Vibrações Mecânicas - Modelagem de Mesa Antivibração

CENTRO UNIVERSITÁRIO AUGUSTO MOTTA CURSO Engenharia mecânica X TURMA MEC0801N COORDENAÇÃO AVALIAÇÃO APS GRAU RUBRICA DOCENTE DISCIPLINA GMEC1062 Vibrações Mecânicas AVALIAÇÃO P1 P2 A3 UNIDADE Bangu DOCENTE Flavio Maldonado Bentes DATA 27062023 ALUNO MATRÍCULA Analise o texto abaixo e responda o que se pede O estudo de vibração diz respeito aos movimentos oscilatórios de corpos e às forças que lhes são associadas Todos os corpos dotados de massa e elasticidade são capazes de vibrar Deste modo a maior parte das máquinas e estruturas estão sujeitas a certos graus de vibração tornado o estudo nesta área de fundamental importância Fonte Chiquito et al 2017 httpsdoiorg101590S180611172007000100003 Com base em seus estudos na disciplina de vibrações mecânicas e em consulta na literatura especializada modele a resposta xt em vibração livre para a mesa antivibração ilustrada na figura 1 Para sua modelagem considere 4 conjuntos molaamortecedor e uma carga P aplicada no centro Considere que cada mola possui constante elástica k e cada amortecedor possui constante de amortecimento c Figura 1 mesa antivibração Fonte httpswwwvibrastopcombrprodutolinhabaseantivibratoria acesso em 23052023 Espaço para resposta Cálculo da rigidez equivalente do sistema FF1F2F3F4 Keq XK X K XK XK X KeqKKKK Keq4 K Cálculo do amortecimento equivalente do sistema FF1F2F3F4 Ceq XC XC XC XC X CeqCCCC Ceq4C Equação de movimento FM x PM gKeq xCeq xM x M xCeq xKeq xPM g xCeq M x Keq M x P M M g M xCeq M x Keq M x P M g Substituindo os resultados encontrados x 4C M x 4K M x P M g Usando uma mudança de variável que descreve o movimento em torno do ponto de equilíbrio estático xx P 4 K M g 4 K xx xx Substituindo x 4C M x 4K M x P 4K M g 4K P M g x 4C M x 4K M x 4 K M P 4 K 4K M M g 4K P M g x 4C M x 4K M x P M g P M g x 4C M x 4K M x P M g P M g x 4C M x 4K M x0 Resolvendo a equação característica λ 2 4C M λ 4 K M 0 λ 4C M 4C M 2 4 4 K M 2 λ4C 2M 1 2 4C M 2 4 4 K M λ2C M 1 2 16C 2 M 2 16 K M λ2C M 1 2 16C 2 M 2 16 K M λ2C M 1 4 16C 2 M 2 16K M λ2C M 4C 2 M 2 4K M Há 3 casos possíveis 1 Caso Subamortecido 4C 2 M 2 4 K M 0 4C 2 M 2 4 K M i 4K M 4C 2 M 2 Portanto λ2C M i 4K M 4C 2 M 2 A solução tem a forma x t e 2C M t Acost 4 K M 4C 2 M 2 Bsent 4K M 4C 2 M 2 x t P 4 K M g 4K e 2C M t A cost 4 K M 4C 2 M 2 Bsent 4 K M 4C 2 M 2 x t e 2C M t Acost 4 K M 4C 2 M 2 Bsent 4K M 4C 2 M 2 P 4 K M g 4 K Derivando x t 2C M e 2 C M t A cost 4 K M 4C 2 M 2 Bsent 4K M 4C 2 M 2 4K M 4C 2 M 2 e 2C M t Asent 4K M 4C 2 M 2 Bcost 4 K M 4C 2 M 2 Condições de contorno x 0X o X oe 0 Acos 0 Bsen 0 P 4K M g 4K X oA P 4 K M g 4 K AXo P 4K M g 4 K x 0V o V o2C M e 0 A cos 0Bsen0 4 K M 4C 2 M 2 e 0A sen0Bcos 0 V o2C M Xo P 4K M g 4 K 4 K M 4C 2 M 2 B B V o 4K M 4C 2 M 2 2C M Xo P 4 K M g 4K 4K M 4C 2 M 2 Portanto x t e 2C M t Acost 4 K M 4C 2 M 2 Bsent 4K M 4C 2 M 2 P 4 K M g 4 K x t e 2C M t X o P 4 K M g 4 K cost 4K M 4C 2 M 2 V o 4 K M 4C 2 M 2 2C M X o P 4K M g 4K 4 K M 4C 2 M 2 sent 4 K M 4C 2 M 2 P 4 K M g 4 K 2 Caso Criticamente amortecido 4C 2 M 2 4 K M 0 Portanto λ2C M A solução tem a forma x t Ae 2C M t Bt e 2C M t x t P 4 K M g 4K Ae 2C M t Bt e 2C M t x t Ae 2C M t Bt e 2C M t P 4 K M g 4 K Derivando x t 2C M Ae 2C M t Be 2C M t 2C M Bt e 2 C M t Condições iniciais x 0X o X oAe 0B0e 0 P 4 K M g 4 K X oA P 4 K M g 4 K AXo P 4K M g 4 K x 0V o V o2C M A e 0Be 02C M B0e 0 V o2C M AB V o2C M Xo P 4 K M g 4K B BV o 2C M X o P 4 K M g 4 K Portanto x t Ae 2C M t Bt e 2C M t P 4 K M g 4 K x t Xo P 4K M g 4 K e 2C M t V o2C M Xo P 4 K M g 4K t e 2C M t P 4K M g 4K 3 Caso Superamortecido 4C 2 M 2 4 K M 0 Portanto λ2C M 4C 2 M 2 4K M A solução tem a forma x t Ae 2C M 4C2 M 2 4 K M t Be 2C M 4 C2 M 2 4K M t x t P 4 K M g 4K Ae 2C M 4 C2 M 2 4K M t Be 2C M 4C2 M 2 4 K M t x t Ae 2C M 4C2 M 2 4 K M t Be 2C M 4 C2 M 2 4K M t P 4K M g 4K Derivando x t 2C M 4C 2 M 2 4K M Ae 2 C M 4C2 M 2 4K M t 2C M 4C 2 M 2 4 K M Be 2C M 4C2 M 2 4 K M t Condições iniciais x 0X o X oAe 0Be 0 P 4K M g 4K X oAB P 4 K M g 4 K ABXo P 4K M g 4K x 0V o V o 2C M 4C 2 M 2 4 K M A e 0 2C M 4C 2 M 2 4 K M Be 0 V o 2C M 4C 2 M 2 4 K M A 2C M 4C 2 M 2 4K M B 2C M 4C 2 M 2 4 K M A 2C M 4C 2 M 2 4K M BV o Resolvendo o sistema A 2C M 4C 2 M 2 4 K M Xo P 4 K M g 4K V o 2 4C 2 M 2 4 K M B 2C M 4C 2 M 2 4 K M Xo P 4 K M g 4K V o 2 4C 2 M 2 4 K M Portanto x t Ae 2C M 4C2 M 2 4 K M t Be 2C M 4 C2 M 2 4K M t P 4K M g 4K x t 2C M 4C 2 M 2 4 K M Xo P 4 K M g 4K V o 2 4C 2 M 2 4 K M e 2C M 4C 2 M 2 4K M t V o 2C M 4C 2 M 2 4 K M X o P 4 K M g 4 K 2 4C 2 M 2 4 K M e 2C M 4C 2 M 2 4 K M t P 4K M g 4 K Cálculo da rigidez equivalente do sistema 𝐹 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹4 𝐾𝑒𝑞 𝑋 𝐾 𝑋 𝐾 𝑋 𝐾 𝑋 𝐾 𝑋 𝐾𝑒𝑞 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾 𝐾𝑒𝑞 4 𝐾 Cálculo do amortecimento equivalente do sistema 𝐹 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝐹4 𝐶𝑒𝑞 𝑋 𝐶 𝑋 𝐶 𝑋 𝐶 𝑋 𝐶 𝑋 𝐶𝑒𝑞 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶 𝐶𝑒𝑞 4 𝐶 Equação de movimento 𝐹 𝑀 𝑥 𝑃 𝑀 𝑔 𝐾𝑒𝑞 𝑥 𝐶𝑒𝑞 𝑥 𝑀 𝑥 𝑀 𝑥 𝐶𝑒𝑞 𝑥 𝐾𝑒𝑞 𝑥 𝑃 𝑀 𝑔 𝑥 𝐶𝑒𝑞 𝑀 𝑥 𝐾𝑒𝑞 𝑀 𝑥 𝑃 𝑀 𝑀 𝑔 𝑀 𝑥 𝐶𝑒𝑞 𝑀 𝑥 𝐾𝑒𝑞 𝑀 𝑥 𝑃 𝑀 𝑔 Substituindo os resultados encontrados 𝑥 4 𝐶 𝑀 𝑥 4 𝐾 𝑀 𝑥 𝑃 𝑀 𝑔 Usando uma mudança de variável que descreve o movimento em torno do ponto de equilíbrio estático 𝑥 𝑥 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 Substituindo 𝑥 4 𝐶 𝑀 𝑥 4 𝐾 𝑀 𝑥 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑃 𝑀 𝑔 𝑥 4 𝐶 𝑀 𝑥 4 𝐾 𝑀 𝑥 4 𝐾 𝑀 𝑃 4 𝐾 4 𝐾 𝑀 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑃 𝑀 𝑔 𝑥 4 𝐶 𝑀 𝑥 4 𝐾 𝑀 𝑥 𝑃 𝑀 𝑔 𝑃 𝑀 𝑔 𝑥 4 𝐶 𝑀 𝑥 4 𝐾 𝑀 𝑥 𝑃 𝑀 𝑔 𝑃 𝑀 𝑔 𝑥 4 𝐶 𝑀 𝑥 4 𝐾 𝑀 𝑥 0 Resolvendo a equação característica 𝜆2 4 𝐶 𝑀 𝜆 4 𝐾 𝑀 0 𝜆 4 𝐶 𝑀 4 𝐶 𝑀 2 4 4 𝐾 𝑀 2 𝜆 4 𝐶 2 𝑀 1 2 4 𝐶 𝑀 2 4 4 𝐾 𝑀 𝜆 2 𝐶 𝑀 1 2 16 𝐶2 𝑀2 16 𝐾 𝑀 𝜆 2 𝐶 𝑀 1 2 16 𝐶2 𝑀2 16 𝐾 𝑀 𝜆 2 𝐶 𝑀 1 4 16 𝐶2 𝑀2 16 𝐾 𝑀 𝜆 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 Há 3 casos possíveis 1 Caso Subamortecido 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 0 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝑖 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 Portanto 𝜆 2 𝐶 𝑀 𝑖 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 A solução tem a forma 𝑥𝑡 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐴 cos 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝑥𝑡 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐴 cos 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝑥𝑡 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐴 cos 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 Derivando 𝑥𝑡 2 𝐶 𝑀 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐴 cos 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐴 sen 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 Condições de contorno 𝑥0 𝑋𝑜 𝑋𝑜 𝑒0 𝐴 cos0 𝐵 𝑠𝑒𝑛0 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑋𝑜 𝐴 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝐴 𝑋𝑜 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑥0 𝑉𝑜 𝑉𝑜 2 𝐶 𝑀 𝑒0 𝐴 cos0 𝐵 𝑠𝑒𝑛0 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝑒0 𝐴 sen0 𝐵 𝑐𝑜𝑠0 𝑉𝑜 2 𝐶 𝑀 𝑋𝑜 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝐵 𝐵 𝑉𝑜 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 2 𝐶 𝑀 𝑋𝑜 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 Portanto 𝑥𝑡 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐴 cos 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝐵 𝑠𝑒𝑛 𝑡 4 𝐾 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝒙𝒕 𝒆𝟐𝑪 𝑴 𝒕 𝑿𝒐 𝑷 𝟒 𝑲 𝑴 𝒈 𝟒 𝑲 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝟒 𝑲 𝑴 𝟒 𝑪𝟐 𝑴𝟐 𝑽𝒐 𝟒 𝑲 𝑴 𝟒 𝑪𝟐 𝑴𝟐 𝟐 𝑪 𝑴 𝑿𝒐 𝑷 𝟒 𝑲 𝑴 𝒈 𝟒 𝑲 𝟒 𝑲 𝑴 𝟒 𝑪𝟐 𝑴𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝟒 𝑲 𝑴 𝟒 𝑪𝟐 𝑴𝟐 𝑷 𝟒 𝑲 𝑴 𝒈 𝟒 𝑲 2 Caso Criticamente amortecido 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 0 Portanto 𝜆 2 𝐶 𝑀 A solução tem a forma 𝑥𝑡 𝐴 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐵 𝑡 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝑥𝑡 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝐴 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐵 𝑡 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝑥𝑡 𝐴 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐵 𝑡 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 Derivando 𝑥𝑡 2 𝐶 𝑀 𝐴 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐵 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 2 𝐶 𝑀 𝐵 𝑡 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 Condições iniciais 𝑥0 𝑋𝑜 𝑋𝑜 𝐴 𝑒0 𝐵 0 𝑒0 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑋𝑜 𝐴 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝐴 𝑋𝑜 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑥0 𝑉𝑜 𝑉𝑜 2 𝐶 𝑀 𝐴 𝑒0 𝐵 𝑒0 2 𝐶 𝑀 𝐵 0 𝑒0 𝑉𝑜 2 𝐶 𝑀 𝐴 𝐵 𝑉𝑜 2 𝐶 𝑀 𝑋𝑜 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝐵 𝐵 𝑉𝑜 2 𝐶 𝑀 𝑋𝑜 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 Portanto 𝑥𝑡 𝐴 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝐵 𝑡 𝑒2𝐶 𝑀 𝑡 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝒙𝒕 𝑿𝒐 𝑷 𝟒 𝑲 𝑴 𝒈 𝟒 𝑲 𝒆𝟐𝑪 𝑴 𝒕 𝑽𝒐 𝟐 𝑪 𝑴 𝑿𝒐 𝑷 𝟒 𝑲 𝑴 𝒈 𝟒 𝑲 𝒕 𝒆𝟐𝑪 𝑴 𝒕 𝑷 𝟒 𝑲 𝑴 𝒈 𝟒 𝑲 3 Caso Superamortecido 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 0 Portanto 𝜆 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 A solução tem a forma 𝑥𝑡 𝐴 𝑒 2𝐶 𝑀 4𝐶2 𝑀2 4𝐾 𝑀 𝑡 𝐵 𝑒 2𝐶 𝑀 4𝐶2 𝑀2 4𝐾 𝑀 𝑡 𝑥𝑡 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝐴 𝑒 2𝐶 𝑀 4𝐶2 𝑀2 4𝐾 𝑀 𝑡 𝐵 𝑒 2𝐶 𝑀 4𝐶2 𝑀2 4𝐾 𝑀 𝑡 𝑥𝑡 𝐴 𝑒 2𝐶 𝑀 4𝐶2 𝑀2 4𝐾 𝑀 𝑡 𝐵 𝑒 2𝐶 𝑀 4𝐶2 𝑀2 4𝐾 𝑀 𝑡 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 Derivando 𝑥𝑡 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝐴 𝑒 2𝐶 𝑀 4𝐶2 𝑀2 4𝐾 𝑀 𝑡 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝐵 𝑒 2𝐶 𝑀 4𝐶2 𝑀2 4𝐾 𝑀 𝑡 Condições iniciais 𝑥0 𝑋𝑜 𝑋𝑜 𝐴 𝑒0 𝐵 𝑒0 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑋𝑜 𝐴 𝐵 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝐴 𝐵 𝑋𝑜 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑥0 𝑉𝑜 𝑉𝑜 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝐴 𝑒0 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝐵 𝑒0 𝑉𝑜 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝐴 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝐵 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝐴 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝐵 𝑉𝑜 Resolvendo o sistema 𝐴 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝑋𝑜 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑉𝑜 2 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝐵 2 𝐶 𝑀 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 𝑋𝑜 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝑉𝑜 2 4 𝐶2 𝑀2 4 𝐾 𝑀 Portanto 𝑥𝑡 𝐴 𝑒 2𝐶 𝑀 4𝐶2 𝑀2 4𝐾 𝑀 𝑡 𝐵 𝑒 2𝐶 𝑀 4𝐶2 𝑀2 4𝐾 𝑀 𝑡 𝑃 4 𝐾 𝑀 𝑔 4 𝐾 𝒙𝒕 𝟐 𝑪 𝑴 𝟒 𝑪𝟐 𝑴𝟐 𝟒 𝑲 𝑴 𝑿𝒐 𝑷 𝟒 𝑲 𝑴 𝒈 𝟒 𝑲 𝑽𝒐 𝟐 𝟒 𝑪𝟐 𝑴𝟐 𝟒 𝑲 𝑴 𝒆 𝟐𝑪 𝑴 𝟒𝑪𝟐 𝑴𝟐 𝟒𝑲 𝑴 𝒕 𝑽𝒐 𝟐 𝑪 𝑴 𝟒 𝑪𝟐 𝑴𝟐 𝟒 𝑲 𝑴 𝑿𝒐 𝑷 𝟒 𝑲 𝑴 𝒈 𝟒 𝑲 𝟐 𝟒 𝑪𝟐 𝑴𝟐 𝟒 𝑲 𝑴 𝒆 𝟐𝑪 𝑴 𝟒𝑪𝟐 𝑴𝟐 𝟒𝑲 𝑴 𝒕 𝑷 𝟒 𝑲 𝑴 𝒈 𝟒 𝑲