Variáveis Aleatórias: Discretas e Contínuas em Estatística Básica

Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Variáveis aleatórias Variável aleatória Uma variável aleatória X representa um valor numérico associado a cada resultado de um experimento de probabilidade A palavra aleatória indica que X é determinada pelo acaso Há dois tipos de variáveis aleatórias discreta e contínua Variáveis aleatórias Variável aleatória discreta Uma variável aleatória é discreta se ela tem um número finito ou contável de possíveis resultados a serem listados Exemplos a número de ocorrências da face cara no lançamento de três moedas b número de lâmpadas queimadas em um lote de 30 lâmpadas c número de carros que passam por um cruzamento por minuto durante certa hora do dia d número de ligações que um vendedor faz em um dia Observe que quando uma variável aleatória é discreta é possível listar os valores possíveis que ela pode assumir Variáveis aleatórias Variável aleatória contínua Uma variável aleatória é contínua se ela tem um número incontável de possíveis resultados representados por um intervalo na reta numérica Exemplos a tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima b diâmetro de um cabo elétrico c peso de um indivíduo d tempo diário em horas que um vendedor passa fazendo ligações Distribuição de probabilidades Variável aleatória discreta Definições a Variável aleatória função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único número real b Função de probabilidade função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente ou seja PXxi PAi i12n c Distribuição de probabilidade da variável X Conjunto xi pxi i1n onde n 1 i i 1 px Exemplo Caso discreto Experimento lançamento de três moedas Considerando c cara e r coroa Ω ccc ccr crc rcc crr rcr rrc rrr Variável aleatória X número de ocorrências da face cara X Evento Correspondente 0 rrr 1 crr rcr rrc 2 ccr rcc crc 3 ccc Distribuição de probabilidade Representações a Tabela b Gráfico X PX 0 1 2 3 1 8 1 8 3 8 3 8 1 Parâmetros de uma distribuição Esperança matemática ou média 𝐸 𝑥 σ𝑖1 𝑛 𝑋𝑖𝑃𝑋𝑖 O fato de conhecermos a média de uma distribuição é insuficiente para definirmos a distribuição Por exemplo vamos considerar que o Aluno A tirou as notas 546 e 5 e o Aluno B tirou as notas 192 e 8 Calculando a média aritmética das notas do Aluno A obtémse EXA 5465 4 5 e fazendo o mesmo para o aluno B obtémse EXB 1928 4 5 Apesar de apresentarem a mesma média notamos que os comportamentos das notas dos dois alunos são bem distintos Para analisar o grau de dispersão de probabilidades em torno da média definimos outro parâmetro de medida denominado variância Parâmetros de uma distribuição Variância medida que fornece o grau de dispersão ou de concentração de probabilidade em torno da média Observação Quanto menor a variância menor é o grau de dispersão de probabilidades em torno da média VARX 2 σ𝑖1 𝑛 𝑋𝑖 𝐸 𝑋 2PXi Desviopadrão VARX Parâmetros de uma distribuição Vamos calcular as variâncias das notas dos alunos A e B I Aluno A X PX XPX XEX XEX2 XEX2PX 5 025 125 0 0 0 4 025 1 1 1 025 6 025 15 1 1 025 5 025 125 0 0 0 1 EX5 05 Logo EX5 VARX05 e X 05 07 Parâmetros de uma distribuição II Aluno B X PX XPX XEX XEX2 XEX2PX 1 025 025 4 16 4 9 025 225 4 16 4 2 025 05 3 9 225 8 025 200 3 9 225 1 EX5 125 Logo EX5 VARX125 e X 125 354 Observe que o resultado da variância das notas do aluno B foi superior ao resultado encontrado para o Aluno A Parâmetros de uma distribuição Do ponto de vista operacional quando se trabalha com um grande número de dados vale a pena utilizar outra fórmula para a variância equivalente ao processo realizado anteriormente dada por VARXEX2 EX2 Distribuição de probabilidade Esperança Matemática Variância 2 VARXEX2EX2 ou n i i i x p x X E 1 2 1 1 2 VARX n i i i n i i i x p x p x x Desviopadrão VARX Exemplos 1 Dada a distribuição de probabilidade determine o valor de a EX VARX e x X PX 0 02 1 01 2 01 3 a 4 03 1 Resp a03 EX24 VARX224 e x14967 Exercícios 2 O número X de mensagens enviadas por hora através de uma rede de computadores tem a seguinte distribuição X assume os valores 10 12 15 20 com probabilidades 01 03 05 01 respectivamente Determine a esperança e o desviopadrão de X Resp EX141 e X 262 Exercícios 2 O número X de mensagens enviadas por hora através de uma rede de computadores tem a seguinte distribuição X assume os valores 10 12 15 20 com probabilidades 01 03 05 01 respectivamente Determine a esperança e o desviopadrão de X Exercícios 3 Num jogo de dados A paga R2000 a B e lança 3 dados Se sair face 1 em um dos dados apenas A ganha R2000 Se sair face 1 em dois dados apenas A ganha R5000 e se sair 1 nos três dados A ganha R8000 Calcular o lucro líquido médio de A em uma jogada Resp EX921 Propriedades Principais Exercício Seja X uma variável aleatória discreta Se EX5 EY4 e VarX2 determine a E3X bE3 cEXY d Var3X eVar3 Esperança Matemática Variância 1 Ekk k constante 1 VARk0 k constante 2 EkXkEX k constante 2 VARkXk2VARX 3 EXYEXEY 3 VARaXba2VARX a e b constantes 4 EXYEXEY 5 EX1X2XnEX1EX2EXn 6 EaXbaEXb a e b constantes 7 EXµx0 Exercícios Exercício Seja X uma variável aleatória discreta Se EX5 EY4 e VarX2 determine a E3X bE3 cEXY d Var3X eVar3 Resolução a E3X 3EX 3 5 15 b E3 3 c EXY EX EY 549 d VAR3X 9VARX 9218 e VAR3 0 Exercícios 1 Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas 3 bolas são retiradas com reposição Seja X o número de bolas brancas Construir a distribuição de X e calcular EX Resp EX12 2 Uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais do que a face coroa quando lançada Esta moeda é lançada 4 vezes Seja X o número de caras que aparece Determine a distribuição de X EX e VARX Resp EX32 e VARX064 Roteiro de Estudo Tema 3 verificar lista 2 no moodle Do livro texto exercícios propostos das páginas 86 e 87 1 2 3 4 5 6 7 8 12 e 13 Obs são os mesmos da lista 2 disponível no Moodle