Análise de Sistemas Subamortecidos e Cálculo de Constantes de Amortecimento

Pelas equações 266 e 265 podemos escrever Assim a solução Equação 264 pode ser escrita como xt C₁eζtζ²1ωₙt C₂eζtζ²1ωₙt Comparação entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento A natureza das raízes s₁ e s₂ por consequência o comportamento da solução Equação 269 depende da magnitude do amortecimento Podese perceber que o caso ζ 0 resulta nas vibrações não amortecidas discutidas na Seção 22 Por consequência admitimos que ζ 0 e consideramos os três casos seguintes Variação do decremento logarítmico com amortecimento Caso 1 Sistema subamortecido ζ 1 ou c cc ou 2m km Para essa condição ζ²1 é negativo e as raízes s₁ e s₂ podem ser expressas como Resposta da bigorna de um martelo de forjar s₁ ζ i1 ζ²ωₙ EXEMPLO 211 Amortecedor de choque para uma motocicleta O projeto de um absorvedor de choque subamortecido para uma motocicleta de 200 kg de massa deve atender as seguintes especificações quando o amortecedor estiver sujeito a uma velocidade vertical inicial devido a uma saliência na estrada a curva deslocamentotempo resultante deve ser como a indicada na Figura 231a Determine as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor e o período de vibração amortecida de 2 s e amplitude x1 onde a velocidade inicial mínima que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm Abordagem usamos a equação para o decrecimento logarítmico em termos do fator de amortecimento equação para o período de vibração amortecida tempo correspondente ao deslocamento máximo para um sistema subamortecido e envelope que passa pelos pontos máximos de um sistema subamortecido Solução Visto que x15 x14 x2 x14 e x116 Por consequência o decrecimento logarítmico tornase δ lnx1x2 ln16 27726 2πωn1 ζ² E1 pela qual o valor de ζ poderia ser determinado como ζ 04037 O período de vibração amortecida é dado como 2 τd 2πωd 2πωn1 ζ² ωn 2π21 04037² 33438 rads A constante de amortecimento crítico pode ser obtida por cc 2mωn 220033438 137354 Nsm Assim a constante de amortecimento é dada por c ζcc 04037137354 5544981 Nsm e a rigidez por k mωn² 20033438² 23582652 Nm s₂ ζ i1 ζ²ωₙ EXEMPLO 212 Análise de um canhão O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na Figura 232 28 Quando a arma é disparada gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do cano até uma velocidade muito alta A força de reação empurra o cano de canhão na direção contrária ao do projétil Visto que é desejável que o canhão volte à posição de repouso no menor tempo possível sem oscilação ele é forçado a fazer uma translação para trás com um sistema molaamortecedor criticamente amortecido denominado mecanismo de recuo Em um caso particular o canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com uma mola de recuo de rigidez 10000 Nm O recuo do canhão após um disparo é 04 m Determine 1 o coeficiente de amortecimento crítico do atenuador 2 a velocidade inicial de recuo do canhão e 3 o tempo que leva para o canhão retornar até uma posição a 01 m de sua posição inicial Solução 1 A frequência natural não amortecida do sistema é ωn km 10000500 44721 rads e o coeficiente de amortecimento crítico Equação 265 do amortecedor é cc 2mωn 250044721 44721 Nsm e a solução Equação 269 pode ser escrita de formas diferentes A solução da Equação E3 dá τ1 03678 s O envelope que passa pelos pontos máximos ver Problema 286 é dado por x 1 ζ²Xeζωnt Já que r 250 mm a Equação E2 dá em τ1 025 1 04037²Xe040374472103678 ou X 04550 m A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento xt Xeζωntsenωdt como xt Xeζωntζωnsinωdt ωd cosωdt Quando t 0 a Equação E3 dá x0 x0 Xωn 04550343381 04037² 14294 ms xt C₁eζζ²1ωₙt C₂eζζ²1ωₙt Assim a posição para t 039734º em relação à posição de equilíbrio do mesmo lado do deslocamento inicial eζωₙt C₁eζ²1ωₙt C₂eζ²1ωₙt Como afirmamos na Seção 19 o amortecimento causado pelo atrito entre os planos internos que escorregam ou deslizam à medida que o material se deforma é denominado amortecimento por histerese ou amortecimento sólido ou estrutural eζωₙt C₁ C₂ cos 1 ζ²ωₙt iC₁ C₂ sen 1 ζ²ωₙt Assim o movimento cessa após seis meiosciclos 2 O deslocamento angular após seis meiosciclos é dado pela Equação 2120 θ 010472 6 400 490875 0006935 rad 039734º As constantes X φ podem ser expressas como De maneira semelhante se uma mola e um amortecedor por histerese forem ligados em paralelo como mostrado na Figura 236b a relação forçadeslocamento pode ser expressa como F k ihx 2129 onde k ih k 1 hk iβ k1 iβ 2130 é denominada a rigidez complexa do sistema e β hk é uma constante que indica uma medida dimensional de amortecimento Resposta do sistema Em termos de β a perda de energia por ciclo pode ser expressa como dW πkβX² 2131 Sob amortecimento por histerese o movimento pode ser considerado como aproximadamente harmônico visto que dW é pequeno e a diminuição na amplitude por ciclo pode ser determinada usando o equilíbrio de energia Por exemplo as energias nos pontos P e Q separados por metade de um ciclo na Figura 237 estão relacionadas como kX² 2 πkβX² 4 πkβX² 4 kX²j05 2 ou Xj Xj05 2 πβ 2 πβ 2132 De maneira análoga as energias nos pontos Q e R dão Xj05 Xj1 2 πβ 2 πβ 2133 A multiplicação das equações 2132 e 2133 dá Xj Xj1 2 πβ 2 πβ 1 πβ 2134 EXEMPLAR 215 Estimativa de constante de amortecimento por histerese X X₀ C₁² C₂² constante de amortecimento por histerese h é dada por h dW πX² 25 π0008² 1243395 E2 e por conseguinte β hk 1243395 50000 0248679 O decremento logarithmico pode ser determinado δ πβ π0248679 078125 E3 EXEMPLO 216 Resposta de uma estrutura de ponte com amortecimento por histerese Uma estrutura de ponte é modelada como um sistema com um grau de liberdade com uma massa equivalente de 5 10⁵ kg e uma rigidez equivalente de 25 10⁶ Nm Durante um teste de vibração livre constatouse que a razão entre amplitudes sucessivas era 104 Estime a constante de amortecimento estrutural β e a resposta de vibração livre aproximada da ponte Solução Usando a razão entre amplitudes sucessivas a Equação 2135 dá o decremento logarítmico por histerese δ como δ lnXjXj1 ln104 ln1 πβ ou 1 πβ 104 ou β 004π 00127 O coeficiente de amortecimento viscoso equivalente ceq pode ser determinado pela Equação 2138 como ceq βkω βkkm E1 Usando os valores conhecidos da rigidez equivalente k e da massa equivalente m da ponte a Equação E1 dá ceq 00127V25 10⁶5 10⁵ 449013 10³ Nsm A constante de amortecimento crítico equivalente da ponte pode ser calculada pela Equação 265 como cc 2km 225 10⁶5 10⁵ 70710678 10³ Nsm φ tg1C₁C₂ φ₀ tg1C₂C₁ O movimento descrito pela Equação 272 é um movimento harmônico amortecido de frequência angular 1 ζ²ωₙ porém por causa do fator eζωₙt a amplitude diminui exponencialmente com o tempo como mostra a Figura 222 A quantidade ωₗ 1 ζ²ωₙ é denominada a frequência de vibração amortecida Podese ver que a frequência de vibração amortecida ωₗ é sempre menor do que a frequência natural não amortecida ωₙ A redução na frequência de vibração amortecida com o aumento da quantidade de amortecimento dada pela Equação 276 é mostrada em gráfico na Figura 223 O caso subamortecido é muito importante no estudo de vibrações mecânicas porque é o único que resulta em um movimento oscilatório Caso 2 Sistema criticamente amortecido ζ 1 ou c cc ou 2m km Nesse caso as raízes s₁ e s₂ da Equação 268 são iguais s₁ s₂ cc2m ωₙ Por causa das raízes repetidas a solução da Equação 259 é dada por xt C₁ C₂eωₙt A aplicação das condições iniciais x0 X₀ e x0 x₀ para esse caso dá C₁ X₀ x₀ ωₙx₀ C₂ X₀ζ ζ² 1 x₀ onde C₁ e C₂ são constantes arbitrárias a serem determinadas pelas condições iniciais do sistema 1 A Equação 281 mostra que o movimento é aperiódico independentemente das condições iniciais impostas ao sistema Visto que as raízes s₁ e s₂ são ambas negativas o movimento diminui exponencialmente com o tempo como mostra a Figura 224 A natureza das raízes s₁ e s₂ com a variação dos valores de amortecimento c ou ζ pode ser mostrada em um plano complexo No Figura 225 o eixo horizontal e vertical são escolhidos como os eixos real e imaginário O semicirculo representa o lugar geométrico das raízes s₁ e s₂ para diferentes valores de ζ na faixa 0 ζ 1 Essa figura permitenos ver instantaneamente o efeito do parâmetro ζ no comportamento do sistema Constatamos que para ζ 1 as raízes s₁ e s₂ são conjugadas complexas e localizadas simetricamente em relação ao eixo real A medida que o valor de ζ aumentase de 1 ambas as raízes aproximamse do ponto ωₙ no eixo real Se ζ 1 ambas as raízes estarão no eixo real numa crescendo e a outra decrescendo No limite quando ζ s₁ 0 e s₂ Podese ver que o valor ζ 1 representa um estágio de transição abaixo do qual ambas as raízes são complexas e acima do qual ambas as raízes são reais Um sistema criticamente amortecido terá o menor amortecimento requerido para movimento aperiódico por conseguinte a massa retorna à posição de repouso no menor tempo possível sem ultrapassar o limite A propriedade de amortecimento crítico é usada em muitas aplicações práticas Por exemplo almas de fogo de grande porte têm corretoras de mola com valor de amortecimento crítico para que voltem à sua posição original após o recuo no tempo mínimo sem vibrar Se o amortecimento for inadequado a massa será incapaz de retornar à posição original e a resposta amortecida de um sistema com um grau de liberdade pode ser representada em plano de fase ou espaço de estado como indicado na Figura 226 O decremento logarítmico representa a taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida É definido como o logaritmo natural da razão entre duas amplitudes sucessivas Vamos representar por t₁ e t₂ os tempos correspondentes a duas amplitudes deslocamentos consecutivas