Lista de Exercícios sobre Vibrações Mecânicas

Lista de exercícios Vibrações Mecânicas Prof Dr Flavio Maldonado Bentes Questão 1 Explique o que é vibração livre com amortecimento viscoso Resposta individualconteúdo teórico Questão 2 Descreva o sistema de vibração subamortecido Resposta individualconteúdo teórico Questão 3 Descreva o sistema de vibração criticamente amortecido Resposta individualconteúdo teórico Questão 4 Explique a diferença entre os sistemas subamortecido e superamortecido Resposta individualconteúdo teórico Questão 5 Defina o sistema de vibração forçada Resposta individualconteúdo teórico Questão 6 Exemplifique sistemas com amortecimento livre e forçado e explique a diferença entre ambos Resposta individualconteúdo teórico Questão 7 Uma bigorna pesa 4000 N possui base de rigidez igual a 5106 Nm com amortecimento viscoso de 10000 Nsm Seguidamente um martelo pilão de 900 N cai de uma altura de 15 m sobre a bigorna Considerando que a bigorna estava em repouso antes do impacto calcule a resposta da bigorna depois do impacto Considere o coeficiente de restituição de 035 𝑣𝑏1 0 𝑣𝑚1 2𝑔ℎ 298115 542 ms 𝑀𝑣𝑏2 𝑣𝑏1 𝑚𝑣𝑚1 𝑣𝑚2 4000 981 𝑣𝑏2 0 900 981 542 𝑣𝑚2 40774𝑣𝑏2 9174𝑣𝑚2 49724 equação 1 Lista de exercícios Vibrações Mecânicas Prof Dr Flavio Maldonado Bentes 𝑟 𝑣𝑏2 𝑣𝑚2 𝑣𝑏1 𝑣𝑚1 035 𝑣𝑏2 𝑣𝑚2 0 542 035 𝑣𝑏2 𝑣𝑚2 542035 𝑣𝑏2 𝑣𝑚2 1897 equação 2 Resolvendo o sistema linear formado pelas equações 1 e 2 encontramos 𝑣𝑚2 056 𝑚𝑠 e 𝑣𝑏2 134 𝑚𝑠 𝜁 𝐶 𝐶𝐶 𝐶 2𝑘𝑀 10000 25 106 4000 981 011 𝜔𝑛 𝑘 𝑀 5 106 4000 981 11073 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝜔𝑑 1 𝜁2𝜔𝑛 1 0112 11073 11004 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑥𝑡 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝑥0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 𝑥0 𝜁𝜔𝑛𝑥0 𝜔𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝑥0 𝑣𝑏1 0 𝑥0 𝑣𝑏2 134 𝑚𝑠 Lista de exercícios Vibrações Mecânicas Prof Dr Flavio Maldonado Bentes 𝑥𝑡 𝑒1225𝑡 0 134 0 11004 𝑠𝑒𝑛11004𝑡 𝑥𝑡 𝑒1225𝑡0012𝑠𝑒𝑛11004𝑡 m Questão 8 Uma motocicleta foi projetada com um sistema de absorção de choque Sabe se que ela possui 220 kg de massa Considerando o sistema massa mola uma amortecedor um determine a as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para considerando o período de vibração amortecida de 3 segundos Sabese que a amplitude x1 x2 16 b a equação do deslocamento em função do tempo xt para um deslocamento máximo de 200 mm 𝛿 𝑙𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑙𝑛 16𝑥2 𝑥2 𝑙𝑛16 27726 Cálculo do Fator de Amortecimento 𝜁 𝛿 2𝜋𝜁 1 𝜁2 27726 2𝜋𝜁 2771 𝜁2 2𝜋𝜁2 2771 𝜁2 2 𝜁24 𝜋2 27721 𝜁2 1 𝜁2 𝜁24 𝜋2 277262 1 𝜁2 𝜁2 513 𝜁2 613 1 𝜁2 0163 𝜁 0404 Lista de exercícios Vibrações Mecânicas Prof Dr Flavio Maldonado Bentes Cálculo das frequências naturais Frequência natural não amortecida 𝜔𝑛 𝜏𝑑 2𝜋 𝜔𝑑 3 2𝜋 𝜔𝑛1 𝜁2 𝜔𝑛 2𝜋 31 04042 229 𝑟𝑎𝑑𝑠 Frequência natural amortecida 𝜔𝑑 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜁2 2291 04042 209 𝑟𝑎𝑑s Cálculo da constante de amortecimento crítico Cc 𝐶𝑐 2𝑚𝜔𝑛 2220229 10076 𝑁𝑠𝑚 Constante de amortecimento C 𝜁 𝐶 𝐶𝑐 𝐶 𝜁𝐶𝑐 040410076 4071 𝑁𝑠𝑚 Lista de exercícios Vibrações Mecânicas Prof Dr Flavio Maldonado Bentes Cálculo da rigidez k 𝑘 𝑚 𝜔𝑛 2 220 2292 11537 𝑁𝑚 O deslocamento da massa atingirá o seu valor máximo no tempo t1 quando 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡1 1 𝜁2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡1 𝑠𝑒𝑛209𝑡1 1 04042 0915 209𝑡1 𝑠𝑒𝑛10915 OBS colocar a calculadora em radianos 209𝑡1 1155 𝑡1 1155 209 055 𝑠 O envelope passa pelos pontos máximos quando 𝑥𝑡 1 𝜁2𝑋𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 Como x 200 mm 020 m teremos que 020 1 04042𝑋𝑒0404229055 020 091476𝑋𝑒0509 𝑋 020 091476 𝑒0509 0364 𝑚 Lista de exercícios Vibrações Mecânicas Prof Dr Flavio Maldonado Bentes Cálculo do xt 𝑥𝑡 𝑋𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝑥𝑡 0364𝑒0404229𝑡𝑠𝑒𝑛209𝑡 0364𝑒092𝑡𝑠𝑒𝑛209𝑡 m Questão 9 Um canhão possui um mecanismo de recuo e juntos possuem massa de 500 kg O sistema possui uma mola de rigidez 9000 Nm Calcule a a frequência natural não amortecida do sistema b o coeficiente de amortecimento crítico Cálculo da frequência natural 𝜔𝑛 𝑘 𝑚 9000 500 424 𝑟𝑎𝑑𝑠 Cálculo do coeficiente de amortecimento crítico 𝐶𝑐 2𝑚𝜔𝑛 2500424 4240 𝑁𝑠𝑚 Questão 10 Em um teste estrutural envolvendo vibração livre observouse que a razão para amplitudes sucessivas é de 102 Sabese também que a estrutura foi caracterizada como um sistema de um grau de liberdade com massa de 6105 kg e rigidez de 2107 Nm Dessa forma determine a o decremento logarítmico b a contante estrutural de amortecimento 𝛽 c a constante de amortecimento viscoso equivalente d a constante de amortecimento crítico e o fator de amortecimento 𝛿 𝑙𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑙𝑛102 00198 𝛿 𝑙𝑛 1 𝜋𝛽 𝑙𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑙𝑛102 1 𝜋𝛽 102 Lista de exercícios Vibrações Mecânicas Prof Dr Flavio Maldonado Bentes 𝛽 636 103 𝐶𝑒𝑞 𝛽𝑘𝑚 636 103 2 107 6105 2217 103 𝑁𝑠 𝑚 𝐶𝐶 2𝑘𝑚 22 107 6105 693 106 𝑁𝑠 𝑚 𝜁 𝐶 𝐶𝑐 𝐶𝑒𝑞 𝐶𝑐 2217 103 693 106 00032 Questão 11 Uma bomba possui 200 lb de peso e está montada em uma placa de aço de 05 in de espessura 15 in de largura e 90 in de comprimento fixa por braçadeiras A placa está sujeita a uma força harmônica Ft 40 cos452t lb Sabese que E 30106 psi Determine a a resistência à flexão da viga b a amplitude da resposta harmônica Como Ft 40 cos452t lb então 𝐹0 40 𝑙𝑏 e 𝜔 452 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐼 𝑏ℎ3 12 15 053 12 0156 𝑖𝑛4 𝑘 192𝐸𝐼 𝑙3 19230 106 0156 903 123457 𝑙𝑏𝑖𝑛 𝑋 𝐹0 𝑘 𝑚𝜔2 40 123457 200 3864 4522 0226 𝑖𝑛 Questão 12 Determine a resposta total de um sistema com um grau de liberdade com m 8 kg c 15 Nsm k 3000 Nm x0 0015m e 𝑥0 0 considerando uma força externa Ft F0cosωt que age no sistema com F0 200 N e ω 15 rads 𝜔𝑛 𝑘 𝑚 3000 8 1936 𝑟𝑎𝑑𝑠 Lista de exercícios Vibrações Mecânicas Prof Dr Flavio Maldonado Bentes 𝛿𝑠𝑡 𝐹𝑜 𝑘 200 3000 0066 𝑚 𝜁 𝐶 𝐶𝐶 𝐶 2𝑘𝑀 15 230008 0048 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜁2 19361 00482 1933 𝑟𝑎𝑑𝑠 𝑟 𝜔 𝜔𝑛 15 1936 077 𝑋 𝛿𝑠𝑡 1 𝑟22 2𝜁𝑟205 0066 1 07722 20048077205 016 𝑚 𝜙 𝑡𝑔1 2𝜁𝑟 1 𝑟2 𝑡𝑔1 20048077 1 0772 103 Condições iniciais 𝑥0 0015 𝑚 e 𝑥0 0 𝑥0 𝑋0𝑐𝑜𝑠𝜙0 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜙 0015 𝑋0𝑐𝑜𝑠𝜙0 0160983 𝑋0𝑐𝑜𝑠𝜙0 014 𝑥0 𝜁𝜔𝑛𝑐𝑜𝑠𝜙0 𝜔𝑑𝑋0𝑠𝑒𝑛𝜙0 𝜔𝑋𝑠𝑒𝑛𝜙 0 00481936 014 1933𝑋0𝑠𝑒𝑛𝜙0 150160178 𝑋0𝑠𝑒𝑛𝜙0 0028 𝑋0 𝑋0𝑐𝑜𝑠𝜙02 𝑋0𝑠𝑒𝑛𝜙0205 𝑋0 0142 0028205 01428 Lista de exercícios Vibrações Mecânicas Prof Dr Flavio Maldonado Bentes 𝜙0 𝑡𝑔1 𝑋0𝑠𝑒𝑛𝜙0 𝑋0𝑐𝑜𝑠𝜙0 𝑡𝑔1 0028 014 1131 𝑥𝑡 𝑋0𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 𝜙0 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜙 𝑥𝑡 014𝑒093𝑡𝑐𝑜𝑠193𝑡 1131 016𝑐𝑜𝑠15𝑡 103 m