Estatística Aplicada: Distribuição t de Student e Teorema do Limite Central

z ESTATÍSTICA APLICADA AULA 19 EXEMPLOS DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT Vamos relembrar o uso da tabela da distribuição t de student e analisar mais alguns casos EXEMPLO 1 Usando a tabela da distribuição t determine a t de forma que PT₁₆ t 10 T₁₆ significa que gl n 1 16 ou seja n 17 Procurar na tabela t₁₆₀₁₀ EXEMPLO 1 continuação b PT₄₉ 20086 como a tabela em questão só tem 3 casas decimais após a vírgula usar PT₄₉ 2009 Solução T₄₉ significa que gl n 1 49 ou seja n 50 se não tiver 49 na tabela devemos utilizar o mais próximo ou seja 50 Da tabela vemos que t₀₀₂₅₅₀ 2009 Portanto PT₄₉ 20086 25 EXEMPLO 1 continuação c PT₃₆ 27238 como a tabela em questão só tem 3 casas decimais após a vírgula usar PT₃₆ 2724 Solução T₃₆ significa que gl n 1 36 ou seja n 37 como não tem na tabela ver nas linha 35 e buscar o valor mais próximo de 2724 Da tabela vemos que t₀₀₀₅₃₅ 2724 Agora sabemos que PT₃₆ 2724 1 PT₃₅ 2724 Portanto PT₃₆ 27238 995 z Distribuição Normal Teorema do Limite Central Se é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com a média e o desvio padrão e se a amostra é grande ou seja então a conversão será feita através da expressão DISTRIBUIÇÃO t STUDENT Onde População infinita População finita Distribuição t de Student Teorema do Limite Central Se x é a média de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população com a média μ e o desvio padrão populacional σ desconhecido sendo substituído por s e se a amostra é pequena n 30 então a conversão será feita através da expressão População infinita t x μ sn População finita t x μ snN nN 1 Onde μ x Variância s² 1n 1 n i1x² i n i1x i²n grau de liberdade Intervalo de Confiança IC Estabelece limites que com certa probabilidade incluam o verdadeiro valor do parâmetro da população α nível de incerteza ou grau de desconfiança menor 1 α coeficiente de confiança ou nível de confiabilidade maior GRÁFICAMENTE TEMSE n 30 zcrit 1 α2 ver dentro da tabela o valor mais próximo desse resultado para encontrar zcrit n 30 tcrit α2 ver na tabela juntamente com o grau de liberdade gl n 1 para encontrar tcrit Intervalo de Confiança IC GRÁFICAMENTE TEMSE Px zcritσx μ x zcritσx 1 α Px tα2sx μ x tα2sx 1 α Lembrando que tcrit tα2gl DISTRIBUIÇÃO t STUDENT EXEMPLO 1 A composição de uma liga de ferro apresenta diferentes quantidades de carbono Uma amostra de 10 ligas foram analisadas e delas foram extraídas a quantidade de carbono Uma analise dos dados produziu as informações i110 xi 4312 i110 xi2 20175 Determinar os limites de confiança de 90 para o verdadeiro conteúdo médio de carbono na liga de ferro Solução Calculando a média x i110 xi n 4312 10 x 4312 Calculando a variância s² 1 n 1 i110 xi² 1n i1n xi² 1 9 20175 1 10 4312² 1757 Desvio Padrão s 1757 1326 DISTRIBUIÇÃO t STUDENT EXEMPLO 1 Continuação 1 α 90 α 10 α 2 5 005 σ desconhecido amostra peq n 10 distr T Student tcrit 1833 t9005 tcrit DISTRIBUIÇÃO t STUDENT EXEMPLO 1 Continuação Vamos calcular o erro e tcrit s n assim e 1833 1326 10 e 0769 Assim o Intervalo de Confiança será IC x e x e IC 4312 0769 4312 0769 IC 3543 5081 Portanto o verdadeiro conteúdo médio de carbono na liga de ferro deve estar no intervalo IC 3543 5081 com 90 de confiança EXEMPLO 2 Uma amostra aleatória de 15 funcionários produziu em minutos os atrasos na entrada dos mesmos na empresa 20 13 60 19 51 04 10 53 24 07 47 09 17 53 06 Determine a Um intervalo de confiança de 95 para a verdadeira média de atrasos b Qual deve ser o tamanho da amostra para obter no máximo a metade do erro do item a Solução Primeiro vamos calcular as somas Σ15 i1 xi e Σ15 i1 xi2 Xi 2 20 13 60 19 51 04 10 53 24 07 47 09 17 53 06 3930 400 169 3600 361 2601 016 100 2809 576 049 2209 081 289 2809 036 16105 Calculando a média x Σ10 i1 xi 393 15 x 2620 Calculando a variância s2 1 n1 Σ10 i1 xi 2 1 n Σn i1 xi 2 1 14 1 15 3930 2 4149 Desvio Padrão s 4149 2037 EXEMPLO 2 Continuação 1 α 95 α 5 α 2 25 0025 gl 14 σ desconhecido amostra peq n 15 dist T Student t140025 tcrit 2145 Vamos calcular o erro e tcrit s n assim e 2145 2037 15 e 1128 Assim o Intervalo de Confiança será IC x e x e IC 2620 1128 2620 1128 IC 1492 3748 Portanto o verdadeira média de atrasos deve estar no intervalo IC 1492 3748 com 95 de confiança EXEMPLO 2 Continuação b Qual deve ser o tamanho da amostra para obter no máximo a metade do erro anterior e 1128 e 2 0564 e s n tcrit 2037 n 2145 0564 2037 2145 0564 n n 2037 2145 0564 n 2037 2145 2 n 7747 2 n 60 Para termos metade do erro anterior devemos ter pelo menos uma amostra de tamanho 60 unidades EXEMPLO 3 Um fabricante de bebidas deseja estimar a média de resistência de 250 garrafas provenientes de um lote da linha produção Sabese que a média e desvio padrão de 25 amostras que foram retiradas desse lote sem reposição são respectivamente 178966 e 8228 Com base nas medidas obtenha o intervalo de confiança de 99 para a média de resistência das garrafas desse lote Solução Sabemos que n 25 x 178966 s 8228 N 250 σ é desconhecido gl 24 amostra pequena pop é normal t240005 tcrit 2797 sx s n Nn N1 sx 8228 25 25025 2501 sx 1564 EXEMPLO 3 Continuação Vamos calcular o erro e tcrit sx assim e 2797 1564 e 4375 Assim o Intervalo de Confiança será IC x e x e IC 178966 4375 178966 4375 IC 174591 183341 Portanto o verdadeira média de resistência das garrafas do lote deve estar no intervalo 174591 183341 com 99 de confiança EXEMPLO 4 O gerente de controle de qualidade de uma fábrica de lâmpadas de filamento precisa calcular a vida útil média de uma grande remessa de lâmpadas Uma amostra aleatória de 25 lâmpadas indicou uma vida útil média da amostra igual a 350 horas e desvio padrão de 100 horas Construa um intervalo de confiança de 99 para a média populacional Solução Sabemos que n 25 x 350 1 α 99 α 1 α 2 05 σ é desconhecido amostra pequena pop é normal gl 24 Dist t de Student t240005 tcrit 2797 EXEMPLO 4 Continuação Vamos calcular o erro e tcrit s n assim e 2797 100 25 e 55940 Assim o Intervalo de Confiança será IC x e x e IC 350 55940 350 55940 IC 29406 40594 Portanto a verdadeira vida média dos filamentos das lâmpadas deve estar no intervalo 29406 40594 com 99 de confiança z EXERCÍCIO De uma população normal cuja variância é desconhecida extraiu se uma amostra casual obtendose os seguintes valores 86 138 101 92 116 106 92 115 105 90 105 85 118 118 118 90 85 99 90 91 112 97 116 88 81 93 94 117 99 94 108 83 89 114 127 102 a construir um IC para µ ao nível de 1 baseando na distribuição t R 951686 1078314 b construir um IC para µ ao nível de 1 baseando na distribuição z R 955121 1074879 c comparar os resultados de a e b DISTRIBUIÇÃO t STUDENT FIM