Variáveis Aleatórias e Distribuição de Probabilidade

Váriaveis aleatórias NA3411 ESTATÍSTICA BÁSICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Variável aleatória é uma função com valores numéricos cujo valor é determinado por fatores probabilísticos A palavra aleatória indica que só conhecemos o valor real após o experimento ser realizado DEFINIÇÃO DEFINIÇÕES a Função de probabilidade função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente ou seja PXxi PAi i12n b Distribuição de probabilidade da variável X é uma distribuição de frequências relativas para os resultados de um espaço amostral mostra a proporção das vezes em que a va tende a assumir cada um dos diversos valores Conjunto xi pxi i1n onde a soma de todos os valores de uma distribuição deve ser igual a 1 ou seja As Variáveis Aleatórias podem ser 1 Discretas Exemplos 2 Contínuas Exemplos VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Distribuição de probabilidade Casos Esperança Matemática Variância discreto EX n i1 xi pxi VARX n i1 xi² pxi n i1 xi pxi² Desviopadrão σ VARX Caso discreto Exemplo 1 três X número de ocorrências da face cara ao lançar 3 moedas X CARAS Evento Correspondente 0 rrr 1 crr rcr rrc 2 ccr rcc crc 3 ccc VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Distribuição de probabilidade Representações Tabela e Gráfico X caras PX 0 1 2 3 1 1 8 3 8 3 8 1 8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS EXEMPLO 2 Dada a distribuição de probabilidade determine o valor de a EX VARX e σx o valor de a a 1 02 01 01 03 a 03 EX ni1 xipxi EX 24 VARX ni1 xi²pxi ni1 xipxi² VARX 80 242 VARX 224 σX 1497 EXEMPLO 3 Solução VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Seja x número de ocorrência da face 1 Assim podemos resumir os dados dos enunciado na tabela X PAGA RECEBE 1 20 20 2 20 50 3 20 80 EXEMPLO 3 continuação Observase que precisamos calcular o lucro L médio ou seja a esperança da variável aleatória Lucro Assim precisamos complementar a tabela como VARIÁVEIS ALEATÓRIAS i X PAGA RECEBE LUCRO Li 1 0 20 0 20 2 1 20 20 0 3 2 20 50 30 4 3 20 80 60 Precisamos calcular os valores de PL1 PXi Mas para isso precisamos da distribuição de frequência da variável aleatória X Assim segue EXEMPLO 3 continuação Assim vamos desenvolver a distribuição xi 0 222223224322422522622666 1 122212221661 2 112121211116161611 3 111 Observe que é difícil calcular o números de casos presentes para os valores de X iguais a 0 1 2 3 O melhor caminho aqui é calcular diretamente a probabilidade utilizando o eventos independentes Assim definimos como 1 evento sair a face 1 1 evento não sair a face 1 EXEMPLO 3 continuação Assim podemos complementar a tabela de modo adequado para calcular a esperança do Lucro i X LUCRO Li PLi Li PLi LiPLi 1 0 20 05787 115740 23148 2 1 0 03472 0 0 3 2 30 00694 20820 6246 4 3 60 00046 02760 1656 TOTAL 09999 92160 31050 Assim a esperança matemática para o Lucro será Ex 4i0 Li PLi Ex 92160 VARX ni1 Li²PLi ni1 Li PLi² VARX 31050 92160² VARX 2255653 EXEMPLO 4 Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas 3 bolas são retiradas com reposição Seja X o número de bolas brancas Construir a distribuição de X e calcular EX e VARX Solução Para construir a distribuição de X precisamos calcular o valor das probabilidades Caso X 0 EventoPPP assim PX 0 PP P P 610 610 610 2161000 0216 Caso X 1 EventoBPPPBPPPB assim PX 1 PB P P 410 610 610 PR₁₂ 1441000 3 0432 Caso X 2 EventoBBPBPBPBB assim PX 1 PB B P 410 410 610 PR₁₂ 961000 3 0288 Caso X 3 EventoBBB assim PX 3 PB B B 410 410 410 641000 0064 EXEMPLO 4 continuação Assim podemos construir a tabela abaixo i X PX XPX X²PX 1 0 0216 0 0 2 1 0432 0432 0432 3 2 0288 0576 1152 4 3 0064 0192 0576 TOTAL 1000 1200 2160 Assim a esperança matemática para o no de bolas brancas será EX Σi0⁴ xi Pxi EX 1200 VARX Σi1n Xi²PXi Σi1n Xi PXi² VARX 2160 1200² VARX 072 EXEMPLO 5 Uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais do que a face coroa quando lançada Esta moeda é lançada 4 vezes Seja X o número de caras que aparece Determine a distribuição de X EX e VARX Solução Seja x Pcoroa então Pcara 4x Assim podemos escrever Pcara Pcoroa 1 4x x 1 5x 1 x 15 Portanto podemos escrever Pcara PC 45 Pcoroa PK 15 EXEMPLO 5 continuação EXEMPLO 6 Na produção de uma peça são empregadas duas máquinas A primeira é utilizada para efetivamente produzir as peças e o custo de produção é de R 5000 por unidade Das peças produzidas nessa máquina 90 são perfeitas As peças defeituosas produzidas na primeira máquina são colocadas na segunda máquina para a tentativa de recuperação tornálas perfeitas Nessa segunda máquina o custo por peça é de R 2500 mas apenas 60 das peças são de fato recuperadas Sabendo que cada peça perfeita é vendida por R 9000 e que cada peça defeituosa é vendida por R 2000 calcule o lucro por peça esperado pelo fabricante Qual a variância Morettin 2010 p75 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Solução Podemos resumir as informações do enunciado na tabela abaixo Solução a Considere k a quantidade de clientes que tiveram desconto maior que 10 EXEMPLO 5 Um supermercado faz a seguinte promoção o cliente ao passar pelo caixa lança um dado Se sair face 6 tem um desconto de 30 sobre o total de sua conta Se sair 5 o desconto é de 20 Se ocorrer face 4 é de 10 e se ocorrerem faces 1 2 ou 3 o desconto é de 5 Morettin 2010 p75 a Calcular a probabilidade de que num grupo de 5 clientes pelo menos um consiga um desconto maior que 10 b Calcular a probabilidade de que o 4º cliente seja o primeiro a conseguir 30 c Calcular o desconto médio concedido VARIÁVEIS ALEATÓRIAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS FIM