Intervalos de Confianca - IC - Media e Proporcao Populacional

IC para a média de uma população IC para a proporção de uma população Fonte MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 Todos os direitos reservados Reprodução e divulgação total ou parcial deste documento são expressamente proibidas sem o consentimento formal por escrito da professora autora Você já deve ter visto frases do tipo O candidato X tem 38 das intenções de voto A margem de erro é de dois pontos percentuais para mais ou para menos com 95 de confiança Temos 96 de confiança em afirmar que a duração média das lâmpadas da empresa X está entre 980 e 1020 horas Essas frases contêm a ideia do conteúdo que estudaremos agora denominado Intervalos de Confiança DISCUSSÃO INICIAL INFERÊNCIA ESTATÍSTICA Conjunto de técnicas e procedimentos que permitem dar ao pesquisador um grau de confiabilidade nas afirmações que faz para a população baseadas nos resultados das amostras Problema fundamental da inferência estatística Medir o grau de incerteza dessas generalizações Toda conclusão obtida por uma amostragem quando generalizada para a população virá acompanhada de um grau de incerteza ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS Temos dois tipos de estimação por ponto ou por intervalo Estimação por ponto a partir de observações obtidas na amostra calculase uma estimativa usando o estimador Por exemplo ҧ𝑥 é um estimador de Estimação por intervalo estabelece limites que com certa probabilidade incluam o verdadeiro valor do parâmetro da população Usando uma estimativa pontual e a margem de erro podese construir uma estimativa intervalar de um parâmetro populacional denominada intervalo de confiança IC PARA A MÉDIA POPULACIONAL Lembrar que IC PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM VARIÂNCIA POPULACIONAL CONHECIDA Intervalos de confiança IC para a média µ de uma população com variância populacional 2 conhecida Etapas para a construção do IC Retiramos uma amostra casual simples de n elementos Calculamos a média da amostra Calculamos o desviopadrão da média amostral Fixamos o nível de significância α e com ele determinamos zcrit tal que Pzcrit z zcrit 1α sendo α nível de incerteza ou grau de desconfiança nível de significância 1 α coeficiente de confiança ou nível de confiabilidade x x x z IC PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM VARIÂNCIA POPULACIONAL CONHECIDA 1 z z 1 z z 1 z z 1 z z 1 z 1 x crit x crit x crit x crit x crit x crit x crit x crit crit x crit crit crit x x P x x P x x P x P x z P z z z P Conclusão IC para média µ de uma população normal com variância 2 conhecida x crit 2 x crit 1 2 1 σ z x σ e μ z x IC 1α μ μ emqueμ Erro de estimação e 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝜎 ҧ𝑥 Obs Vimos que Como temos que x x z IC PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM VARIÂNCIA POPULACIONAL CONHECIDA Convém lembrar que µ não é uma variável aleatória e sim um parâmetro Neste caso a expressão P ത𝑋 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝜎 ത𝑋 µ ത𝑋 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝜎 ത𝑋 1α deve ser interpretada da seguinte maneira Construindo uma quantidade grande de intervalos aleatórios da forma ഥ𝑿 𝒛𝒄𝒓𝒊𝒕 𝝈ഥ𝑿 ഥ𝑿 𝒛𝒄𝒓𝒊𝒕 𝝈ഥ𝑿 todos baseados em amostras de tamanho n esperase que 1α deles contenham o parâmetro µ O intervalo pode ou não conter o parâmetro µ mas temos 1 α de confiança de que contenha EXEMPLO 1 1 De uma população normal X com 29 tiramos uma amostra de 25 observações obtendo Determine um IC de limites de 90 para a média µ 25 1 152 ix RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 1 De uma população normal X com 29 tiramos uma amostra de 25 observações obtendo Determine um IC de limites de 90 para a média µ Resp P5096µ7064090 ou ICµ 0905096 7064 ou seja temos 90 de confiança de que o verdadeiro valor µ populacional se encontra entre 5096 e 7064 ou corremos um risco de 10 de que o verdadeiro valor da média populacional seja menor que 5096 ou maior que 7064 25 1 152 ix EXEMPLO 2 2 De uma população normal com 5 retiramos uma amostra de 50 elementos e obtemos a Fazer um IC para a média ao nível de 5 Resp IC µ 0954061 4339 b Qual o erro de estimação ao nível de 5 Resp 139 c Para que o erro seja menor ou igual a 1 com probabilidade de acerto de 95 qual deverá ser o tamanho mínimo da amostra Resp no mínimo 97 elementos x 42 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 2 De uma população normal com 5 retiramos uma amostra de 50 elementos e obtemos a Fazer um IC para a média ao nível de 5 Resp IC µ 0954061 4339 b Qual o erro de estimação ao nível de 5 Obs erro Resp 139 c Para que o erro seja menor ou igual a 1 com probabilidade de acerto de 95 qual deverá ser o tamanho mínimo da amostra Resp no mínimo 97 elementos 42 x e x EXEMPLO 3 3 A experiência com trabalhadores de certa indústria indica que o tempo necessário para que um trabalhador aleatoriamente selecionado realize uma tarefa é distribuído de maneira aproximadamente normal com desviopadrão de 12 minutos Uma amostra de 25 trabalhadores forneceu média amostral de 140 minutos Determinar os limites de confiança de 95 para a média da população µ de todos os trabalhadores que fazem aquele determinado serviço Resp IC 09513531447 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 3 3 A experiência com trabalhadores de certa indústria indica que o tempo necessário para que um trabalhador aleatoriamente selecionado realize uma tarefa é distribuído de maneira aproximadamente normal com desviopadrão de 12 minutos Uma amostra de 25 trabalhadores forneceu média amostral de 140 minutos Determinar os limites de confiança de 95 para a média da população µ de todos os trabalhadores que fazem aquele determinado serviço Resp IC 09513531447 IC PARA A MÉDIA COM VARIÂNCIA POPULACIONAL DESCONHECIDA Intervalos de confiança para a média de populações com variâncias desconhecidas Caso 1 Se n30 usase o estimador s2 de 2 ou seja substituímos a variância da população 2 pela variância da amostra s2 e podemos usar a normal Caso 2 Se a população for normal e se n30 usamos a distribuição t de Student EXEMPLO 1 DO CASO 1 1 Querendo se estimar a média de uma população X com distribuição normal levantouse uma amostra de 100 observações obtendose Ao nível de 90 determinar o intervalo de confiança para a verdadeira média da população Resp 4 30 e s x 0 90 29343066 IC RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 DO CASO 1 1 Querendo se estimar a média de uma população X com distribuição normal levantouse uma amostra de 100 observações obtendose Ao nível de 90 determinar o intervalo de confiança para a verdadeira média da população Resp 4 30 e s x 0 90 29343066 IC EXEMPLO 2 DO CASO 1 2 Uma amostra aleatória de 80 operários selecionados sem reposição dentre os 3500 de uma grande indústria indicou um salário médio de 980 e um desvio padrão de 220 Construir um intervalo de 96 de confiança para o salário médio verdadeiro dos operários Resp IC 09693015102985 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 DO CASO 1 2 Uma amostra aleatória de 80 operários selecionados sem reposição dentre os 3500 de uma grande indústria indicou um salário médio de 980 e um desvio padrão de 220 Construir um intervalo de 96 de confiança para o salário médio verdadeiro dos operários Resp IC 09693015102985 Antes de estudarmos o Caso 2 ou seja IC para a média de uma população normal com variância desconhecida e n30 aprenderemos uma nova distribuição denominada Distribuição t de Student William S Gosset 18761937 desenvolveu a distribuição t enquanto trabalhava na indústria de cervejas Guinness na Irlanda Ele publicou suas descobertas usando o pseudônimo de Student A distribuição t é também conhecida como distribuição t de Student IC PARA A MÉDIA COM VARIÂNCIA POPULACIONAL DESCONHECIDA CASO 2 DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT A variável 𝑍 ത𝑋𝜇 𝜎ഥ𝑋 com 𝜎 ത𝑋 𝜎2 𝑛 tem distribuição normal Quando não conhecemos 𝜎2variância populacional devemos usar s2 variância amostral estimador de 𝜎2 Vamos lembrar que para o cálculo da variância amostral temos que 𝑠2 σ𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 ҧ𝑥2 𝑛1 e então o desvio padrão é dado por s σ𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 ҧ𝑥2 𝑛1 Lembrar que no Excel para calcular a variância da amostra s2 basta digitar os dados e usar VARA selecionar todos os dados Para o desvio padrão amostral s basta digitar DESVPADA selecionar todos os dados DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT Neste caso o desvio padrão da média amostral representado por 𝑠 ത𝑋 é dado por 𝑠 ത𝑋 𝑠2 𝑛 𝑠 𝑛 Definiremos uma nova variável denominada variável com distribuição t de Student com v graus de liberdade dada por 𝑡 𝑣 ത𝑋 𝑠 ത𝑋 Quando n for grande s2 se aproxima bastante de 𝜎2 o que faz com que a variável t se aproxime da variável normal Z mas quando n for pequeno n30 isso não ocorre DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT Graus de liberdade v O número de informações independentes da amostra dá o número de graus de liberdade v da distribuição Genericamente podemos dizer que o número de graus de liberdade é igual ao número de informações independentes da amostra n menos o número k de parâmetros da população a serem estimados além do parâmetro inerente ao estudo ou seja v nk Como vamos estimar a média de uma população normal com 𝜎2desconhecida além da média estimador inerente ao estudo estimaremos a variância 𝜎2 um parâmetro a mais Isso significa que usaremos a variável t com vn1 graus de liberdade DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT Na figura a seguir apresentase o gráfico da curva de t a qual depende do número de graus de liberdade que na figura está indicada por v Quanto maior for esse número mais elevada é a curva aproximando assim da curva normal curva mais alta A curva de t também é simétrica em relação à média DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT Exemplos Determine ta tal que a Ptta005 com n16 n é o tamanho da amostra Graus de liberdade gln116115 Área de uma cauda 005 Na tabela determinar o encontro de 15 com 005 ta 17531 Uso da tabela t verificar tabela disponível no moodle DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT b PttaPtta 010 com n19 Graus de liberdade gln119118 Área de uma cauda 005 ta 17341 IC PARA A MÉDIA POPULACIONAL DE UMA POPULAÇÃO NORMAL OU APROXIMADAMENTE NORMAL COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA E n30 CASO 2 Fórmula P ҧ𝑥 𝑡𝑐𝑠 ҧ𝑥 𝜇 ҧ𝑥 𝑡𝑐𝑠 ҧ𝑥 1 EXEMPLO 1 DO CASO 2 Ex 1 Dez mensurações são feitas para a resistência de certo tipo de fio fornecendo média ҧ𝑥1048 ohms e desvio padrão s136 ohms Sabese que a variável X resistência de certo tipo de fio tem distribuição normal Determine um intervalo de confiança para a média populacional µ com coeficiente de confiança de 090 Resp 969 1127 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 DO CASO 2 Ex 1 Dez mensurações são feitas para a resistência de certo tipo de fio fornecendo média ҧ𝑥1048 ohms e desvio padrão s136 ohms Sabese que a variável X resistência de certo tipo de fio tem distribuição normal Determine um intervalo de confiança para a média populacional µ com coeficiente de confiança de 090 Resp 969 1127 1704 1940 1518 2005 1432 1872 1998 1658 1825 1670 2210 1380 Ex 2 As notas de certo teste para 12 alunos do último ano do ensino médio são apresentadas a seguir Assumindo que a população de notas seja normalmente distribuída determine um intervalo de confiança de 99 para a média populacional Sugestão usar o Excel para calcular a média e a variância amostral Resp 15415257 19938083 EXEMPLO 2 DO CASO 2 Obs Note que não conhecemos a variância populacional a população é normal e temos uma amostra pequena ou seja n30 Utilizaremos então a distribuição t de Student 1704 1940 1518 2005 1432 1872 1998 1658 1825 1670 2210 1380 Ex 2 As notas de certo teste para 12 alunos do último ano do ensino médio são apresentadas a seguir Assumindo que a população de notas seja normalmente distribuída determine um intervalo de confiança de 99 para a média populacional RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 DO CASO 2 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÕES Quando p populacional é conhecida tem distribuição aproximadamente normal com parâmetros ou seja Logo ao nível α de significância Pz zcrit1α Para construirmos o IC para p desconhecida determinaremos na amostra e consideraremos Ao nível α de significância Pz zcrit 1 α n p x ˆ n p e p q ˆ n N p p q p o pˆ n q p o o p ˆ ˆ ˆ INTERVALO DE CONFIANÇA PARA PROPORÇÕES Seja Pz zcrit 1 α ou seja P𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑧 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 1 𝛼 Considerando que teremos P𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑝0𝑝 𝜎𝑝 𝑧𝑐𝑟𝑖𝑡 1 𝛼 p o p p z ˆ ˆ p p 1 α ou ICp1 α σ z pˆ p σ z Ppˆ 2 1 pˆ crit o pˆ crit o Conclusão Intervalo de confiança para proporções σ z σ pˆ z pˆ ICp 1 pˆ crit o pˆ crit o EXEMPLO 1 1 Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à modificação do currículo escolar tomouse uma amostra de 100 alunos dos quais 80 foram favoráveis a Fazer um IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis à modificação ao nível de 4 Resp ICp 096 07180 0882 b Qual o valor do erro de estimação cometido em a Resp 0082 ou 82 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 1 Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à modificação do currículo escolar tomouse uma amostra de 100 alunos dos quais 80 foram favoráveis a Fazer um IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis à modificação ao nível de 4 Resp ICp 096 07180 0882 b Qual o valor do erro de estimação cometido em a Resp 0082 ou 82 EXEMPLO 2 2 Em uma linha de produção de certa peça mecânica colheuse uma amostra de 100 itens constatandose que 8 peças eram defeituosas Construir o IC para a proporção p das peças defeituosas ao nível de 10 Resp ICp 0900035501245 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 2 Em uma linha de produção de certa peça mecânica colheuse uma amostra de 100 itens constatandose que 8 peças eram defeituosas Construir o IC para a proporção p das peças defeituosas ao nível de 10 Resp ICp 0900035501245 EXEMPLOS DE RESOLUÇÃO NO EXCEL 1 Caso de IC para média usando Z De uma população normal X com 29 tiramos uma amostra de 25 observações obtendo média amostral igual a 608 Determine um IC de limites de 90 para a média µ Resolução no Excel Digitar em uma célula do Excel intconfiançanormalfa n Digitar alfa como a confiança é de 90 o alfa é de 10 o desvio padrão populacional 3 e o tamanho da amostra n25 Logo intconfiançanorm01 325 O resultado fornece a margem de erro Neste caso o intervalo seria 608 09869 EXEMPLOS DE RESOLUÇÃO NO EXCEL 2 Caso de IC para proporção Para se estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis à modificação do currículo escolar tomouse uma amostra de 100 alunos dos quais 80 foram favoráveis Fazer um IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis à modificação ao nível de 4 No Excel usar intconfiançanormalfa n No exercício digitar intconfiançanorm004 04 100 para achar o erro Obs 𝑝 𝑞 desvio padrão da população Resp erro 0082 IC 080082 3 Caso de IC usando t de Student Dez mensurações são feitas para a resistência de certo tipo de fio fornecendo média ҧ𝑥1048 ohms e desvio padrão s136 ohms Sabe se que a variável X resistência de certo tipo de fio tem distribuição normal Determine um intervalo de confiança para a média populacional µ com coeficiente de confiança de 090 No Excel usar intconfiançat 01 136 10 para achar o erro Resp erro 0788366 IC 10480788366 ROTEIRO DE ESTUDO Lista de exercícios sobre IC no moodle Exercícios propostos páginas 237 a 239 do livrotexto Exercícios 1 2 3 4 7 8 e 11 exercícios presentes na lista do moodle