Distribuição Binomial e Exercícios de Probabilidade

Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Modelos discretos Binomial Poisson Exemplos de distribuições teóricas de probabilidades 1 Modelos discretos a Distribuição Binomial b Distribuição de Poisson 2 Modelos contínuos a Distribuição Uniforme b Distribuição Exponencial c Distribuição Normal Distribuição Binomial Introdução Há muitos experimentos de probabilidade para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a duas ocorrências sucesso ou fracasso Exemplos Quando um jogador de basquete faz um lance livre ele pode fazer a cesta ou não Equipamentos fabricados por uma empresa podem ter defeito ou não Distribuição Binomial Um experimento binomial tem as seguintes características São realizadas n tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório Cada tentativa admite apenas dois resultados sucesso ou fracasso A probabilidade de sucesso será indicada por p e a de fracasso por q sendo que pq1 As probabilidades de sucesso e fracasso são as mesmas para cada tentativa Distribuição Binomial Sendo a variável aleatória X o número de sucessos em n tentativas temse que PXk 𝑛 𝑘 𝑝𝑘𝑞𝑛𝑘 Neste caso X contabiliza o número de tentativas com sucesso Indicação a variável X tem distribuição binomial com parâmetros n e p ou seja X Bnp A média é dada por EX np e a variância é dada por VARX npq Exercícios Distribuição Binomial 1 A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é de 02 Se ele lança 30 flechas no alvo qual a probabilidade de que a exatamente 4 acertem o alvo Resp 01325 b pelo menos 3 acertem o alvo Resp 09558 Exercícios Distribuição Binomial 1 A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é de 02 Se ele lança 30 flechas no alvo qual a probabilidade de que a exatamente 4 acertem o alvo Resp 01325 Sendo X o número de acertos PX4 𝟑𝟎 𝟒 𝟎 𝟐𝟒𝟎 𝟖𝟐𝟔 01325 b pelo menos 3 acertem o alvo Resp 09558 PX3 1 PX3 PX3 1 PX0 PX1 PX2 PX3 1 𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟖𝟑𝟎 𝟑𝟎 𝟏 𝟎 𝟐𝟏𝟎 𝟖𝟐𝟗 𝟑𝟎 𝟐 𝟎 𝟐𝟐𝟎 𝟖𝟐𝟖 PX3 09558 Exercícios Distribuição Binomial 2 Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes Cada questão tem 5 alternativas sendo apenas uma correta Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões na base do chute qual a probabilidade de acertar metade das questões Resp 00000016 Exercícios Distribuição Binomial 2 Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes Cada questão tem 5 alternativas sendo apenas uma correta Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões na base do chute qual a probabilidade de acertar metade das questões Resp 00000016 Sendo X o número de acertos PX25 𝟓𝟎 𝟐𝟓 𝟎 𝟐𝟐𝟓𝟎 𝟖𝟐𝟓 00000016 Exercícios Distribuição Binomial 3 Um lote de aparelhos de TV é recebido por uma firma Vinte aparelhos são inspecionados O lote é rejeitado se pelo menos 4 forem defeituosos Sabendo se que 1 dos aparelhos é defeituoso determine a probabilidade de a firma rejeitar todo o lote Utilize o modelo Binomial Resp 000004 Exercícios Distribuição Binomial 3 Um lote de aparelhos de TV é recebido por uma firma Vinte aparelhos são inspecionados O lote é rejeitado se pelo menos 4 forem defeituosos Sabendo se que 1 dos aparelhos é defeituoso determine a probabilidade de a firma rejeitar todo o lote Utilize o modelo binomial Resp 000004 Sendo X o número de aparelhos defeituosos PX4 1 PX4 PX4 1 PX0 PX1 PX2 PX3 PX4 1 𝟐𝟎 𝟎 𝟎 𝟎𝟏𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟏 𝟎 𝟎𝟏𝟏𝟎 𝟗𝟗𝟏𝟗 𝟐𝟎 𝟐 𝟎 𝟎𝟏𝟐𝟎 𝟗𝟗𝟏𝟖 𝟐𝟎 𝟑 𝟎 𝟎𝟏𝟑𝟎 𝟗𝟗𝟏𝟕 000004 Exercícios Distribuição Binomial 4 Achar a média e a variância da variável aleatória X sabendo que a mesma tem distribuição binomial de parâmetros 20 e 03 ou seja X B20 03 Resp EX6 e VARX42 Obs Como estamos trabalhando com uma distribuição Binomial temos que EXnp e VARXnpq Exercícios Distribuição Binomial 4 Achar a média e a variância da variável aleatória X sabendo que a mesma tem distribuição binomial de parâmetros 20 e 03 ou seja X B20 03 Resp EX6 e VARX42 Resolução EXnp 20 03 6 VARX npq 20 03 07 42 Exercícios Distribuição Binomial 5 Vinte por cento dos refrigeradores produzidos por uma empresa são defeituosos Os aparelhos são vendidos em grandes lotes Um comprador adotou o seguinte procedimento de cada lote ele testa 20 aparelhos e se houver pelo menos 2 defeituosos o lote é rejeitado Admitindose que o comprador tenha aceitado o lote qual a probabilidade de ter observado exatamente um aparelho defeituoso Resp 0833 Exercícios Distribuição Binomial 5 Vinte por cento dos refrigeradores produzidos por uma empresa são defeituosos Os aparelhos são vendidos em grandes lotes Um comprador adotou o seguinte procedimento de cada lote ele testa 20 aparelhos e se houver pelo menos 2 defeituosos o lote é rejeitado Admitindose que o comprador tenha aceitado o lote qual a probabilidade de ter observado exatamente um aparelho defeituoso 1 Paceitar o lote PX2 P aceitar o lote PX0 PX1 Paceitar o lote 𝟐𝟎 𝟎 𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝟖𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟏 𝟎 𝟐𝟏𝟎 𝟖𝟏𝟗 00692 2 PX1 aceitou o lote 𝟐𝟎 𝟏 𝟎𝟐𝟏𝟎𝟖𝟏𝟗 00692 0833 Distribuição Binomial Representação gráfica de uma distribuição Binomial Considere o exemplo a seguir Cinquenta e nove por cento das casas de uma região assinam TV a cabo São selecionadas de forma aleatória seis casas dessa região Seja X a variável aleatória representada pelo número de casas que assinam TV a cabo X binomial Calculando todas as probabilidades considerando n6 p059 e q041 obteremos a seguinte distribuição de probabilidades de X X PX 0 0005 1 0041 2 0148 3 0283 4 0306 5 0176 6 0042 Distribuição Binomial Gráfico X PX 0 0005 1 0041 2 0148 3 0283 4 0306 5 0176 6 0042 O gráfico da distribuição é dado por Distribuição Binomial Gráfico Normalmente construímos um histograma a partir dos pontos Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade aplicável a ocorrências de um número de eventos em um intervalo específico A distribuição foi criada por Siméon Denis Poisson e publicada juntamente com sua teoria de probabilidade no ano de 1838 Poisson Distribuição de Poisson Características da distribuição Consideraremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em certo intervalo Esse intervalo pode ser por exemplo de tempo de área ou de volume A probabilidade de o evento acontecer é a mesma para cada intervalo O número de ocorrências em um intervalo é independente do número de ocorrências em outro intervalo Distribuição de Poisson Sendo X o número de sucessos no intervalo temse onde λ é a média de ocorrências no intervalo desejado EX λ e VARX λ Para resolver um exercício desta distribuição temos que a determinar λ ou seja a média esperada dentro do intervalo indicado no exercício b determinar k número de ocorrências desejadas no intervalo k e k X P k Distribuição de Poisson Exemplos de aplicações Aplicações na distribuição do número de carros que passam por um cruzamento por minuto durante certa hora do dia erros tipográficos por página em um material impresso defeitos por unidade m2 m3 etc por peça fabricada clientes que chegam ao caixa de um supermercado em certo período de tempo acidentes com automóveis em uma determinada estrada requisições para um servidor em um intervalo de tempo Exercícios Distribuição de Poisson 1 Uma firma recebe 720 mensagens de whatsapp em 8 horas de funcionamento Considerando que o número de mensagens segue uma distribuição de Poisson qual a probabilidade de que a em 4 minutos não receba mensagem Resp 0002479 b em 6 minutos receba pelo menos 4 mensagens Resp 0978774 Exercícios Distribuição de Poisson 1 Uma firma recebe 720 mensagens de whatsapp em 8 horas de funcionamento Qual a probabilidade de que aem 4 minutos não receba mensagem Resp 0002479 bem 6 minutos receba pelo menos 4 mensagens Resp 0978774 Resolução a Lembrar que 1 hora 60 minutos Se há 720 mensagens em 480 minutos 8x60 então em 4 minutos são esperadas 𝟒𝟕𝟐𝟎 𝟒𝟖𝟎 6 mensagens PX0 𝒆𝟔𝟔𝟎 𝟎 0002479 sendo X o número de mensagens recebidas b Se há 720 mensagens em 480 minutos então em 6 minutos são esperadas 𝟔𝟕𝟐𝟎 𝟒𝟖𝟎 9 mensagens PX4 1 PX0 PX1 PX2 PX3 PX4 1 𝒆𝟗𝟗𝟎 𝟎 𝒆𝟗𝟗𝟏 𝟏 𝒆𝟗𝟗𝟐 𝟐 𝒆𝟗𝟗𝟑 𝟑 0978774 Exercícios Distribuição de Poisson 2 Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão Considerando o modelo de Poisson qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos um erro Resp 063212 Exercícios Distribuição de Poisson 2 Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão Considerando o modelo de Poisson qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos um erro Resp 063212 Resolução Se em 800 páginas há 800 erros então em uma página esperase 1 erro PX1 1 PX1 PX1 1 PX0 PX1 1 𝒆𝟏𝟏𝟎 𝟎 063212 Exercícios Distribuição de Poisson 3 Em uma estrada há 2 acidentes para cada 100 km Considerando o modelo de Poisson qual a probabilidade de que em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes Resp 0875348 Exercícios Distribuição de Poisson 3 Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km Considerando o modelo de Poisson qual a probabilidade de que em 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes Resp 0875348 Resolução Se há 2 acidentes para cada 100 km em 250 km são esperados 𝟐𝟓𝟎𝟐 𝟏𝟎𝟎 5 acidentes PX3 1 PX3 PX3 1 PX0 PX1 PX2 PX3 1 𝒆𝟓𝟓𝟎 𝟎 𝒆𝟓𝟓𝟏 𝟏 𝒆𝟓𝟓𝟐 𝟐 0875348 Exercícios Distribuição de Poisson 4 A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas 2 se queimam ao serem ligadas Considerando o modelo de Poisson qual a probabilidade de que numa instalação de 900 lâmpadas exatamente 8 se queimem Resp 0046330 Exercícios Distribuição de Poisson 4 A experiência mostra que de cada 400 lâmpadas 2 se queimam ao serem ligadas Considerando o modelo de Poisson qual a probabilidade de que numa instalação de 900 lâmpadas exatamente 8 se queimem Resp 004633 Resolução Se em 400 lâmpadas 2 se queimam então em 900 lâmpadas 𝟗𝟎𝟎𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟒 𝟓 PX8 𝒆𝟒𝟓𝟒𝟓𝟖 𝟖 004633 Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição de Poisson No uso da Binomial quando n maior que o maior valor tabelado no caso n30 e p 0 p 01 é possível fazer uma aproximação da Binomial pela distribuição de Poisson Neste caso EXnp será tomada como λ np e em seguida utilizase a fórmula de Poisson Aproximação da Binomial por Poisson Seja X B200 001 Calcular PX10 a pela Binomial Resp 0000033 b por aproximação por Poisson Resp 0000038 Aproximação da Binomial por Poisson Seja X B200 001 Calcular PX10 Resolução a pela Binomial Resp 0000033 PX10 𝟐𝟎𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟎𝟏𝟏𝟎 𝟎 𝟗𝟗𝟏𝟗𝟎 0000033 a por aproximação por Poisson Resp 0000038 np 200 001 2 PX10 𝒆𝟐𝟐𝟏𝟎 𝟏𝟎 0000038 Roteiro de Estudo Verificar lista 5 no Moodle