Vibrações Harmônicas em Sistemas Mecânicos: Introdução e Análise

Charles Augustin de Coulomb 17361806 de nacionalidade francesa foi engenheiro militar e também físico Seu primeiro trabalho sobre estática e mecânica foi apresentado em 1779 sem grande livro de memórias The theory of simple machines A teoria das máquinas simples que descreveu o princípio da resistência à de assim denominada Lei da proporcionalidade de Coulomb entre arte e pressão normal Em 1784 ele obteve a solução curta para a proporção das pequenas oscilações de um corpo sujeito a torção Ele é muito famoso por suas leis de força para cargas eletrostáticas e magnéticas Seu nome é lembrado pela unidade de carga elétrica Cortesia de Applied Mechanics Reviews CAPÍTULO TRÊS Vibração excitada harmonicamente 31 Introdução Dizse que um sistema mecânico ou estrutural sofre vibração forçada sempre que energia externa é fornecida ao sistema durante vibração A energia externa pode ser fornecida ao sistema por meio de uma força aplicada ou por uma excitação de deslocamento imposta A natureza da força aplicada ou da excitação de deslocamento pode ser de natureza harmônica nãoharmônica mas periódica nãoperiódica ou aleatória A resposta de um sistema à excitação harmônica é denominada resposta harmônica A excitação nãoperiódica pode ser curta ou longa duração A resposta de um sistema dinâmico a excitações nãoperiódicas aplicadas repetidamente é denominada resposta transitória Neste capítulo consideramos a resposta dinâmica de um sistema com um grau de liberdade sob excitações harmônicas na forma Ft F0ejomega tphi ou Ft F0 cosomega t phi Ft F0 senoomega t φ onde φ é a fase ω é a frequência e θ é o ângulo de fase da excitação harmônica O valor de dφ depende do valor de Ft em t 0 normalmente é considerado zero Sob uma excitação harmônica a resposta do sistema também será harmônica Se a frequência de excitação coincidir com a frequência natural do sistema a resposta do sistema será muito grande Essa condição conhecida como ressonância deveria ser evitada para impedir falha do sistema A vibração produzida por uma máquina rotativa desbalanceada as oscilações de uma chaminé alta provocadas por emissões de vórtices redemoinhos sob vento constante e o movimento vertical de um automóvel sobre a superfície senoidal de um estrado são exemplos de vibração excitada harmonicamente 32 Equação de movimento Se uma força Ft agir sobre um sistema massamola visivelmente amortecido como mostra a Figura 31 a equação de movimento pode ser obtida pela segunda lei de Newton m x c x k x Ft 31 onde xt é a função que representa a vibração livre do sistema e foi discutida no Capítulo 1 Como vimos na Seção 262 essa vibração livre desaparece com o tempo sob cada uma das três possíveis condições de amortecimento subamortecimentos amortecimento crítico e superamortecimento e sob todas as possíveis condições iniciais Assim a certa altura a solução geral da Equação 31 reduzse à solução particular xpt que representa a vibração em regime permanente O movimento em regime permanente estará presente contanto que a função forçada esteja presente As variações das soluções homogêneas particular e geral com o tempo para um caso típico são mostradas na Figura 32 Podemos perceber que xpt desaparece e xt tornase xpt após algum tempo τ na Figura 32 A partir do movimento que desaparece devido ao amortecimento a parte da vibração livre é denominada transitória A taxa a qual o movimento transitório se degrada depende dos valores dos parâmetros do sistema k e c Neste capítulo exceto na Seção 33 ignoramos o movimento transitório e derivamos somente a solução particular da Equação 31 a qual representa a resposta em regime permanente sob funções forçadas harmônicas FIGURA 37 Resposta total FIGURA 38 Fenômeno dos batimentos FIGURA 39 Placa de suporte de uma bomba O valor máximo de X quando r 1 ζ² é dado por left fracXdelta s rightomega omegan frac12ζsqrt1 ζ2 A solução da Equação 337 dá X0 e phi0 como ilustrado no exemplo a seguir Determina a resposta total de um sistema com um grau de liberdade com m 10 kg c 20 Nsm k 4000 Nm x₀ 001 m x₀ 0 sob as seguintes condições 110 Vibrações Mecânicas Capítulo 3 Vibração Excitação Harmônica 111 112 Vibrações Mecânicas Capítulo 3 Vibração excitada harmonicamente 113 c A amplitude do deslocamento relativo da máquina em r 1 pode ser obtida pela Equação 377 Z Y 2c 00025 2 01291 000968 E4 Podese perceber que X 001 m Y 00025 em Z 000968 m portanto Z X Y Isso se deve às diferenças de fase entre x y e z 4 Para ζ 1 2 MX me não atinge um máximo Seu valor cresce de 0 em r 0 a 1 em r EXEMPLO 35 Turbina hidráulica Francís O diagrama esquemático de uma turbina hidráulica Francís é mostrado na Figura 320 no qual a água escoa de A passa pela pás B e desce até a pista de descarga C O rotor tem uma massa de 250 kg e um desbalanceamento me de 5 kgmm enquanto a frequência natural do sistema é dada por ωn k M 250 k rads E2 k se ainda der Nm Para ω 20π rads a Equação E1 dá 0005 50 10320π2 2π2 k 107π2 k 1004 106 Nm E3 Assim a resposta em regime permanente é dada por xpt X senωt φ onde a amplitude X pode ser determinada pela Equação 360 X F₀k k mω²ωn²² ceqω²12 39 Vibração forçada com amortecimento por histerese Consideramos um sistema com grau de liberdade com amortecimento por histerese e sujeito a uma força harmônica Ft F₀ senωt como indicado na Figura 323 A equação de movimento da massa pode ser derivada usando a Equação 2138 como mi x 𝛽kω kx F₀ senωt 2 O ângulo de fase é dado em valor de tg¹β em ω 0 no caso de amortecimento por histerese ao passo que seu valor é zero em ω 0 no caso de amortecimento viscoso Isso indica que a resposta pode estar em fase com a função forçante no caso de amortecimento por histerese Observe que se admitimos que a excitação harmônica é Ft F₀ejωt na equação de movimento tornase mi x 𝛽kω² kx F₀ejωt 311 Autoexcitação e análise de estabilidade A força que age sobre um sistema vibratório normalmente é externa a um sistema de determinado de movimento Todavia há sistemas para os quais a força excitadora é função dos parâmetros de movimento do sistema como deslocamento velocidade ou aceleração Tais sistemas são denominados sistemas vibratórios autoexcitados visto que o próprio movimento produz a força excitatadora ver Problema 374 A instabilidade de eixos rotativos a tremulação de pás de turbinas a vibração de tubulações induzida pelo escoamento de fluido a vibração nas rodas de um automóvel e o movimento aerodinâmico induzido nos pneus são exemplos típicos de vibrações autoexcitadas 3111 Análise de estabilidade dinâmica Um sistema é dinamicamente estável se o movimento ou deslocamento convergir ou permanecer estável com o tempo Por outro lado se a amplitude do deslocamento aumentar continuamente divergir com o tempo dizse que o sistema é dinamicamente instável O movimento diverge e o sistema tornase instável se houver alimentação de energia ao sistema por autoexcitação Para ver as circunstâncias que levam à instabilidade consideramos a equação de movimento de um sistema com um grau de liberdade mx cx kx 0 3107 Se admitirmos uma solução da forma xt Ceλt onde C é uma constante a Equação 3107 leva à equação característica s² cm s km 0 3108 As raízes dessa equação são s12 c2m 12 cm ² 4 km ¹² 3109 Uma vez que admitimos que a solução xt Ceλt o movimento será divergente e aperiódico se as raízes s1 e s2 forem reais e positivas Essa situação pode ser evitada se cm e km forem positivas O movimento também divergirá se as raízes s1 e s2 forem conjugadas complexas com partes reais positivas Para analisar a situação as raízes s1 e s2 da Equação 3108 são expressas como s1 p iq s2 p iq 3110 onde p e q são números reais de modo que s s1s s2 s² s1 s2s s1s2 s² cm s km 0 3111 As equações 3111 e 3110 dão cm s1 s2 2p km s1s2 p² q² 3112 As Equações 3112 mostram que para p negativo cm deve ser positiva e para p² q² km deve ser positiva EXEMPLO 39 Instabilidade dinâmica de um aerofólio onde F 12 ρu²DCx EXEMPLO 310 Uma chaminé sob vibração induzida por fluxo EXEMPLO 312 Resposta forçada de um sistema com amortecimento Coulomb Usado MATLAB construa um gráfico para a resposta forçada de um sistema massamola com amortecimento Coulomb para os seguintes dados m 5 kg k 2000 Nm μ 05 Ft 100 sen 3 1 N x0 01 m x0 01 ms Solução A equação de movimento do sistema pode ser expressa como m x k x μ m g sgnx F0 sen ω t E1 que pode ser reescrita como um sistema de duas equações diferenciais de primeira ordem usando x1 x e x2 x como x1 x2 x2 F0 m sen ω t k m x1 μ g sgnx2 E2 com as condições iniciais x10 0 e x20 01 A solução MATLAB da Equação E2 usando ode23 é dada a seguir EXEMPLO 313 Resposta de um sistema sob excitação de base Usando MATLAB determine e construa um gráfico para a resposta de um sistema massamola viscosamente amortecido sob a excitação de base yt y sen ω t para os seguintes dados m 1200 kg k 4 105 Nm ξ 05 y 290887 rads x0 0 x0 01 ms Solução A equação de movimento Equação 364 pode ser expressa como um sistema de duas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem usando x1 x e x2 x como x1 x2 x2 c m x2 k m x1 k m y c m y E1 EXEMPLO 314 Resposta em regime permanente de um sistema viscoasmente amortecido Desenvolva um programa MATLAB de uso geral denominado Program3m para determinar a resposta em regime permanente de um sistema viscoasmente amortecido com um grau de liberdade sob a força harmônica F0 cos ω t ou F0 sen ω t Use o programa para determinar e representar em gráfico a resposta de um sistema com os seguintes dados m 5 kg c 20 Nsm k 500 Nm F0 250 N ω 40 rads n 40 e ic 0 Solução Program3m é desenvolvido para aceitar os seguintes dados de entrada xm massa xc constante de amortecimento xk constante elástica F0 amplitude da função forçante om frequência forçante n número de etapas de tempo em um ciclo no qual a resposta deve ser calculada