Teoremas de Probabilidade e Anagramas

Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Teorema do Produto Eventos Independentes Teorema da Probabilidade Total Teorema de Bayes Teorema do Produto Sejam e Vimos que Neste caso Generalização do Teorema do Produto A B B PA PBA PAB ou PA B PB PA 0 sePB PB B PA PAB A A PA A A A PA PA A PA A P n 1 2 1 n 2 1 3 1 2 1 i 1 n i Eventos independentes Sejam e A e B são independentes se e somente se Neste caso se A e B são independentes então Generalização Se os eventos A1 A2 An são independentes então Obs Cuidado Se A e B forem mutuamente exclusivos então A e B são dependentes pois se A ocorre B não ocorre isto é a ocorrência de um evento condiciona a não ocorrência do outro A B PAe PAB PB PBA B PAPB PA A PA PA PA A PA n 2 1 n 2 1 Breve revisão de Permutação Exemplo 1 Determine todos os anagramas da palavra SOL Resp SOL SLO OLS OSL LOS e LSO 6 casos Nesta situação fizemos uma permutação simples de 3 letras Utilizando a fórmula de permutação simples temos que Pnn Logo P3 3 3216 Exemplo 2 Determine todos os anagramas da palavra AMA Resp AMA AAM e MAA 3 casos Nesta situação fizemos uma permutação com repetição Temos 𝑃𝑅21 3 𝟑 𝟐𝟏 𝟑𝟐𝟏 𝟐𝟏𝟏 3 Exemplos 1Uma urna contém 5 bolas brancas 4 vermelhas e 3 azuis Extraemse sucessivamente três bolas ao acaso e por um processo sem reposição Determine a probabilidade de que a nenhuma seja vermelha b exatamente uma seja vermelha c todas sejam de mesma cor Resp a 02545 b 05091 c00682 Exemplos 1Uma urna contém 5 bolas brancas 4 vermelhas e 3 azuis Extraemse sucessivamente três bolas ao acaso e por um processo sem reposição Determine a probabilidade de que RESOLUÇÃO a nenhuma seja vermelha Pത𝑉 ത𝑉 ത𝑉 8 12 7 11 6 10 02545 b exatamente uma seja vermelha PV ത𝑉 ത𝑉 𝑃𝑅12 3 4 12 8 11 7 10 3 05091 a todas sejam de mesma cor PV 𝑉 𝑉 𝑃𝐵 𝐵 𝐵 𝑃𝐴 𝐴 𝐴 4 12 3 11 2 10 5 12 4 11 3 10 3 12 2 11 1 10 00682 Exemplos 2 As probabilidades de 3 jogadores A B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são Se cada um cobrar uma única vez na ordem AB e C qual a probabilidade de a todos errarem b que pelo menos um marque gol Resp a 002 b 098 10 7 5 4 3 2 PA e P C P B Exemplos 2 As probabilidades de 3 jogadores A B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são Se cada um cobrar uma única vez na ordem AB e C qual a probabilidade de RESOLUÇÃO a todos errarem P ҧ𝐴 ത𝐵 ҧ𝐶 1 3 1 5 3 10 1 50 002 b que pelo menos um marque gol Pelo processo complementar PAUBUC1 P ҧ𝐴 ത𝐵 ҧ𝐶 1 1 50 49 50 098 10 7 5 4 3 2 PA e P C P B Exercícios 1 Da produção de peças de uma determinada máquina 10 são defeituosas Retiramse 5 peças da produção dessa máquina Qual a probabilidade de que a no máximo duas sejam boas R 000856 b pelo menos quatro sejam boas R 091854 c exatamente três sejam boas R 00729 d pelo menos uma seja defeituosa R 040951 Exercícios 2 Uma urna contém 5 bolas verdes 4 azuis e 5 brancas Retiram se ao acaso e sem reposição 4 bolas desta urna Qual a probabilidade de obter a exatamente 3 bolas azuis R 003996 b pelo menos uma bola verde R 08741 3 Uma caixa contém 6 lâmpadas de 40W 3 de 60W e 1 de 100W Retiramse 5 lâmpadas com reposição Qual a probabilidade de que saiam 3 de 40W 1 de 60W e 1 de 100W R 01296 Teorema da Probabilidade Total Sejam A1 A2 An eventos que formam uma partição do espaço amostral Seja B um evento deste espaço Então Exercício Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas Escolhese ao acaso uma urna e dela retirase também ao acaso uma bola Qual a probabilidade que seja branca Resp n 1 i i i PA PBA PB 30 PB 19 Teorema da Probabilidade Total Exercício Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas Escolhese ao acaso uma urna e dela retirase também ao acaso uma bola Qual a probabilidade que seja branca Resolução PB PIPBIPIIPBII PB1 2 3 5 1 2 4 6 PB 3 10 1 3 19 30 Teorema da Probabilidade Total Demonstração Sejam A1 A2 An eventos que formam uma partição do espaço amostral Seja B um evento deste espaço Note que PBPA1 BPA2B PAn B Mas sabemos que PA B PAPBA Logo PBPA1PBA1PA2PBA2 PAnPBAn Então n 1 i i i PA PBA PB Teorema de Bayes Esse teorema é considerado um dos pilares da probabilidade O Teorema de Bayes determina a probabilidade de um evento acontecer diante de um conhecimento prévio que pode estar relacionado a este evento Ele foi desenvolvido por Thomas Bayes no século XVIII e está presente nas mais diversas aplicações nas áreas de Engenharia Computação Medicina dentre outros Thomas Bayes Teorema de Bayes Sejam A1 A2 An eventos que formam uma partição de um espaço amostral Seja B um evento deste espaço amostral Sejam conhecidas PAi e PBAi i1n PAj B 𝑃𝐴𝑗𝐵 𝑃𝐵 Então n j P B A A P n i i i 1 PA PBA B PA 1 j j j Obs Note que o denominador é a fórmula da probabilidade total Exercícios 1 A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9 A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5 Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada Se o número é par qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A Resp 19 10 Exercícios 1 A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9 A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5 Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada Se o número é par qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A Resolução I Ppar PAparPB par PPar 1 2 4 9 1 2 2 5 2 9 1 5 109 45 19 45 II PApar PApar 𝑃𝑝𝑎𝑟 1 24 9 19 45 2 9 19 45 2 9 45 19 10 19 Exercícios 2 A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de da B é de e da C é de As probabilidades dos indivíduos comprarem um carro da marca x são dado que sejam de A B e C respectivamente Certa loja vendeu um carro da marca x Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B Resp 7 4 4 3 5 1 20 1 10 5 e 3 10 3 1 Exercícios 2 A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de 3 4 da B é de 1 5 e da C é de 1 20 As probabilidades dos indivíduos comprarem um carro da marca x são 1 10 3 5 e 3 10 dado que sejam de A B e C respectivamente Certa loja vendeu um carro da marca x Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B Resolução I PXPAXPBXPCX PX PAPXAPBPXBPCPXC PX 3 4 1 10 1 5 3 5 1 20 3 10 3 40 3 25 3 200 15243 200 42 200 21 100 II PBX PBX 𝑃𝑋 1 53 5 21 100 3 25 21 100 3 25 100 21 4 7 Exercícios 3 Uma caixa contém 3 moedas uma não viciada outra com 2 caras e uma terceira viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é de 02 Uma moeda é selecionada ao acaso da caixa Saiu cara Qual a probabilidade de que a terceira moeda tenha sido a selecionada Resp 17 2 Exercícios 3 Uma caixa contém 3 moedas uma não viciada outra com 2 caras e uma terceira viciada de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é de 02 Uma moeda é selecionada ao acaso da caixa Saiu cara Qual a probabilidade de que a terceira moeda tenha sido a selecionada Resolução I PcaraPM1cara PM2cara PM3cara I PcaraPM1PcaraM1PM2PcaraM2PM3PcaraM3 Pcara 1 3 1 2 1 3 1 1 3 1 5 1 6 1 3 1 15 5102 30 17 30 II PM3cara P𝑀3𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑃𝑐𝑎𝑟𝑎 1 31 5 17 30 1 15 17 30 1 15 30 17 2 17 Exercícios 4 Exercício de probabilidade total A urna A tem 8 bolas pretas e 2 verdes A urna B tem 4 pretas e 5 verdes e a urna C tem 2 verdes e 7 pretas Passase uma bola de A para B Feito isto passase uma bola de B para C A seguir retiram se duas bolas de C com reposição Qual a probabilidade de que ocorram duas bolas verdes Resp 0066 Exercícios 4 A urna A tem 8 bolas pretas e 2 verdes A urna B tem 4 pretas e 5 verdes e a urna C tem 2 verdes e 7 pretas Passase uma bola de A para B Feito isto passase uma bola de B para C A seguir retiramse duas bolas de C com reposição Qual a probabilidade de que ocorram duas bolas verdes Resolução Pduas verdes 8 10 5 10 2 10 2 10 8 10 5 10 3 10 3 10 2 10 4 10 2 10 2 10 2 10 6 10 3 10 3 10 0066 Exercícios 5 Uma empresa produz o produto X em 3 fábricas distintas A B e C A produção de A é 2 vezes a de B e a de C é 2 vezes a de B O produto X é armazenado em um depósito central As proporções de produção defeituosa são 5 de A 3 de B e 4 de C Retirase uma unidade de X do depósito e verificase que é defeituosa Qual a probabilidade de que tenha sido fabricada por B Resp 014286 Exercícios 5 Uma empresa produz o produto X em 3 fábricas distintas A B e C A produção de A é 2 vezes a de B e a de C é 2 vezes a de B O produto X é armazenado em um depósito central As proporções de produção defeituosa são 5 de A 3 de B e 4 de C Retirase uma unidade de X do depósito e verificase que é defeituosa Qual a probabilidade de que tenha sido fabricada por B IPAPBPC1 2xx2x1 logo x02 Então PA04 PB 02 e PC04 II Pdef0400502003040040042 III PBdef 02003 0042 014286 Roteiro de Estudo Exercícios do livrotexto verificar lista 1 de exercícios disponível no moodle