Distribuição Conjunta de Probabilidades e Cálculo de Probabilidades Condicionais

Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Função de probabilidade conjunta Distribuições marginais de probabilidades Distribuições condicionais Variáveis aleatórias independentes Distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias Função de probabilidade conjunta Seja X uma variável aleatória que assume os valores x1 x2 xm e Y uma variável aleatória que assume os valores y1 y2 yn A função de probabilidade conjunta associa a cada par xiyj i1m e j1 n a probabilidade Damos o nome de distribuição conjunta de probabilidades da variável bidimensional XY ao conjunto xiyj pxi yj i1m e j1 n px y y x Y PX j i j i Distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias Exemplo Considere X a variável salário mil reais de 10 funcionários de uma empresa e Y a variável tempo de serviço em anos destes funcionários Distribuição conjunta de probabilidade Distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias Avaliando a tabela construída determine aa probabilidade de o salário ser de 4 mil reais e o tempo de serviço de 6 anos Resp PX4Y6 aa probabilidade de o salário ser de 8 mil reais e o tempo de serviço de 5 anos Resp PX8Y5 2 10 10 1 Distribuições marginais de probabilidades Com base no exemplo construído determine as distribuições marginais de X e Y Calcule o salário médio EX e o tempo médio de serviço EY Distribuição marginal de X e EX R O salário médio dos funcionários é de R770000 e o tempo médio de serviço é de 5 anos Distribuição marginal de Y e EY Probabilidades condicionais Com base no exemplo construído vamos determinar as probabilidades condicionais Ex Calcule PX8Y4 ou seja a probabilidade de o salário ser de 8 mil reais sabendo que o tempo de serviço é de 4 anos Lembrar que PAB 𝑃𝐴𝐵 𝑃𝐵 PX8Y4 𝑃𝑋8𝑌4 𝑃𝑌4 1 10 3 10 1 3 Exercícios Calcule a PX12Y6 Resp 1 3 b PY5X7 Resp 1 3 c PY6X12 Resp 1 2 Probabilidades condicionais Com base no exemplo construído vamos determinar as probabilidades condicionais Resolução a PX12Y6 𝑃𝑋12𝑌6 𝑃𝑌6 1 10 3 10 1 3 Probabilidades condicionais Com base no exemplo construído vamos determinar as probabilidades condicionais Resolução b PY5X7 𝑃𝑌5𝑋7 𝑃𝑋7 1 10 3 10 1 3 Probabilidades condicionais Com base no exemplo construído vamos determinar as probabilidades condicionais Resolução c PY6X12 𝑃𝑌6𝑋12 𝑃𝑋12 1 10 2 10 1 2 Distribuições condicionais Com base no exemplo vamos determinar as seguintes distribuições condicionais Exemplo Determine EXY5 ou seja a média salarial sabendo que o tempo de serviço é de 5 anos na empresa Já sabemos que X pode valer 478 ou 12 Vamos determinar as probabilidades condicionais PX4Y5 𝑃𝑋4𝑌5 𝑃𝑌5 0 4 10 0 PX7Y5 𝑃𝑋7𝑌5 𝑃𝑌5 1 10 4 10 1 4 PX8Y5 𝑃𝑋8𝑌5 𝑃𝑌5 2 10 4 10 2 4 PX12Y5 𝑃𝑋12𝑌5 𝑃𝑌5 1 10 4 10 1 4 Distribuições condicionais Construindo a distribuição temos Logo EXY58750 reais ou seja a média salarial sabendo que o tempo de serviço é de 5 anos é igual a 8750 reais X PXY5 XPXY5 4 0 0 7 1 4 7 4 8 2 4 16 4 12 1 4 12 4 1 35 4 875 Exercícios Partindo do mesmo exemplo determine EXY4 ou seja a média salarial sabendo que os funcionários têm 4 anos na empresa Resp 193 aproximadamente 6333 reais Exercícios EXY4 Resolução Note que EX7700 reais EXY58750 reais EXY46333 reais Exercícios Partindo do mesmo exemplo determine EYX8 ou seja a média do tempo de serviço sabendo que o salário é de 8000 reais Resp 143 aproximadamente 47 anos Exercícios EYX8 Resolução EYX8 143 aproximadamente 47 anos Variáveis aleatórias independentes As variáveis X e Y são independentes se e somente se PXxi YyjPXxiPYyj para todo par xiyj i12 m e j12n Avalie se no exemplo anterior as variáveis X e Y são independentes Logo PX4Y6 PX4PY6 Resp Não pois por exemplo PX4Y6 e PX4PY6 10 1 100 6 10 10 3 2 Variáveis aleatórias independentes Avalie se as variáveis X e Y são independentes no exemplo seguinte Lembrar que para serem independentes PXxi YyjPXxiPYyj para todo par xiyj i12 m e j12n PX1Y3 PX1PY3 pois 008 0402 PX1Y4 PX1PY4 pois 032 0408 PX2Y3 PX2PY3 pois 012 0602 PX2Y4 PX2PY4 pois 048 0608 Logo X e Y são independentes Uma regra prática para verificar a independência é analisar se o produto dos extremos resulta no valor do encontro para todos os pares da distribuição X Y 3 4 PX 1 008 032 04 2 012 048 06 PY 02 08 1 Variáveis aleatórias independentes Lembrar que as variáveis X e Y são independentes se e somente se PXxi YyjPXxiPYyj para todo par xiyj i12 m e j12n Exercício Preencha a tabela sabendo que X e Y são independentes Y X 0 1 2 PX 0 006 02 1 015 005 2 PY 03 Variáveis aleatórias independentes PX1Y0PX1 PY0 logo 015PX103 então PX105 PX0PX1PX2 1 logo 0205PX21 então PX203 PX1Y2PX1PY2 logo 00505 PY2 então PY201 PY0PY1PY21 logo 03PY101 1 então PY106 Y X 0 1 2 PX 0 006 02 1 015 005 05 2 03 PY 03 06 01 1 Variáveis aleatórias independentes Para preencher o restante basta lembrar que quando são independentes o produto dos extremos da tabela é igual ao resultado do valor do encontro Y X 0 1 2 PX 0 006 012 002 02 1 015 030 005 05 2 009 018 003 03 PY 03 06 01 1 Exercícios Considere a distribuição conjunta de X e Y Sabendo que X e Y são independentes complete a tabela X Y 3 4 PX 1 2 06 PY 02 Exercícios 1 Considere a distribuição conjunta de X e Y Sabendo que X e Y são independentes complete a tabela Resolução X Y 3 4 PX 1 008 032 04 2 012 048 06 PY 02 08 1 Exercício 2 Considere a seguinte tabela de distribuição de probabilidades Calcule a EXY2 b VARXY2 c XY2 d X e Y são independentes