Exercícios de Estatística - Distribuição de Poisson, Binomial e Normal

ESTATÍSTICA ATIVIDADE 1º BIMESTRE Exercício 1 Um teste realizado em um equipamento revelou que há em média uma falha a cada 15 horas Supondo Poisson determine a probabilidade de ocorrer pelo menos três falhas em 1800 minutos de atividade Exercício 2 Um lote de aparelhos de BluRay é recebido por uma firma Sessenta aparelhos são inspecionados e o lote é rejeitado se pelo menos quarenta aparelhos forem defeituosos Considerando que o número de aparelhos defeituosos segue uma distribuição binomial e sabendo que 3 dos aparelhos apresentam defeito determine a probabilidade de a firma rejeitar todo o lote Utilize a aproximação da binomial pela normal Exercício 3 O peso de uma caixa de peças é uma variável aleatória normal com média de 90kg e desvio padrão de 6kg Realizase um carregamento de 200 destas caixas Se X é o peso do carregamento determine a P18050 X 18140 b PX 17850 c PXXa 01213 d PXXa 07654 e PX 18650 39 Exercício 4 A vida média de certo aparelho fabricado pela empresa X é de 9 anos com desvio padrão de 17 anos Considerando que a duração desses aparelhos segue uma distribuição normal e que a empresa substitui os aparelhos que apresentam defeito dentro do prazo de garantia determine qual deve ser esse prazo para que no máximo 5 dos aparelhos sejam substituídos Exercício 5 Sejam X1N150 30 X2N12040 e X3N200 20 sendo todas variáveis independentes Considere a variável X a proporção dessas ocorrências no banco X4X12X2X3 também normal Calcule a PX 500 70 b Xa tal que PXXa010565 c PXXa 087 Exercício 6 Uma máquina produz copos plásticos dos quais 10 são defeituosos Usando a aproximação da binomial pela normal determine a probabilidade de que em 500 copos plásticos produzidos por esta máquina mais de 30 e menos de 80 apresentem defeito Exercício 7 Uma pesquisa com alunos de uma escola apontou que o gasto mensal com despesas na escola com xerox e outros materiais é em média R 16500 com desvio padrão de R 3500 Qual é a estimativa para uma amostra de 40 alunos gastar menos de R16000 Exercício 8 Uma máquina de cortar fios utilizados em instalações elétricas segue o padrão de uma Distribuição Normal com média de 5 cm e desvio padrão 12 cm Com 92 de confiança verifique o tamanho de uma amostra de forma que difere em valor absoluto 075 cm da média Exercício 9 Uma máquina produz parafusos dos quais 10 são defeituosos Usando a aproximação da distribuição binomial pela normal determinar a probabilidade de uma amostra formada ao acaso de 400 parafusos produzidos pela máquina serem defeituosos a no máximo 30 b mais de 35 e menos de 45 cmais de 42 e menos de 51 d igual a 37 Exercício 10 Utilizando a Aproximação da Binomial pela Poisson determine Em uma empresa de telemarketing a probabilidade de uma ligação ser atendida no primeiro toque é de 026 Determine a probabilidade de que de 200 ligações atendidas sete delas sejam atendidas no primeiro toque Exercício 11 Um fabricante de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida esperada de 50 meses Sabese que o desvio padrão correspondente é de 4 meses Que percentagem de amostras de 36 observações acusará vida média no intervalo de 1 mês em torno de 50 meses admitindo ser de 50 meses a verdadeira vida média das baterias Compare este resultado com uma amostra de 64 observações Exercício 12 Um varejista compra copos diretamente da fábrica em grandes lotes Os copos vêm embrulhados individualmente Periodicamente o varejista inspeciona os lotes para determinar a proporção dos quebrados ou lascados Se um grande lote contém 10 de quebrados ou lascados qual a probabilidade de o varejista obter uma amostra de 100 copos com 17 ou mais defeituosos Exercício 13 Uma máquina para recobrir cerejas com chocolate é regulada para produzir um revestimento de 3 mm de espessura O processo tem distribuição normal com desvio padrão de 1 mm Se o processo funciona conforme o esperado qual seria a probabilidade de extrair uma amostra de 25 de um lote de 169 cerejas e encontrar uma média amostral superior a 34 mm Exercício 14 Seja XN200 625 Ao retirar uma amostra com reposição dessa população qual deverá ser o seu tamanho para que 0 90 3 200 P x Exercício 15 Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa São inspecionados 20 aparelhos da remessa que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso Há 80 defeituosos no lote Qual a probabilidade de o lote ser aceito pelo método da aproximação da binomial pela normal Exercício 16 Um processo de encher garrafas de cola dá em média 10 mal cheias Extraída uma amostra de 225 garrafas de uma sequência de produção de 625 qual a probabilidade de que a proporção amostral de garrafas mal cheias esteja em 9 a 11 Exercício 17 Um carro de entregas transporta fogões máquinas de lavar e geladeiras com médias de pesos em quilos respectivamente de X1 70 X2 60 e X3 100 sendo a variância X1 9 X2 16 e X3 25 Considere a proporção de pesos como X 2X1 3X2 X3 as variáveis seguem a distribuição normal determine PX 50 14 Exercício 18 O departamento de recursos humanos de uma empresa entrevista 120 candidatos a emprego por hora Utilizando o modelo de Poisson determine a probabilidade de entrevistar pelo menos dois candidatos em três minutos Exercício 19 Sabese que o número de passageiros por veículos tipo Van em determinada rodovia segue aproximadamente uma distribuição binomial com parâmetros n 10 e p 03 a Calcular o número médio de ocupantes por veículo b Calcular a probabilidade da Van carregar entre 3 a 9 passageiros Exercício 20 Em uma empresa os procedimentos de desenvolvimento de projetos calculados em minutos são variáveis normalmente distribuídas e independentes X1 N 100 20 X2 N 100 30 X3 N 160 40 X4 N 200 40 Seja X também com distribuição normal sendo que X 2X1 X2 3X3 X4Calcular a P X 420 b P X 436 c P 300X480 d P X 500 176 e PXXa 007 Exercício 21 X B n p onde n 100 e p 021 Calcular usando a aproximação pela normal a P X 25 b P X 70 c P X 57 d P X 52 e P 25 X 57 Exercício 22 Um fabricante comprou um lote de componentes eletrônicos de um saldo de estoque Uma amostra aleatória com reposição de 500 desses componentes mostrou que 30 eram defeituosos Determinar um intervalo de confiança de 96 para a proporção do lote ou seja 0 96 ˆ ˆ ˆ p crit p crit z p p z P p Exercício 23 Qual deverá ser o tamanho da amostra a ser retirada de uma população normal com média igual a 100 e variância igual a 36 para que 0 99 100 4 x P Exercício 24 A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria tem peso distribuído normalmente com média de 990g e desvio padrão de 10g Uma lata é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976g a Determine a probabilidade de uma lata ser rejeitada b Determine a probabilidade de uma lata conter menos de 1011g c Determine o peso Xa em gramas tal que PXXa 010565 d Determine o peso Xa em gramas tal que PXXa 06273 Exercício 25 Num concurso público no qual participaram 30000 candidatos a nota média foi de 42 pontos e o desvio padrão de 10 pontos Numa amostra aleatória sem reposição de 225 participantes qual a probabilidade da média amostral ser a maior do que 40 pontos b menor de 32 c entre 4312 e 4738 Exercício 26 Sacos de feijão são completados automaticamente por uma máquina com peso médio por saco de 60kg desvio padrão de 15kg e distribuição normal No processo de armazenagem e transporte a perda média por saco é de 12kg e desvio padrão de 04kg também com distribuição normal Calcular a probabilidade de que numa remessa de 140 sacos de feijão o peso total não ultrapasse 8230kg Exercício 27 O saldo médio dos clientes de um banco é uma va normal com média R 2000 00 e desvio padrão R 25000 Os clientes com os 10 maiores saldos médios recebem tratamento VIP enquanto aqueles com os 5 menores saldos médios serão convidados a mudar de banco 1 Quanto você precisa de saldo médio para se tornar um cliente VIP 2 Abaixo de qual saldo médio o cliente será convidado a mudar de banco Exercício 28 O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson com 2 As atuais instalações podem atender no máximo a três petroleiros por dia Se mais de três aportarem num dia o excesso é enviado a outro porto Determine em um dia a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto Exercício 29 Uma empresa usa anualmente milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acesas continuamente dia e noite A vida de uma lâmpada pode ser considerada uma va normal com média de 50 dias e desvio padrão de 15 dias Em 1º de janeiro a companhia instalou 8000 lâmpadas novas Aproximadamente quantas deverão ser substituídas até 1º de fevereiro Exercício 30 A vida média de certo aparelho é de 8 anos com desvio padrão de 18 anos O fabricante substitui os aparelhos que causam defeito dentro do prazo de garantia Se ele deseja substituir no máximo 5 dos aparelhos que apresentem defeito qual deve ser o prazo de garantia Exercício 31 A quantidade de uma determinada impureza em 2400 lotes de um determinado produto químico é uma variável aleatória com um valor médio de 40g e desvio padrão de 15g Se 50 lotes amostrais são preparados de maneira independente qual é a probabilidade de a média amostral da quantidade de impureza X estar entre 35 e 38 g Exercício 32 O peso de um saco de açúcar é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média de 72kg e desviopadrão de 35kg Um caminhão é carregado com 173 sacos Perguntase qual a probabilidade de a carga do caminhão pesar a entre 12458kg e 12463kg b Mais de 12300kg c menos de 12447 d menos que a média Exercício 33 Um caixa de banco atende 120 clientes por hora Determine a probabilidade de que atenda mais do que dois clientes em 4 minutos 1 Hora60minutos 15 Horas900minutos X1Ocorrenciade falhaem15 Horas X1 Poisson1 900min1falha 1800minλfalhas Aplicando a regra de 3 temos λ1800 900 2 Logo teremos que X2Ocorrenciade falhasem1800minutos X2 Poisson2 Desse modo queremos P X23 1P X31P X0 P X1P X2 1 e 2 2 0 0 e 22 1 1 e 22 2 2 1013530270702707 10676703233 Resposta Portanto a probabilidade de ocorrer pelo menos 3 falhas em 1800 minutos é de 3233 X Quantidade deaparelho com defeito X Binomial60003 Realizando a aproximação para normal teremos μE X n p60003182 Então temos que em 60 aparelhos aproximadamente teremos uma média de 2 aparelhos com defeito σ 2Var X n p1p 60003100317462 Então ao fazer a aproximação para a normal chegamos ao resultado que em uma quantidade de 60 aparelhos teremos uma média de 2 aparelhos com defeito com variância de 2 aparelhos Assim a probabilidade do lote ser rejeitado é de P X 40PZ 402 2 P Z 2686 0 Vedo o resultado graficamente Resposta Portanto a probabilidade da firma rejeitar todo o lote é de aproximadamente 0 Y Pesodeuma caixaX Normal9036 X Pesodo carregamento X Pesomédio docarregamentoX Normal90 36 200 Letra a P 18050X18140 P 18050 200 X 18140 200 P 90 25 X9070P 902590 6 200 Z 90790 6 200 P 059Z165P 0Z165 P 0Z059 044950222402271 Valores tabelados foram extraído da tabela normal padrão como apresentado nos print a baixo AREAS UNDER THE NORMAL CURVE An entry in the table is the proportion under the entire curve which is between z 0 and a positive value of z Areas for negative values of z are obtained by symmetry Second decimal place of z z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 00 0000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0319 0359 01 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0753 02 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 03 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 04 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 05 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 06 2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549 07 2580 2611 2642 2673 2703 2734 2764 2794 2823 2852 08 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3106 3133 09 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 AREAS UNDER THE NORMAL CURVE An entry in the table is the proportion under the entire curve which is between z 0 and a positive value of z Areas for negative values of z are obtained by symmetry Second decimal place of z z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 00 0000 0040 0080 0120 0160 0199 0239 0279 0319 0359 01 0398 0438 0478 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0753 02 0793 0832 0871 0910 0948 0987 1026 1064 1103 1141 03 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 04 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 05 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 Resultado Gráfico Valores pouco divergente pois na resolução usamos a aproximação do normal padrão aí há uma pequena perca mesmo Letra b P X17850PX 17850 200 P X8925P Z 892590 6 200 P Z177 05P 0Z177050461609616 Valor tabelado Resultado gráfico Letra c P X Xa01213 050121303787 Procurar valor na tabela da normal padrão O valor de Z será Z117 Negativo pois a probabilidade indicada é inferior a 50 Xa90 6 200 117 X a8950 A média será de 8950 X a20089501790072Kg Letra d P X Xa07654 076540502654 Procurar valor na tabela da normal padrão mais próximo possível O valor de Z será Z072 Xa90 6 200 072 X a8969 A média será de 8969 X a20089691793891 Kg Letra e P X1865039P 39X1865039P 18611 X18689P 18611 200 X18689 200 P 90055 X93445P 9005590 6 200 Z 9344590 6 200 P 013Z81205P 0Z013 050051704483 Valor na tabela Representação Gráfica X Vidamédiodos aparelhosX Normal9289 P X Xa005 05005045 Encontrando O Z mais próximo dessa probabilidade Portando o Z será Z 165 Xa9 17 165 Xa6195 Resposta A garantia deverá ser de no máximo 6 anos para que 5 dos aparelhos sejam substituídos X4 X12 X2X3 μE X E 4 X12 X2X34 E X12 E X2 E X341502120200560 σ 2Var X Var 4 X12 X2 X316Var X14Var X220163044020660 X Normal560660 Letra a P X50070P70 X50070P 430X570 P 430560 660 Z 570560 660 P 506Z03905P 0z039050151706517 Valor na tabela Normal Padrão Representação gráfica Letra b P X Xa010566 05010565039435 Procurando o valor aproximado de Z na tabela z125 Xa560 660 125 Xa52789 Letra c P X Xa087 08705037 Procurando o valor mais aproximado na tabela Normal Padrão Z113 Xa560 660 113 Xa530 97 X Produção decoposo plasticosX Binomial50001 Realizando a aproximação para a distribuição Normal μE X n p5000150 σ 2Var X n p1p 50001101 45 Logo teremos X Normal50 45 P 30X80P 3050 45 Z 8050 45 P 298Z447 P 0Z298P 0Z447 049860509986 Resposta Em uma produção de 500 copos plásticos a probabilidade de a quantidade de copos com defeito estiver em um intervalo de 30 a 80 é de 9986 X Gastos mensalcom xeroxe outrosmateriaisX Normal1651225 Média de 40 alunos X Normal165 1225 40 P X160P Z 160165 35 40 P Z09005P 0Z090050315901841 Valor na tabela Normal Padrão Representação gráfica Resposta A probabilidade da média amostra do gasto de 40 alunos ser menor de R 16000 é de 1841 n Z α 2 σ e 2 17512 075 2 7 84 8 Resposta A amostra deverá ser de 8 unidades X Quantidade de parafusodefeituoso produzidoX Binomial 40001 Realizando a aproximação para a normal μE X n p4000140 σ 2Var X n p1p 4000110136 X Normal4036 Letra a P X 30 PZ 3040 6 P Z167 05P 0Z167 0504525004754 75 Letra b P 35X45P 3540 6 Z 4540 6 P 083Z083 2 P 0Z083 2 02967059345934 Letra c P 42 X51P 4240 6 Z 5140 6 P 033Z183P 0Z183 P 0Z033 046640129303371337133ract 5ormalimaçever 40alunosser menor deeitoestiver emumintervalode 30a80 Letra d P X37 0 OBS Como X agora segue uma distribuição normal temos que para va contínuas probabilidade pontuais são nulas X Ligaçõesatendidasno primeiro toqueX Binomial200026 Realizando a aproximação para a distribuição de Poisson λE X n p20002652 X Poisson52 P X7 e 5252 7 7 0 Resposta A probabilidade de 7 ligações serem atendidas no primeiro toque das 200 ligações recebidas é de aproximadamente 0 Para uma amostra de n36 P 49 X51P 4950 4 6 Z 5150 4 6 P 15Z152 P 0Z15204332086648664 Para uma amostra de n64 P 49 X51P 4950 4 8 Z 5150 4 8 P 2Z22 P0Z22 047720954495 44 Resposta Ao se aumentar o tamanho da amostra aumenta a probabilidade da média amostral está entre o intervalo de confiança com um erro de um mês P p017P Z 017010 0101010 100 P Z23305P 0Z233 050490100099 Resposta A probabilidade de em uma amostra de 100 copos ter mais de 17 quebrado ou lascado é de 099 P X34 P Z 343 1 5 16925 1691 P Z21605P 0Z216050484500155 Resposta A probabilidade da média amostral ser maior que 34mm em uma amostra 25 extraída de um lote de 169 é de 155 O Z 165 3 25 n 165 4125 n 3n1375n1890625n189 Resposta A amostra será de 189 unidade de medida X Quantidade deestabilizadores comdefeito p 80 80001 Aproximação para a normal μ20 012 σ 22001101 18 X Normal218 P X 1PZ 12 18P Z075 05P 0Z075050273402266 Resposta A probabilidade do lote ser aceito é de 2266 X Garrafas malcheias P 009X011P 009010 01101 225 625225 6251 Z 011010 01101 225 625225 6251 P 0 62Z0622 P 0Z0622 0232404648 Resposta Uma amostra de 225 extraída de uma produção de 265 apresenta uma probabilidade de 4648 de ter garrafal mal cheia no intervalo de 9 a 11 X2 X13 X2X 3 μE X E 2 X13 X2X3 2 E X13 E X2E X327036010060 σ 2Var X Var 2 X13 X 2 X34Var X19Var X 2Var X34991625205 X Normal60205 P X5014P 14 X5014P36 X64P 3660 205 Z 6460 205 P168Z028P 0Z168P0Z0280453501103056385638 1 Hora60minutos 60min120candidatos 3minλcandidatos Aplicando regra de 3 temos λ6candidatos X Númrode candidatosentreistado em3minutos X Poisson6 P X 2 1P X2 1 P X0P X1 1 e 66 1 0 e 66 1 1 1000250014910017409826 Resposta A probabilidade de entrevistar pelo menos 2 candidatos em 3 minutos é de 9826 X Númerode passageirosemumavanX Binomial1003 Letra a E X n p10033 Resposta A média de ocupantes da van é de 3 passageiros Letra b P 3X 91P 3X91P X0P X1P X2P x10 1 10 0 03 007 10 10 1 0 3 107 9 10 2 03 207 8 10 1003 1007 01002820121102335000000610382806172eq passageirosvan star pelo menos2candidadot em3minutos Resposta A probabilidade da van carregar entre 3 e p passageiros é de 6172 X2 X1X 23 X 3X4 μE X E 2 X1X23 X3X4 2 E X1E X2 3 E X3 E X4 2 1001003160200380 σ 2Var X Var 2 X1X23 X3X 44Var X1Var X29Var X3Var X 4420309 4040510 X Normal380510 Letra a P X 420PZ 420380 510 P Z 17705P 0Z177050461600384384 Letra b P X 436PZ 436380 510 P Z 2 4805P 0Z2480 504934099349934 Letra c P 300X480P 300380 510 Z 480380 510 P 354Z443 P 0Z354 P 0Z443 0499805099989998 Letra d P X500176P 176 X500176P 324X676 P 324380 510 Z 676380 510 P248Z1311P0Z248P 0Z13110493405099349934 Letra e P X Xa007 Valor do Z 148 Xa380 510 148 X a4134231 Aproximação para a Normal μE X n p10002121 σ 2Var X n p1p 10002110211659 X Normal211659 Letra a P X 25 PZ 2521 16 59 P Z 098 05P 0Z098050336501635 Letra b P X 70 PZ 7021 1659 P Z12030 5P 0Z1203 05051 Letra c P X57 PZ 5721 1659 P Z884 05P 0Z88405050 Letra d P X52 0 Letra e P 25X57 P 2521 1659 Z 2557 1659P 098Z884 P 0Z884 P 0Z098050336501635 P0 06205 0061006 500 p006205 0061006 500 096 P 00382 p00818096 I C p0 960038200818 O valor do Z será de 258 4 6 n 258 1548 n 4n387n149769n15 Resposta A amostra deverá ser de 15 unidades Letra a P X976 PZ 976990 10 P Z14 0 5P0Z14 050419200808808 Letra b P X1011PZ 1011990 10 P Z2105P 0Z210504821098219821 Letra c P X Xa010565 O valor de Z será igual a 125 Xa990 10 125 X a9775g Letra d P X Xa06273 O valor de Z será igual a 03 Xa990 10 032 X a9868 g X42 S10 15 30000225 300001 06642 Letra a P X40PZ 4042 06642PZ30105P 0Z3010504987099879985 Letra b P X32PZ 3242 06642P Z15 06 05P 0Z1506050500 Letra c P 4312X4738P 431242 06642 Z 473842 06642 P 169Z810P 0Z810 P 0Z169 0504545004554 55 P X 8230P X 8230 140 P X5879 P Z 587960 15 140 P Z95405P 0Z954 05050 1 P X Xa010 O valor de Z será Z128 Xa2000 250 128 Xa2320 Resposta Para um cliente ser considerado VIP ele precisará ter um saldo médio de R 232000 2 P X Xa005 O valor de Z será Z165 Xa2000 250 165 Xa158750 Resposta Para um cliente ser convidado a mudar de banco ele precisará ter um saldo médio de R 158750 P X3 1P X 3 1P X0P X1P X2P X31 e 22 0 0 e 22 1 1 e 22 2 2 e 22 3 3 101353027070270701804 10857101429804 ot domédio de R1587 50ntre 3e p passageiros Resposta A probabilidade de enviarem petroleiros para outro porto é de 1429 Probabilidade de se trocar uma lambada P X31PZ 3150 15 P Z12705P 0Z127050397801020 Média de lambdas as ser trocadas 800001020816 Resposta Esperase substituir 816 lambadas até 1º de fevereiro P X Xa005 O valor de Z será de 165 Xa8 18 165 Xa503anos Resposta A garantia deverá ser de até 5 anos P 35 X38P 354 15 50 240050 24001 Z 384 15 50 240050 24001 P 238Z095P 0Z238 P 0Z095049130328901624 Resposta A probabilidade da média amostral da quantidade de impureza esta entre 35 e 38g é de 1624 Letra a P 12458 173 X 12463 173 P 720172 35 173 Z 720472 35 173 P 004Z015P 0Z015P 0Z004 006000016000437437 Letra b P X12300 173 P Z 711072 35 173 P Z33905P 0Z33905049960999699 65 Letra c P X12447 173 P Z 719572 35 173 P Z0205P 0Z020500793042074207 Letra d P Xμ05050 120clientes60minutos λclientes4 minutos Aplicando regra de 3 temos λ8 X Poisson8 P X21P X 21 P X0P X1P X21 e 88 0 0 e 8 8 1 1 e 88 2 2 1000030002700107 10013709862 Resposta A probabilidade do caixa atender mais de 2 clientes em 4 minutos é de 9862 1 𝐻𝑜𝑟𝑎 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 15 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 900 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑋1𝑂𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑒𝑚 15 𝐻𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑋1 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 1 900 𝑚𝑖𝑛 1 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎 1800 min 𝜆𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠 Aplicando a regra de 3 temos 𝜆 1800 900 2 Logo teremos que 𝑋2 𝑂𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑒𝑚 1800 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑋2 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛2 Desse modo queremos 𝑃𝑋2 3 1 𝑃𝑋 3 1 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 2 1 𝑒2 20 0 𝑒2 21 1 𝑒2 22 2 1 01353 02707 02707 1 06767 03233 Resposta Portanto a probabilidade de ocorrer pelo menos 3 falhas em 1800 minutos é de 3233 𝑋 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑙ℎ𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑋 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙60 003 Realizando a aproximação para normal teremos 𝜇 𝐸𝑋 𝑛 𝑝 60 003 18 2 Então temos que em 60 aparelhos aproximadamente teremos uma média de 2 aparelhos com defeito 𝜎2 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑛 𝑝 1 𝑝 60 003 1 003 1746 2 Então ao fazer a aproximação para a normal chegamos ao resultado que em uma quantidade de 60 aparelhos teremos uma média de 2 aparelhos com defeito com variância de 2 aparelhos Assim a probabilidade do lote ser rejeitado é de 𝑃𝑋 40 𝑃 𝑍 40 2 2 𝑃𝑍 2686 0 Vedo o resultado graficamente Resposta Portanto a probabilidade da firma rejeitar todo o lote é de aproximadamente 0 𝑌 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙90 36 𝑋 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑋 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 90 36 200 Letra a 𝑃18050 𝑋 18140 𝑃 18050 200 𝑋 18140 200 𝑃9025 𝑋 9070 𝑃 9025 90 6 200 𝑍 907 90 6 200 𝑃059 𝑍 165 𝑃0 𝑍 165 𝑃0 𝑍 059 04495 02224 02271 Valores tabelados foram extraído da tabela normal padrão como apresentado nos print a baixo AREAS UNDER THE NORMAL CURVE An entry in the table is the proportion under the entire curve which is between z 0 and a positive value of z Areas for negative values of z are obtained by symmetry Second decimal place of z 05 16 4495 09 05 2224 Resultado Gráfico Valores pouco divergente pois na resolução usamos a aproximação do normal padrão aí há uma pequena perca mesmo Letra b 𝑃𝑋 17850 𝑃 𝑋 17850 200 𝑃𝑋 8925 𝑃 𝑍 8925 90 6 200 𝑃𝑍 177 05 𝑃0 𝑍 177 05 04616 09616 Valor tabelado Resultado gráfico Letra c 𝑃𝑋 𝑋𝑎 01213 05 01213 03787 Procurar valor na tabela da normal padrão O valor de Z será 𝑍 117 Negativo pois a probabilidade indicada é inferior a 50 𝑋𝑎 90 6 200 117 𝑋𝑎 8950 A média será de 8950 𝑋𝑎 200 8950 1790072 𝐾𝑔 Letra d 𝑃𝑋 𝑋𝑎 07654 07654 05 02654 Procurar valor na tabela da normal padrão mais próximo possível O valor de Z será 𝑍 072 𝑋𝑎 90 6 200 072 𝑋𝑎 8969 A média será de 8969 𝑋𝑎 200 8969 1793891 𝐾𝑔 Letra e 𝑃 𝑋 18650 39 𝑃39 𝑋 18650 39 𝑃18611 𝑋 18689 𝑃 18611 200 𝑋 18689 200 𝑃90055 𝑋 93445 𝑃 90055 90 6 200 𝑍 93445 90 6 200 𝑃013 𝑍 812 05 𝑃0 𝑍 013 05 00517 04483 Valor na tabela Representação Gráfica 𝑋 𝑉𝑖𝑑𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑙ℎ𝑜𝑠 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 9 289 𝑃𝑋 𝑋𝑎 005 05 005 045 Encontrando O Z mais próximo dessa probabilidade Portando o Z será Z 165 𝑋𝑎 9 17 165 𝑋𝑎 6195 Resposta A garantia deverá ser de no máximo 6 anos para que 5 dos aparelhos sejam substituídos 𝑋 4𝑋1 2𝑋2 𝑋3 𝜇 𝐸𝑋 𝐸4𝑋1 2𝑋2 𝑋3 4 𝐸𝑋1 2 𝐸𝑋2 𝐸𝑋3 4 150 2 120 200 560 𝜎2 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑉𝑎𝑟4𝑋1 2𝑋2 𝑋3 16 𝑉𝑎𝑟𝑋1 4 𝑉𝑎𝑟𝑋2 20 16 30 4 40 20 660 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙560 660 Letra a 𝑃 𝑋 500 70 𝑃70 𝑋 500 70 𝑃430 𝑋 570 𝑃 430 560 660 𝑍 570 560 660 𝑃506 𝑍 039 05 𝑃0 𝑧 039 05 01517 06517 Valor na tabela Normal Padrão Representação gráfica Letra b 𝑃𝑋 𝑋𝑎 010566 05 010565 039435 Procurando o valor aproximado de Z na tabela 𝑧 125 𝑋𝑎 560 660 125 𝑋𝑎 52789 Letra c 𝑃𝑋 𝑋𝑎 087 087 05 037 Procurando o valor mais aproximado na tabela Normal Padrão 𝑍 113 𝑋𝑎 560 660 113 𝑋𝑎 53097 𝑋 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢çã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑝𝑜𝑠𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑋 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙500 01 Realizando a aproximação para a distribuição Normal 𝜇 𝐸𝑋 𝑛 𝑝 500 01 50 𝜎2 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑛 𝑝 1 𝑝 500 01 1 01 45 Logo teremos 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙50 45 𝑃30 𝑋 80 𝑃 30 50 45 𝑍 80 50 45 𝑃298 𝑍 447 𝑃0 𝑍 298 𝑃0 𝑍 447 04986 05 09986 Resposta Em uma produção de 500 copos plásticos a probabilidade de a quantidade de copos com defeito estiver em um intervalo de 30 a 80 é de 9986 𝑋 𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚 𝑥𝑒𝑟𝑜𝑥 𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙165 1225 Média de 40 alunos 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 165 1225 40 𝑃𝑋 160 𝑃 𝑍 160 165 35 40 𝑃𝑍 090 05 𝑃0 𝑍 090 05 03159 01841 Valor na tabela Normal Padrão Representação gráfica Resposta A probabilidade da média amostra do gasto de 40 alunos ser menor de R 16000 é de 1841 𝑛 𝑍𝛼 2 𝜎 𝑒 2 175 12 075 2 784 8 Resposta A amostra deverá ser de 8 unidades 𝑋 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑧𝑖𝑑𝑜 𝑋 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙400 01 Realizando a aproximação para a normal 𝜇 𝐸𝑋 𝑛 𝑝 400 01 40 𝜎2 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑛 𝑝 1 𝑝 400 01 1 01 36 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙40 36 Letra a 𝑃𝑋 30 𝑃 𝑍 30 40 6 𝑃𝑍 167 05 𝑃0 𝑍 167 05 04525 00475 475 Letra b 𝑃35 𝑋 45 𝑃 35 40 6 𝑍 45 40 6 𝑃083 𝑍 083 2 𝑃0 𝑍 083 2 02967 05934 5934 Letra c 𝑃42 𝑋 51 𝑃 42 40 6 𝑍 51 40 6 𝑃033 𝑍 183 𝑃0 𝑍 183 𝑃0 𝑍 033 04664 01293 03371 3371 Letra d 𝑃𝑋 37 0 OBS Como X agora segue uma distribuição normal temos que para va contínuas probabilidade pontuais são nulas 𝑋 𝐿𝑖𝑔𝑎çõ𝑒𝑠 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑋 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙200026 Realizando a aproximação para a distribuição de Poisson 𝜆 𝐸𝑋 𝑛 𝑝 200 026 52 𝑋 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛52 𝑃𝑋 7 𝑒52 527 7 0 Resposta A probabilidade de 7 ligações serem atendidas no primeiro toque das 200 ligações recebidas é de aproximadamente 0 Para uma amostra de n36 𝑃49 𝑋 51 𝑃 49 50 4 6 𝑍 51 50 4 6 𝑃15 𝑍 15 2 𝑃0 𝑍 15 2 04332 08664 8664 Para uma amostra de n64 𝑃49 𝑋 51 𝑃 49 50 4 8 𝑍 51 50 4 8 𝑃2 𝑍 2 2 𝑃0 𝑍 2 2 04772 09544 9544 Resposta Ao se aumentar o tamanho da amostra aumenta a probabilidade da média amostral está entre o intervalo de confiança com um erro de um mês 𝑃𝑝 017 𝑃 𝑍 017 010 010 1 010 100 𝑃𝑍 233 05 𝑃0 𝑍 233 05 04901 00099 Resposta A probabilidade de em uma amostra de 100 copos ter mais de 17 quebrado ou lascado é de 099 𝑃𝑋 34 𝑃 𝑍 34 3 1 5 169 25 169 1 𝑃𝑍 216 05 𝑃0 𝑍 216 05 04845 00155 Resposta A probabilidade da média amostral ser maior que 34mm em uma amostra 25 extraída de um lote de 169 é de 155 O Z 165 3 25 𝑛 165 4125 𝑛 3 𝑛 1375 𝑛 1890625 𝑛 189 Resposta A amostra será de 189 unidade de medida 𝑋 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑝 80 800 01 Aproximação para a normal 𝜇 20 01 2 𝜎2 20 01 1 01 18 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙2 18 𝑃𝑋 1 𝑃 𝑍 1 2 18 𝑃𝑍 075 05 𝑃0 𝑍 075 05 02734 02266 Resposta A probabilidade do lote ser aceito é de 2266 𝑋 𝐺𝑎𝑟𝑟𝑎𝑓𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑙 𝑐ℎ𝑒𝑖𝑎𝑠 𝑃009 𝑋 011 𝑃 009 010 01 1 01 225 625 225 625 1 𝑍 011 010 01 1 01 225 625 225 625 1 𝑃062 𝑍 062 2 𝑃0 𝑍 062 2 02324 04648 Resposta Uma amostra de 225 extraída de uma produção de 265 apresenta uma probabilidade de 4648 de ter garrafal mal cheia no intervalo de 9 a 11 𝑋 2𝑋1 3𝑋2 𝑋3 𝜇 𝐸𝑋 𝐸2𝑋1 3𝑋2 𝑋3 2 𝐸𝑋1 3 𝐸𝑋2 𝐸𝑋3 2 70 3 60 100 60 𝜎2 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑉𝑎𝑟2𝑋1 3𝑋2 𝑋3 4 𝑉𝑎𝑟𝑋1 9 𝑉𝑎𝑟𝑋2 𝑉𝑎𝑟𝑋3 4 9 9 16 25 205 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙60205 𝑃 𝑋 50 14 𝑃14 𝑋 50 14 𝑃36 𝑋 64 𝑃 36 60 205 𝑍 64 60 205 𝑃168 𝑍 028 𝑃0 𝑍 168 𝑃0 𝑍 028 04535 01103 05638 5638 1 𝐻𝑜𝑟𝑎 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 60𝑚𝑖𝑛 120 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 3 𝑚𝑖𝑛 𝜆 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 Aplicando regra de 3 temos 𝜆 6 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑋 𝑁ú𝑚𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑖𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑚 3 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑋 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛 6 𝑃𝑋 2 1 𝑃𝑋 2 1 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 1 𝑒6 61 0 𝑒6 61 1 1 00025 00149 1 00174 09826 Resposta A probabilidade de entrevistar pelo menos 2 candidatos em 3 minutos é de 9826 𝑋 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑔𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑛 𝑋 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙10 03 Letra a 𝐸𝑋 𝑛 𝑝 10 03 3 Resposta A média de ocupantes da van é de 3 passageiros Letra b 𝑃3 𝑋 9 1 𝑃3 𝑋 9 1 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 2 𝑃𝑥 10 1 10 0 0300710 10 1 031079 10 2 032078 10 10 0310070 1 00282 01211 02335 0000006 1 03828 06172 Resposta A probabilidade da van carregar entre 3 e p passageiros é de 6172 𝑋 2𝑋1 𝑋2 3𝑋3 𝑋4 𝜇 𝐸𝑋 𝐸2𝑋1 𝑋2 3𝑋3 𝑋4 2 𝐸𝑋1 𝐸𝑋2 3 𝐸𝑋3 𝐸𝑋4 2 100 100 3 160 200 380 𝜎2 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑉𝑎𝑟2𝑋1 𝑋2 3𝑋3 𝑋4 4 𝑉𝑎𝑟𝑋1 𝑉𝑎𝑟𝑋2 9 𝑉𝑎𝑟𝑋3 𝑉𝑎𝑟𝑋4 4 20 30 9 40 40 510 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙380 510 Letra a 𝑃𝑋 420 𝑃 𝑍 420 380 510 𝑃𝑍 177 05 𝑃0 𝑍 177 05 04616 00384 384 Letra b 𝑃𝑋 436 𝑃 𝑍 436 380 510 𝑃𝑍 248 05 𝑃0 𝑍 248 05 04934 09934 9934 Letra c 𝑃300 𝑋 480 𝑃 300 380 510 𝑍 480 380 510 𝑃354 𝑍 443 𝑃0 𝑍 354 𝑃0 𝑍 443 04998 05 09998 9998 Letra d 𝑃 𝑋 500 176 𝑃176 𝑋 500 176 𝑃324 𝑋 676 𝑃 324 380 510 𝑍 676 380 510 𝑃248 𝑍 1311 𝑃0 𝑍 248 𝑃0 𝑍 1311 04934 05 09934 9934 Letra e 𝑃𝑋 𝑋𝑎 007 Valor do Z 148 𝑋𝑎 380 510 148 𝑋𝑎 4134231 Aproximação para a Normal 𝜇 𝐸𝑋 𝑛 𝑝 100 021 21 𝜎2 𝑉𝑎𝑟𝑋 𝑛 𝑝 1 𝑝 100 021 1 021 1659 𝑋 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙21 1659 Letra a 𝑃𝑋 25 𝑃 𝑍 25 21 1659 𝑃𝑍 098 05 𝑃0 𝑍 098 05 03365 01635 Letra b 𝑃𝑋 70 𝑃 𝑍 70 21 1659 𝑃𝑍 1203 05 𝑃0 𝑍 1203 05 05 1 Letra c 𝑃𝑋 57 𝑃 𝑍 57 21 1659 𝑃𝑍 884 05 𝑃0 𝑍 884 05 05 0 Letra d 𝑃𝑋 52 0 Letra e 𝑃25 𝑋 57 𝑃 25 21 1659 𝑍 25 57 1659 𝑃098 𝑍 884 𝑃0 𝑍 884 𝑃0 𝑍 098 05 03365 01635 𝑃 006 205 006 1 006 500 𝑝 006 205 006 1 006 500 096 𝑃00382 𝑝 00818 096 𝐼𝐶𝑝096 0038200818 O valor do Z será de 258 4 6 𝑛 258 1548 𝑛 4 𝑛 387 𝑛 149769 𝑛 15 Resposta A amostra deverá ser de 15 unidades Letra a 𝑃𝑋 976 𝑃 𝑍 976 990 10 𝑃𝑍 14 05 𝑃0 𝑍 14 05 04192 00808 808 Letra b 𝑃𝑋 1011 𝑃 𝑍 1011 990 10 𝑃𝑍 21 05 𝑃0 𝑍 21 05 04821 09821 9821 Letra c 𝑃𝑋 𝑋𝑎 010565 O valor de Z será igual a 125 𝑋𝑎 990 10 125 𝑋𝑎 9775𝑔 Letra d 𝑃𝑋 𝑋𝑎 06273 O valor de Z será igual a 03 𝑋𝑎 990 10 032 𝑋𝑎 9868𝑔 𝑋 42 𝑆 10 15 30000 225 30000 1 06642 Letra a 𝑃𝑋 40 𝑃 𝑍 40 42 06642 𝑃𝑍 301 05 𝑃0 𝑍 301 05 04987 09987 9985 Letra b 𝑃𝑋 32 𝑃 𝑍 32 42 06642 𝑃𝑍 1506 05 𝑃0 𝑍 1506 05 05 0 0 Letra c 𝑃4312 𝑋 4738 𝑃 4312 42 06642 𝑍 4738 42 06642 𝑃169 𝑍 810 𝑃0 𝑍 810 𝑃0 𝑍 169 05 04545 00455 455 𝑃𝑋 8230 𝑃 𝑋 8230 140 𝑃𝑋 5879 𝑃 𝑍 5879 60 15 140 𝑃𝑍 954 05 𝑃0 𝑍 954 05 05 0 1 𝑃𝑋 𝑋𝑎 010 O valor de Z será 𝑍 128 𝑋𝑎 2000 250 128 𝑋𝑎 2320 Resposta Para um cliente ser considerado VIP ele precisará ter um saldo médio de R 232000 2 𝑃𝑋 𝑋𝑎 005 O valor de Z será 𝑍 165 𝑋𝑎 2000 250 165 𝑋𝑎 158750 Resposta Para um cliente ser convidado a mudar de banco ele precisará ter um saldo médio de R 158750 𝑃𝑋 3 1 𝑃𝑋 3 1 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 2 𝑃𝑋 3 1 𝑒2 20 0 𝑒2 21 1 𝑒2 22 2 𝑒2 23 3 1 01353 02707 02707 01804 1 08571 01429 Resposta A probabilidade de enviarem petroleiros para outro porto é de 1429 Probabilidade de se trocar uma lambada 𝑃𝑋 31 𝑃 𝑍 31 50 15 𝑃𝑍 127 05 𝑃0 𝑍 127 05 03978 01020 Média de lambdas as ser trocadas 8000 01020 816 Resposta Esperase substituir 816 lambadas até 1º de fevereiro 𝑃𝑋 𝑋𝑎 005 O valor de Z será de 165 𝑋𝑎 8 18 165 𝑋𝑎 503 𝑎𝑛𝑜𝑠 Resposta A garantia deverá ser de até 5 anos 𝑃35 𝑋 38 𝑃 35 4 15 50 2400 50 2400 1 𝑍 38 4 15 50 2400 50 2400 1 𝑃238 𝑍 095 𝑃0 𝑍 238 𝑃0 𝑍 095 04913 03289 01624 Resposta A probabilidade da média amostral da quantidade de impureza esta entre 35 e 38g é de 1624 Letra a 𝑃 12458 173 𝑋 12463 173 𝑃 7201 72 35 173 𝑍 7204 72 35 173 𝑃004 𝑍 015 𝑃0 𝑍 015 𝑃0 𝑍 004 00600 00160 00437 437 Letra b 𝑃 𝑋 12300 173 𝑃 𝑍 7110 72 35 173 𝑃𝑍 339 05 𝑃0 𝑍 339 05 04996 09996 9965 Letra c 𝑃 𝑋 12447 173 𝑃 𝑍 7195 72 35 173 𝑃𝑍 02 05 𝑃0 𝑍 02 05 00793 04207 4207 Letra d 𝑃𝑋 𝜇 050 50 120 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝜆𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Aplicando regra de 3 temos 𝜆 8 𝑋 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛8 𝑃𝑋 2 1 𝑃𝑋 2 1 𝑃𝑋 0 𝑃𝑋 1 𝑃𝑋 2 1 𝑒8 80 0 𝑒8 81 1 𝑒8 82 2 1 00003 00027 00107 1 00137 09862 Resposta A probabilidade do caixa atender mais de 2 clientes em 4 minutos é de 9862