Notas de Aula: Vibrações Mecânicas 1 - Exercício sobre Impacto e Amortecimento

Prof Flavio Maldonado Bentes DSc Notas de aula Vibrações Mecânicas 1 Exercício bigorna com comentários A bigorna de um martelo de forjar pesa 5000 N e está montada sobre uma base k 5106 Nm e c 10000 Nsm O martelo pilão de 1000 N cai de 2 m de altura Sabese que a bigorna está em repouso antes do impacto e que o coeficiente de restituição é 04 Determine a resposta da bigorna após o impacto Solução Vmp1 e Vmp2 Velocidades do martelo pilão antes e depois do impacto Vbig1 e Vbig2 Velocidades da bigorna antes e depois do impacto O deslocamento da bigorna é medido em relação à sua posição de equilíbrio estático Aplicamos o princípio de conservação do momento MVbig2 Vbig1 mVmp1 Vmp2 Vbig1 0 pois a bigorna está em repouso antes do impacto 1 2 𝑚𝑉𝑚𝑝1 2 𝑚𝑔ℎ 𝑉𝑚𝑝1 2𝑔ℎ 29812 626 𝑚𝑠 Voltando na equação 5000 981 𝑉𝑏𝑖𝑔2 0 1000 981 626 𝑉𝑚𝑝2 5102𝑉𝑏𝑖𝑔2 63888 10204𝑉𝑚𝑝2 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 1 Prof Flavio Maldonado Bentes DSc Notas de aula Vibrações Mecânicas 2 Seja o coeficiente de restituição r 04 𝑟 𝑉𝑏𝑖𝑔2 𝑉𝑚𝑝2 𝑉𝑏𝑖𝑔1 𝑉𝑚𝑝1 04 𝑉𝑏𝑖𝑔2 𝑉𝑚𝑝2 0 626 04 𝑉𝑏𝑖𝑔2 𝑉𝑚𝑝2 0 626 𝑉𝑏𝑖𝑔2 𝑉𝑚𝑝2 25 𝑉𝑏𝑖𝑔2 25 𝑉𝑚𝑝2 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 2 Substituindo a equação 2 em 1 teremos 510225 𝑉𝑚𝑝2 63888 10204𝑉𝑚𝑝2 12754 5102𝑉𝑚𝑝2 63888 10204𝑉𝑚𝑝2 61224𝑉𝑚𝑝2 63652 𝑉𝑚𝑝2 104 𝑚𝑠 Voltando na equação 2 teremos que 𝑉𝑏𝑖𝑔2 25 𝑉𝑚𝑝2 25 104 146 𝑚𝑠 Condições da bigorna Em repouso inicial Vbig1 0 logo x0 0 Imediatamente após o impacto Vbig2 146 ms logo 𝑥0 146 𝑚𝑠 Cálculo do Fator de Amortecimento 𝜁 𝜁 𝐶 2𝑘𝑀 10000 251065000 981 0099 1 𝑠𝑢𝑏𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜 Prof Flavio Maldonado Bentes DSc Notas de aula Vibrações Mecânicas 3 Cálculo das frequências naturais Frequência natural não amortecida 𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝑘 𝑀 5106 5000 981 9899 𝑟𝑎𝑑𝑠 Frequência natural amortecida 𝜔𝑑 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜁2 98991 00992 9802 𝑟𝑎𝑑𝑠 Como o fator de amortecimento é menor que 1 estamos no SISTEMA SUBAMORTECIDO cuja resposta é dada por 𝑥𝑡 𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 𝑥0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 𝑥0 𝜁𝜔𝑛𝑥0 𝜔𝑑 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝑥𝑡 𝑒00999899𝑡 0 cos 9802𝑡 146 009998990 9802 𝑠𝑒𝑛9802𝑡 𝒙𝒕 𝒆𝟗𝟖𝒕𝟎 𝟎𝟏𝟒𝟗 𝒔𝒆𝒏𝟗𝟖 𝟎𝟐𝒕 𝒎 Prof Flavio Maldonado Bentes DSc Notas de aula Vibrações Mecânicas 4 Exercício amortecedor de choque com comentários Um absorvedor de choque subamortecido de uma motocicleta de 200 kg foi projetado para que suas amplitudes consecutivas x1 e x2 possam ser determinadas sabendose que x14 4x2 ao passo que o período de vibração amortecida for igual a 2 segundos Determine A as constantes de rigidez k e amortecimento c B a amplitude máxima X para x 250 mm B a resposta xt Solução Cálculo do decremento logarítmico pode ser calculado por 𝛿 𝑙𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑙𝑛 4𝑥 𝑥 4 𝑙𝑛16 27726 Cálculo do Fator de Amortecimento 𝜁 𝛿 2𝜋𝜁 1 𝜁2 27726 2𝜋𝜁 2771 𝜁2 2𝜋𝜁 2 2771 𝜁2 2 𝜁24 𝜋2 27721 𝜁2 1 𝜁2 𝜁24 𝜋2 277262 1 𝜁2 𝜁2 513 𝜁2 613 1 𝜁2 0163 𝜁 0404 Prof Flavio Maldonado Bentes DSc Notas de aula Vibrações Mecânicas 5 Cálculo das frequências naturais Frequência natural não amortecida 𝜔𝑛 𝜏𝑑 2𝜋 𝜔𝑑 2 2𝜋 𝜔𝑛1 𝜁2 𝜔𝑛 2𝜋 21 04042 343 𝑟𝑎𝑑𝑠 Frequência natural amortecida 𝜔𝑑 𝜔𝑑 𝜔𝑛1 𝜁2 3431 04042 314 𝜋 𝑟𝑎𝑑s Cálculo da constante de amortecimento crítico Cc 𝐶𝑐 2𝑚𝜔𝑛 2200343 1372 𝑁𝑠𝑚 Constante de amortecimento C 𝜁 𝐶 𝐶𝑐 𝐶 𝜁𝐶𝑐 04041372 5543 𝑁𝑠𝑚 Cálculo da rigidez K 𝑘 𝑚 𝜔𝑛 2 200 3432 2353 𝑁𝑚 Prof Flavio Maldonado Bentes DSc Notas de aula Vibrações Mecânicas 6 O deslocamento da massa atingirá o seu valor máximo no tempo t1 quando 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡1 1 𝜁2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡1 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡1 1 04042 0915 𝜋𝑡1 𝑠𝑒𝑛10915 OBS colocar a calculadora em radianos 𝜋𝑡1 1155 𝑡1 1155 𝜋 0368 𝑠 O envelope passa pelos pontos máximos quando 𝑥𝑡 1 𝜁2𝑋𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡 Como x 250 mm 025 m teremos que 0250 1 04042𝑋𝑒04043430368 0250 091476𝑋𝑒051 𝑋 0250 091476𝑒051 0455 𝑚 Cálculo do xt 𝑥𝑡 𝑋𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝑥𝑡 0455𝑒051𝑡𝑠𝑒𝑛314𝑡 0455𝑒051𝑡𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡 m Prof Flavio Maldonado Bentes DSc Notas de aula Vibrações Mecânicas 7 A velocidade da massa pode ser obtida diferenciando o deslocamento 𝑥𝑡 𝑋𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝑥𝑡 𝑋𝑒𝜁𝜔𝑛𝑡𝜁𝜔𝑛𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑𝑡 𝜔𝑑𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑𝑡 Para t 0 teremos que 𝑥𝑡 0 𝑋𝑒0𝜁𝜔𝑛𝑠𝑒𝑛𝜔𝑑0 𝜔𝑑𝑐𝑜𝑠𝜔𝑑0 𝑥0 𝑋 1𝜁𝜔𝑛 0 𝜔𝑑 1 𝑥0 𝑋0 𝜔𝑑 𝑥0 𝑋𝜔𝑑 0455 𝜋 143 𝑚𝑠