Intervalos de Confiança: Exemplos e Cálculos

z INTERVALOS DE CONFIANÇA PARTE II AULA 17 Exemplo 1 De uma população normal com σ 5 retiramos uma amostra de 50 elementos e obtemos x 42 a Fazer um IC para a média ao nível de 5 α 5 1 α 95 1 α 2 0475 x 42 e n 50 σx σ 2 n σx 5 2 50 Px zcritσx μ x zcritσx 1 α P 42 196 5 2 50 μ 42 196 5 2 50 095 P4061 μ 4339 095 ou IC42 095 4061 4339 b O erro de estimativa e do IC e Zcritσx e 196 25 50 e 139 c Para que o erro seja menor ou igual a 1 com probabilidade de acerto de 95 qual deverá ser o tamanho da amostra e 1 n 1 Zcritσ 2 n 1 196 5 n 1 1965 1 n 1 1965 1 n 1965 1 2 n 9604 Resp n 97 elementos Exemplo 2 Uma amostra aleatória de 80 operários selecionados sem reposição dentre os 3500 de uma grande indústria indicou um salário médio de 980 e um desvio padrão de 220 Construir um intervalo de 96 de confiança para o salário médio verdadeiro dos operários 1 α 096 α 004 1 α 2 096 2 048 Zcrit 205 INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 2 continuação σx σ n N n N 1 σx 220 80 3500 80 3500 1 243175 Px zcritσx µ x zcritσx 1 α P980 205 243175 µ 980 205 243175 096 P93015 µ 102985 096 ou IC980 096 93015 102985 INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 3 Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à modificação do currículo escolar tomouse uma amostra de 100 alunos dos quais 80 foram favoráveis a Fazer um IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis à modificação ao nível de 4 1 α 096 α 004 1 α 2 096 2 048 Zcrit 205 p0 x n 80 100 08 q0 02 σp p0 q0 n 004 z INTERVALO DE CONFIANÇA 08 0882 Exemplo 3 continuação INTERVALO DE CONFIANÇA b Qual o valor do erro de estimação cometido em a e σp Zcrit e 004 205 e 0082 Erro 82 c Qual deve ser o tamanho da amostra para obter no máximo a metade do erro produzido no item b e σp Zcrit e p0 q0 n Zcrit 08 02 n 205 0041 04 n 002 002 n 04 n 20 n 400 Exemplo 4 Em uma linha de produção de certa peça mecânica colheuse uma amostra de 100 itens constatandose que 4 peças eram defeituosas Construir o IC para a proporção p das peças defeituosas ao nível de 10 α 10 1 α 90 1 α 2 045 Z crit 164 p 0 x n 4 100 004 q 0 096 σ p p 0 q 0 n 004 096 100 σ p 00196 Exemplo 4 continuação e σ p Z crit e 00196 164 e 0032144 IC p 0 e p 0 e IC 004 003214 004 003214 IC 000786 007214 Exemplo 5 A experiência com trabalhadores de certa indústria indica que o tempo necessário para que um trabalhador aleatoriamente selecionado realize uma tarefa é distribuído de maneira aproximadamente normal com desviopadrão de 12 minutos Uma amostra de 25 trabalhadores forneceu x 140 minutos Determinar os limites de confiança de 95 para a média da população μ de todos os trabalhadores que fazem aquele determinado serviço Dados x 140 n 25 σ 12 α 5 1 α 95 1 α 2 0475 Z crit 196 INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 5 continuação Sabemos que x 140 n 25 σ 12 σx σn σx 12225 125 24 e σx Zcrit e 24 196 e 4704 z INTERVALO DE CONFIANÇA 4704 135296 Exemplo 5 continuação z Intervalos de confiança para a média de populações normais com variâncias desconhecidas Se n 30 usase a distribuição t de Student próxima aula Se usase a distribuição normal com o estimador s2 de 2 INTERVALO DE CONFIANÇA VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 6 n30 e variância desconhecida De uma população normal com parâmetros desconhecidos tiramos uma amostra de tamanho 100 obtendo x 112 e s 11 Fazer um intervalo de confiança para a média populacional μ ao nível de 10 solução Como a amostra é grande usamos s σ Logo x 112 n 100 e σx s²n 112100 11 Como α 10 temos a seguinte situação INTERVALO DE CONFIANÇA Exemplo 6 continuação Considerando x 112 σx 11 Zcrit 164 Px zcritσx μ x zcritσx 1 α P112 16411 μ 112 16411 090 P11020 μ 11380 090 ou ICμ 090 11020 11380 Conclusão Apesar de usar o desvio padrão da amostra temos um grau de certeza de 90 de que o verdadeiro valor da média populacional está entre 11020 e 11380 Exemplo 7 Querendo se estimar a média de uma população X com distribuição normal levantouse uma amostra de 100 observações obtendose x 30 e s 4 Ao nível de 90 determinar o limite de confiança para a verdadeira média da população solução 1α2 045 P0 Z Zcrit 045 Da tabela temos Zcrit 164 σx sn σx 4100 04 e Zcrit σx e 164 04 0656 z INTERVALO DE CONFIANÇA Assim ou seja Exemplo 7 continuação FIM