Distribuição Normal: Conceitos e Exemplos Práticos

Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Distribuição Normal Uma variável aleatória contínua X tem distribuição normal de probabilidade se a sua função densidade de probabilidade for dada por 2 2 1 2 1 fx x e x para Distribuição Normal Gráfico de fx Características o ponto máximo de fx é o ponto Xµ os pontos de inflexão da função são Xµ e X µ a curva é simétrica em relação à µ EX µ e VARX 2 Obs Demonstrase que 1 2 1 2 2 1 dx e x Cálculo de probabilidade Utilizase a transformação em variável normalizada e consultase uma tabela relativode dificuldade grau 2 1 2 2 1 dx e b X a P b a X Variável normalizada ou reduzida Seja X Nµ2 X tem distribuição normal com média µ e variância 2 Definimos Z tem distribuição normal e é denominada variável normal reduzida ou normal padronizada ou variável normalizada EZ0 e VARZ1 Conclusão XNµ 2 ZN01 Z X Correspondências entre X e Z Exemplo Seja X N204 Achar os valores reduzidos correspondentes a a X114 b X216 c X318 d X420 e X522 f X624 g X726 Considerando que temos σ X μ Z 3 2 14 20 a Z 1 2 2 16 20 b Z 2 1 2 18 20 c Z 3 0 2 20 20 d Z 4 1 2 22 20 e Z 5 2 2 24 20 f Z 6 3 2 26 20 g Z 7 Representação Gráfica Conclusão Z indica quantos desvios padrões a variável X está afastada da média Exemplos 1 e 2 1 Seja X N100 25 Calcular a P100X106 Resp 0384930 b P89X107 Resp 090534 c P112X116 Resp 0007511 d PX108 Resp 0054799 2 Sendo X N5016 determine Xa tal que a PXXa005 Resp Xa5656 b PX Xa099 Resp Xa4068 Exemplo 3 3 Um fabricante de baterias sabe por experiência passada que as baterias de sua fabricação têm vida média de 600 dias e desvio padrão de 100 dias sendo que a duração tem aproximadamente distribuição normal Oferece uma garantia de 312 dias isto é troca as baterias que apresentarem falhas nesse período Fabrica 10000 baterias mensalmente Quantas deverá trocar pelo uso da garantia mensalmente Resp 20 baterias Resolução do Exemplo 3 3 Um fabricante de baterias sabe por experiência passada que as baterias de sua fabricação têm vida média de 600 dias e desvio padrão de 100 dias sendo que a duração tem aproximadamente distribuição normal Oferece uma garantia de 312 dias isto é troca as baterias que apresentarem falhas nesse período Fabrica 10000 baterias mensalmente Quantas deverá trocar pelo uso da garantia mensalmente Seja X a duração da bateria em dias I PX312 PZ 312600 100 PZ 288 05 0498012 0001988 II 10000 0001988 1988 20 Resposta 20 baterias Exemplo 4 4 Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média de 150000 km e desvio padrão de 5000 km a qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso dos fabricados por essa firma tenha um motor que dure menos de 170000 km Resp 0999968 b se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja de 02 Resp 135600 km Resolução do Exemplo 4 4 Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média de 150000 km e desvio padrão de 5000 km a qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso dos fabricados por essa firma tenha um motor que dure menos de 170000 km Resp 0999968 Seja X a duração do motor PX170000 PZ 170000150000 5000 PZ4 049996805 0999968 Resolução do Exemplo 4 b se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja de 02 Resp 135600 km Seja Xa a garantia Temos que PXXa0002 Procurando o valor de Z associado ao valor mais próximo de 0498 na tabela temos Z 288 negativo porque Xa está antes da média Logo como Z 𝑋𝑎𝜇 𝜎 temos 288 𝑋𝑎150000 5000 então Xa135600 Resp 135600 km Exercícios Para casa 1 Um fabricante de automóveis introduzirá um novo modelo no mercado Foi informado que esse novo modelo fará em média 8 quilômetros por litro na cidade com desvio padrão de 05 quilômetro por litro sendo esse desempenho normalmente distribuído Se um consumidor comprar esse novo modelo determine a probabilidade de ele fazer entre 6 e 7 quilômetros por litro na cidade Resp 0022718 2 Suponha que um fabricante de tintas tenha uma produção diária x normalmente distribuída com média de 100000 galões e desviopadrão de 10000 galões A direção quer criar um bônus de incentivo para a mão de obra da produção quando a produção diária exceder 90 da distribuição na esperança de que os trabalhadores se tornarão em retorno mais produtivos Em que nível de produção a direção deveria pagar o bônus de incentivo Resp a partir de 112800 galões Resolução dos exercícios 1 Um fabricante de automóveis introduzirá um novo modelo no mercado Foi informado que esse novo modelo fará em média 8 quilômetros por litro na cidade com desvio padrão de 05 quilômetro por litro sendo esse desempenho normalmente distribuído Se um consumidor comprar esse novo modelo determine a probabilidade de ele fazer entre 6 e 7 quilômetros por litro na cidade Resp 0022718 Resolução dos exercícios 2 Suponha que um fabricante de tintas tenha uma produção diária x normalmente distribuída com média de 100000 galões e desviopadrão de 10000 galões A direção quer criar um bônus de incentivo para a mão de obra da produção quando a produção diária exceder 90 da distribuição na esperança de que os trabalhadores se tornarão em retorno mais produtivos Em que nível de produção a direção deveria pagar o bônus de incentivo Resp a partir de 112800 galões Roteiro de Estudo Exercícios resolvidos páginas 146 a 157 10 e 11 Exercícios propostos páginas 157 a 160 15 16 17 18 19 e 20