C 2 0 1 3 2 4 C 2 1 3 2 4 0 B 3 2 0 4 3 5 A 23 Multiplicação por escalar Dadas as matrizes abaixo determine a matriz 𝑋 tal que 𝑋 𝐴 𝐵 2𝐶 4 2 3 3 C 1 3 2 0 B 1 0 5 2 A Multiplicação de matrizes Considere as matrizes 𝐴𝑚 𝑝 𝑎𝑖𝑗 𝑒 𝐵𝑝 𝑛 𝑏𝑖𝑗 coluna linha m n m p p n C A B p 1 k kj ik ij b a c n j m e 1 i 1 25 Multiplicação de matrizes Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑏11 𝑏12 𝑏21 𝑏22 𝑎11 𝑏11 𝑎12 𝑏21 𝑎11 𝑏12 𝑎12 𝑏22 𝑎21 𝑏11 𝑎22 𝑏21 𝑎21 𝑏12 𝑎22 𝑏22 26 Multiplicação de matrizes Sejam A B e C matrizes Sempre que os produtos e somas forem definidos 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝐴 𝐴 0 0 27 Exemplo Dadas as matrizes abaixo determine o produto AB e BA 5 2 9 4 B 3 8 1 6 A 28 Exemplo 𝐴 𝐵 6 1 8 3 4 9 2 5 24 9 16 15 32 𝐵 𝐴 4 9 2 5 6 1 8 3 24 4 32 12 54 9 72 27 12 30 2 5 16 6 40 15 Atividade Calcule 8 6 2 5 5 2 Dúvidas 33 Matriz transposta Quando linhas e colunas são trocadas A primeira linha vira primeira coluna e assim por diante 𝐴 3 4 1 7 𝐴𝑡 3 1 4 7 Transposta Matriz transposta e Determinantes 34 Exemplo Represente a transposta da seguinte matriz 𝐴 3 1 8 0 9 4 𝐴𝑡 3 8 9 1 0 4 35 Determinantes Determinante é um tipo de função que associa um número real fX a uma matriz quadrada X Representações det 𝐴 𝑜𝑢𝐴 36 Determinante de ordem 1 O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da matriz 𝐴 4 det 𝐴 4 37 Determinantes de ordem 2 det 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 det 𝐴 𝑎11𝑎22 𝑎12𝑎21 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 38 Exemplo 𝐵 1 5 3 2 det 𝐵 1 5 3 2 det 𝐵 12 35 det 𝐵 2 15 det 𝐵 2 15 det 𝐵 17 39 Determinantes de ordem 3 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 Regra de Sarrus 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 40 Exemplo 𝐶 2 1 1 0 5 2 1 3 4 det 𝐶 2 1 1 0 5 2 1 3 4 2 0 1 1 5 3 det 𝐶 254 1 2 1 10 3 151 3 2 2 401 det 𝐶 40 2 0 5 12 0 det 𝐶 38 17 det 𝐶 21 42 Atividade Sabendo que det 𝐴 8 qual valor de a 𝐴 3 2 𝑎 1 2 𝑎 2 1 𝑎 Atividade 43 Resolvendo Aplicando Regra de Sarrus det 𝐴 3 2 𝑎 1 2 𝑎 2 1 𝑎 3 1 2 2 2 1 det 𝐴 3 2 𝑎 2 𝑎 2 𝑎 1 1 𝑎 2 2 3 𝑎 1 21 𝑎 det 𝐴 6𝑎 4𝑎 𝑎 4𝑎 3𝑎 2𝑎 det 𝐴 3𝑎 5𝑎 det 𝐴 2𝑎 44 Resolvendo Como det 𝐴 8 2𝑎 8 𝑎 8 2 4 Dúvidas Recapitulando 47 Recapitulando Matriz linha 𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛 Matriz coluna 𝑎11 𝑎12 𝑎𝑛1 Matriz nula todos os elementos são nulos 0 0 0 0 48 Recapitulando Matriz Diagonal os elementos localizados acima e abaixo da diagonal principal são iguais a zero Matriz triangular os elementos localizados acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero 3 0 0 0 5 0 0 0 2 A 6 1 3 0 2 5 0 0 4 B 49 Recapitulando Duas matrizes A e B são iguais 𝐴 𝐵 se Possuem mesmo tamanho Os elementos correspondentes são iguais 50 Recapitulando Adição e Subtração de Matrizes As matrizes têm que ter mesma ordem Multiplicação de Matrizes Número de linhas da primeira matriz tem que ser igual ao número de colunas da segunda matriz 51 Recapitulando Determinantes det 𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑑𝑒𝑡𝐴 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 52 Referências ANTON Howard RORRES Chris Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2001 BOLDRINI José Luiz et al Álgebra linear 3 ed São Paulo Harper Row do Brasil 1980 KOLMAN Bernard HILL David R Introdução à álgebra linear com aplicações Rio de Janeiro LTC 2006 LIPSCHUTZ Seymour LIPSON Marc Lars Álgebra linear 4 ed Porto Alegre Bookman 2011