Fundamentos da Teoria da Probabilidade e seu Desenvolvimento Histórico

Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Espaço amostral e evento aleatório Probabilidade teoremas e cálculo Probabilidade da união Probabilidade condicional Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Aspectos históricos Introdução Vários matemáticos contribuíram para o desenvolvimento da teoria da probabilidade e para os avanços dos cálculos probabilísticos As primeiras considerações matemáticas de probabilidade que partiram do estudo de jogos e apostas ocorreram no século XVI Tais contribuições são atribuídas aos italianos Pacioli Cardano e Tartaglia Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 De forma breve destacamos alguns pontos principais da construção dessa área da Matemática Tratamento sistemático da matemática da probabilidade século XVI Representante principal Girolamo Cardano Liber de Ludo Aleae O livro dos jogos de azar Introdução Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Desenvolvimento da teoria das probabilidades Representantes principais Pierre de Fermat e Blaise Pascal Estudos que culminaram na fundamentação da Probabilidade foram desenvolvidos por diversos estudiosos nos séculos XVII XVIII e XIX Além de Blaise Pascal e Pierre de Fermat destacamse Jacob Bernoulli Pierre Simon Laplace Carl Friedrich Gauss e Lenis Poisson dentre outros Fermat Pascal Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Aplicação da teoria das probabilidades para desenvolver os métodos estatísticos no século XX Representantes principais Karl Pearson e Ronald Fisher Pearson Fisher Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Atualmente junção da Ciência da Computação com a Probabilidade e a Estatística Ciência de dados Ciência de dados é uma área interdisciplinar que utiliza diversas ferramentas e algoritmos para identificar padrões e insights a partir de dados brutos Fenômenos Determinísticos previsíveis Neste caso dadas as condições iniciais é possível prever a saída de um experimento com certeza Exemplos modelos físicos eletricidade mecânica cinemática Aleatórios não previsíveis Neste caso quando observado repetidamente sob as mesmas condições o fenômeno produz resultados diferentes Exemplo jogar uma moeda repetidamente e observar a face de cima Experimentos aleatórios produzidos pelo homem Exemplos lançamento de uma moeda honesta lançamento de um dado lançamento de duas moedas retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas verificação do tempo de vida útil de um componente eletrônico Espaço amostral e evento aleatório Espaço amostral de um experimento aleatório Conjunto dos resultados do experimento Indicação Ω Pontos amostrais Elementos de um espaço amostral Evento aleatório Qualquer subconjunto do espaço amostral Exemplo 1 Lançamento de um dado honesto com faces numeradas de 1 a 6 Espaço amostral Ω 123456 Evento A saída de um número par A246 Evento B saída de um número maior do que 7 B Evento C saída de um número menor do que 7 C123456 ou C Ω Exemplo 2 Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas Obs Em um baralho há 4 naipes Ouros o Paus p Copas c e Espadas e e 13 cartas de cada naipe A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 valete V dama D e rei R Espaço amostral Ω Ao2oRo Ap2pRp Ac 2cRc Ae 2eRe Evento A saída de uma carta de copas AAc 2c 3c 4c 5c 6c 7c 8c 9c 10c Vc Dc Rc Evento B saída de um rei BRo Rp Rc Re Função de Probabilidade Definição É a função P que associa a cada evento da classe de eventos aleatórios indicada por FΩ um único número real pertencente ao intervalo 01 satisfazendo aos axiomas PΩ 1 PAUB PA PB se A e B forem mutuamente exclusivos PA1U A2U UAn PA1PA2 PAn se A1A2 An forem dois a dois mutuamente exclusivos Teoremas principais Se os eventos A1 A2 An formam uma partição do espaço amostral então Se é o evento impossível então P 0 Para todo evento é o complementar de A Sejam e Então Para e temos que n i iA P 1 1 A 1 P A P A A A B B PA PB PA PAUB A B PB PA PAUB Eventos equiprováveis Considere o espaço amostral Ω e1 e2 en associado a um experimento aleatório Denominaremos Peipi i1 n Temos que Os eventos ei i1 n são equiprováveis quando Pe1Pe2Penp Neste caso logo np1 e portanto n i n i i i p e P 1 1 1 1 1 n i p n p 1 Cálculo da probabilidade de um evento Definição Seja A Ω Suponhamos que A tenha k pontos amostrais ou seja Ae1 e2 ek 1kn Neste caso n k k n k p p P e A P k i k i i 1 1 1 sendo k o número de casos favoráveis e n o número de casos possíveis Exercícios 1 Lançase um dado honesto com faces numeradas de 1 a 6 Determine a o espaço amostral b a probabilidade de sair a face com o número 4 Resp 1 6 c a probabilidade de sair uma face com um número par Resp 1 2 d a probabilidade de sair uma face com um número menor ou igual a 4 Resp 2 3 a a probabilidade de sair uma face com um número maior que 6 Resp 0 b a probabilidade de sair uma face com um número menor ou igual a 6 Resp 1 a a probabilidade de sair uma face par ou uma face com número menor ou igual a 4 Resp 5 6 Exercícios 2 O seguinte grupo de pessoas está numa sala 5 rapazes com mais de 21 anos 4 rapazes com menos de 21 anos 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre as 18 Determine a probabilidade de a sair uma mulher Resp 1 2 b sair uma mulher com menos de 21 anos Resp 1 6 c sair uma pessoa com mais de 21 anos Resp 11 18 Situação Exercícios 3 Seja um baralho comum de 52 cartas Retirase uma carta ao acaso Calcule a probabilidade de a sair um rei Resp 1 13 b sair uma carta de copas Resp 1 4 c sair uma dama de copas Resp 1 52 d sair um rei ou uma carta de copas Resp 4 13 Exercícios 4 Lançamse dois dados honestos com faces numeradas de 1 a 6 Resultados possíveis Determine a probabilidade de a obter dois números pares b obter dois números primos c obter dois números com soma igual a 10 d obter dois números com soma menor do que 2 e obter dois números com soma menor do que 15 f obter dois números pares ou dois números primos Exercícios 5 Em uma cidade onde se publicam três jornais A B e C constatouse que entre 1000 famílias assinam A 470 B 420 C315 A e B 110 A e C 220 B e C 140 e 75 assinam os três Escolhendose ao acaso uma família qual a probabilidade de que ela a não assine qualquer um dos três jornais b assine apenas um dos três jornais c assine pelo menos dois jornais Exercícios 6 Em uma prova caíram dois problemas Sabese que 132 alunos acertaram o primeiro 86 erraram o segundo 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema Qual a probabilidade de que um aluno escolhido ao acaso não tenha acertado nenhum problema Resolução Como 120 acertaram os dois temos que 12 acertaram só o primeiro Como 54 acertaram apenas um e 12 acertaram só o primeiro temos que 42 acertaram só o segundo Como 86 erraram o segundo e 12 acertaram só o primeiro temos que 74 erraram os dois Logo PA 74 121204274 74 248 37 124 Sejam e Definimos a probabilidade condicional de A dado que B ocorre por A probabilidade condicional de B dado que A ocorre é indicada por Probabilidade condicional A B 0 sePB PB B PA PAB 0 sePA PA A PB PBA Exercícios 1 Num certo colégio 30 homens e 20 mulheres têm mais de 165m de altura Sabendo que no total há 120 mulheres e 80 homens determine a probabilidade de ao sortear ao acaso uma pessoa deste grupo obtermos a um homem sabendo que a pessoa sorteada tem mais de 165 m de altura b uma pessoa com mais de 165 m de altura sabendo que a pessoa sorteada é homem c uma mulher sabendo que a pessoa sorteada tem altura menor ou igual a 165 m d uma pessoa com altura menor ou igual a 165 m sabendo que a pessoa sorteada é uma mulher Exercícios 1 Num certo colégio 30 homens e 20 mulheres têm mais de 165m de altura Sabendo que no total há 120 mulheres e 80 homens determine a probabilidade de ao sortear ao acaso uma pessoa deste grupo obtermos a um homem sabendo que a pessoa sorteada tem mais de 165 m de altura PHA 𝑃𝐻𝐴 𝑃𝐴 30 200 50 200 3 5 b uma pessoa com mais de 165 m de altura sabendo que a pessoa sorteada é homem PAH 𝑃𝐴𝐻 𝑃𝐻 30 200 80 200 3 8 c uma mulher sabendo que a pessoa sorteada tem altura menor ou igual a 165 m Resp PMB 2 3 d uma pessoa com altura menor ou igual a 165 m sabendo que a pessoa sorteada é uma mulher Resp PBM 5 6 Exercícios 2 Num supermercado há 2000 lâmpadas provenientes de 3 fábricas distintas X Y e Z X produziu 500 das quais 400 são boas Y produziu 700 das quais 600 são boas e Z as restantes das quais 500 são boas Se sortearmos ao acaso uma das lâmpadas desse supermercado qual a probabilidade de que ela a seja boa b seja fabricada pela fábrica X sabendo que a lâmpada sorteada é defeituosa c seja defeituosa sabendo que foi fabricada pela empresa X Exercícios 2 Resolução Num supermercado há 2000 lâmpadas provenientes de 3 fábricas distintas X Y e Z X produziu 500 das quais 400 são boas Y produziu 700 das quais 600 são boas e Z as restantes das quais 500 são boas Se sortearmos ao acaso uma das lâmpadas desse supermercado qual a probabilidade de que ela a seja boa Resp PB 1500 2000 3 4 b seja fabricada pela fábrica X sabendo que a lâmpada sorteada é defeituosa Resp PXD 1 5 a seja defeituosa sabendo que foi fabricada pela empresa X Resp PDX 1 5 Exercícios 12calcular PAB 11 4 e PAUB 3 3 PB 1 PA 3 Sendo Exercícios Resolução 12calcular PAB 11 4 e PAUB 3 3 PB 1 PA 3 Sendo I PAUBPAPBPAB 11 12 1 3 3 4 𝑃𝐴𝐵 PAB 11 12 1 3 3 4 Logo PAB 2 12 1 6 II PABPAB 𝑃𝐵 1 6 3 4 2 9 Exercícios Para casa 1 Dois dados perfeitos são lançados Sabendo que ocorreram faces diferentes determine a probabilidade de que a soma das faces seja igual a 10 Resp 115 2 Sejam A e B dois eventos tais que PAB02 Sabese que a probabilidade do complementar de A é igual a 052 e que PA16PB Determine PAUB Resp0504 Obs Lembrar que Capítulo 2 páginas 39 a 42 Exercícios 2b 4a 26 31 verificar lista 1 de exercícios 1 P A P A