Testes de Hipoteses-Conceitos-e-Aplicacoes

TESTES DE HIPÓTESES TESTES DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA FONTES MORETTIN LG Estatística Básica Volume único Probabilidade e Inferência Pearson 2010 LARSON R FARBER B Estatística aplicada São Paulo Pearson Prentice Hall 2016 Todos os direitos reservados Reprodução e divulgação total ou parcial deste documento são expressamente proibidas sem o consentimento formal por escrito da professora autora DISCUSSÃO INICIAL Um fabricante de pisos afirma que o peso médio suportado por uma lajota é maior do que 800 kg com desvio padrão de 20 kg Antes da aquisição desses pisos um comprador deseja verificar se a afirmação do fabricante procede Como fazer isso Uma empresa afirma que no máximo 5 da produção de certo artigo é defeituosa Um comprador deseja ter evidências de que a proporção de defeitos não aumentou Como fazer isso Para obter respostas para essas questões que embasam o processo de tomada de decisões estudaremos um procedimento estatístico denominado Testes de Hipóteses TESTES DE HIPÓTESES Muitos problemas em Engenharia requerem que decidamos entre aceitar ou rejeitar uma afirmação acerca de um parâmetro A afirmação é chamada de hipótese e o procedimento de tomada de decisão sobre a hipótese é chamado teste de hipóteses CONTEXTO HISTÓRICO Na década de 1920 Ronald Fisher desenvolveu a teoria relacionada com o pvalor e Jerzy Neyman e Egon Pearson desenvolveram a teoria do teste de hipóteses Estas teorias desenvolvidas por distintos investigadores proporcionaram importantes ferramentas quantitativas para confirmar ou refutar hipóteses TESTES DE HIPÓTESES Exemplos de hipóteses Os equipamentos fabricados pela empresa X têm vida média 2000 horas A proporção de placas de circuito com defeito dentre as placas produzidas pela empresa Y é p01 TESTES DE HIPÓTESES O teste de hipóteses sobre parâmetros representa um processo de decisão estatística no qual se decide por um valor de um parâmetro ou por sua modificação com um grau de risco conhecido É bom lembrar que hipóteses são sempre afirmações sobre a população e não sobre a amostra Os dados da amostra servirão de base para aceitar ou rejeitar uma hipótese HIPÓTESE NULA E HIPÓTESE ALTERNATIVA A hipótese nula é aquela que desejamos testar e em nosso tratamento ela sempre será estabelecida de modo que especifique um valor exato do parâmetro A rejeição da hipótese nula sempre leva à aceitação da hipótese alternativa Hipótese nula H0 é a alegação estatística que contém uma afirmação de igualdade tal como ou É ela que será rejeitada ou não rejeitada Hipótese alternativa H1 é a afirmação contraditória a H0 ou a que complementa H0 Neste caso é aquela que será aceita caso o teste indique que H0 deva ser rejeitada e assim concluímos que a diferença entre a estatística amostral e o parâmetro populacional é significativa Exemplos para os parâmetros e p Indique as hipóteses nula H0 e alternativa H1 a Somente tubos galvanizados com média igual a 2 polegadas serão aceitos H0 µ 2 polegadas H1 µ 2 polegadas b Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de fluxo de água de certo tipo de torneira é menor ou igual a 25 galões por minuto H0 µ 25 galões por minuto H1 µ 25 galões por minuto c Sabese por experiência que 5 da produção de certo artigo é defeituosa H0 p 005 H1 p 005 TIPOS DE TESTES A alternativa H1 para a hipótese nula H0 0 H0 0 ou H0 0 pode ser dada respectivamente por 1 H1 0 teste bilateral 2 H1 0 teste monocaudal ou unilateral à direita 3 H1 0 teste monocaudal ou unilateral à esquerda Se o objetivo for fazer um questionamento envolvendo afirmações do tipo maior que menor que superior a excede no mínimo dentre outras a alternativa unilateral será apropriada Se nenhuma direção for indicada pelo questionamento ou se o questionamento não igual a tiver que ser feito então usaremos o teste bilateral TIPOS DE TESTES Existem vários tipos de testes de hipóteses tais como para a média de uma população normal com desvio padrão populacional conhecido para a média de uma população normal com desvio padrão populacional desconhecido para o caso de grandes amostras ou para o caso de pequenas amostras para a média de populações não normais para a proporção populacional para variâncias populacionais para diferença de médias dentre outros PROCEDIMENTO GERAL PARA TESTES DE HIPÓTESES Testar a hipótese envolve considerar uma amostra aleatória computar uma estatística de teste a partir dos dados amostrais e então usar a estatística de teste para tomar uma decisão a respeito da hipótese nula Em geral esse procedimento segue as seguintes etapas Identificar o parâmetro de interesse Estabelecer a hipótese nula H0 e a hipótese alternativa H1 apropriada Escolher um nível de significância ou verificar o estabelecido no problema Estabelecer uma estatística apropriada de teste e determinar o valor calculado utilizando os dados da amostra Estabelecer a região crítica de rejeição de H0 considerando o utilizado Verificar se o valor calculado pertence ou não à região de rejeição Decidir se H0 deve ser ou não rejeitada e relacionar isso no contexto do problema TH PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM VARIÂNCIA POPULACIONAL CONHECIDA OU SE DESCONHECIDA COM n 30 REGIÕES DE REJEIÇÃO DE H0 PARTE PINTADA NO NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA TH PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM VARIÂNCIA POPULACIONAL CONHECIDA OU SE DESCONHECIDA COM n 30 Estatística de teste 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 ത𝑋𝜇𝐻𝑜 𝜎2 𝑛 ou 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 ത𝑋 𝜇𝐻𝑜 𝑠2 𝑛 este último para o caso de variância populacional desconhecida e n30 EXEMPLO 1 Considere que uma indústria compra de um certo fabricante pinos cuja resistência média à ruptura é especificada em 60 kgf valor nominal da especificação com desvio padrão de 5 kgf Sabese que a resistência média segue uma distribuição normal Em determinado dia a indústria recebeu um grande lote de pinos e a equipe técnica da indústria desejou verificar se o lote atendia às especificações Para isso essa equipe selecionou uma amostra aleatória de 16 pinos obtendo média igual a 65 kgf Ao nível de significância de 00455 e usando um teste bilateral verifique se o lote atende às especificações RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 1 Parâmetro de interesse média 2 Definir as hipóteses Ho 60 o lote atende às especificações H1 60 o lote não atende às especificações 3 Verificar a estatística de teste 2 conhecida estatística de teste Z 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 ത𝑋𝜇𝐻𝑜 𝜎2 𝑛 logo 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 6560 52 16 4 4 Teste bilateral com nível de significância α00455 Procurando na tabela da normal encontramos que ztab200 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 5 Verificar se zcalc está na região crítica RC ou na de não rejeição de Ho RNR zcalc está na região crítica logo rejeitamos Ho 6 Conclusão Para o nível de significância α00455 há evidências de que o lote não atende às especificações RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 ANÁLISE DAS REGIÕES Podemos construir os intervalos das regiões RC região crítica ou de rejeição de Ho e RNR região de não rejeição de Ho e verificar em qual delas está a média da amostra RNR 𝜇𝐻𝑜 𝑧𝑐 𝜎 ത𝑋 𝜇𝐻𝑜 𝑧𝑐 𝜎 ത𝑋 RNR 602 52 16 602 52 16 RNR 575 625 RC 𝜇𝐻𝑜 𝑧𝑐 𝜎 ത𝑋 U 𝜇𝐻𝑜 𝑧𝑐 𝜎 ത𝑋 RC 575 U 625 Como a média da amostra é ത𝑋65 esse valor pertence ao intervalo RC ou seja rejeitamos Ho Neste caso concluímos que há evidências de que o lote não atende às especificações considerando o nível de significância adotado EXEMPLO 2 Um comprador de tijolos acha que a qualidade dos tijolos está diminuindo De experiências anteriores considerase a resistência média ao desmoronamento de tais tijolos igual a 200 kg com desvio padrão de 10 kg Uma amostra de 100 tijolos escolhidos ao acaso forneceu uma média de 195 kg Ao nível de significância de 5 podese afirmar que a resistência média ao desmoronamento diminuiu Resp zcalc5 está na região crítica Rejeitamos Ho ou seja para alfa5 há evidências de que a qualidade dos tijolos diminuiu RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 1 Parâmetro de interesse média 2 Definir as hipóteses Ho 200 ou simplesmente 200 H1 200 3 Verificar a estatística de teste 2 conhecida estatística de teste Z 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 ത𝑋𝜇𝐻𝑜 𝜎2 𝑛 logo 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 195200 102 100 5 4 Teste unilateral à esquerda com nível de significância α005 Procurando na tabela da normal encontramos que ztab164 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 5 Verificar se zcalc está na região crítica RC ou na de não rejeição de Ho RNR zcalc está na região crítica logo rejeitamos Ho 6 Conclusão Para o nível de significância α005 há evidências de que a qualidade dos tijolos diminuiu EXERCÍCIOS 1 Os sistemas de escapamento de uma aeronave funcionam devido a um propelente sólido A taxa de queima desse propelente é uma característica importante do produto As especificações requerem que a taxa média de queima seja de 50 cms Sabemos que o desvio padrão da taxa de queima é 2 cms O experimentalista decide efetuar um teste ao nível de significância de 005 Ele seleciona uma amostra aleatória de n25 e obtém uma taxa média amostral de queima de uma população normal e obtém ത𝑋513 cms Usando um teste bilateral que conclusões podem ser tiradas Resp zcalc325RC Rejeitamos Ho Ao nível 005 há indícios de que a taxa média de queima seja diferente de 50 cms RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1 1 Parâmetro de interesse média 2 Definir as hipóteses Ho 50 H1 50 3 Verificar a estatística de teste 2 conhecida estatística de teste Z 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 ത𝑋𝜇𝐻𝑜 𝜎2 𝑛 logo 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 51350 22 25 325 4 Teste bilateral com nível de significância α005 Procurando na tabela da normal encontramos que ztab196 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1 5 Verificar se zcalc está na região crítica RC ou na de não rejeição de Ho RNR zcalc está na região crítica logo rejeitamos Ho 6 Conclusão Para o nível de significância α005 há evidências de que a taxa média de queima seja diferente de 50 cms EXERCÍCIO 2 Um penetrômetro de cone dinâmico PCD é usado para medir a resistência do material à penetração mmfluxo à medida que um cone é introduzido no pavimento ou no substrato Suponha que para uma aplicação específica seja necessário que o valor médio real do PCD de certo tipo de pavimento seja inferior a 30 O pavimento não será utilizado a menos que haja evidências conclusivas de que a especificação foi satisfeita Vamos testar as hipóteses Ho 30 versus H1 30 utilizando nível de significância de 5 considerando a seguinte amostra 141 145 155 16 16 167 169 171 175 178 178 181 182 183 183 19 192 194 20 20 208 208 21 215 235 275 275 28 283 30 30 316 317 317 325 335 339 35 35 35 367 40 40 413 417 475 50 51 518 544 55 57 Obs Usando o Excel obtémse ҧ𝑥 2876 e s1226 Resp zcalc 073 e está na região de não rejeição de Ho Neste caso para o nível de significância adotado não há evidências de que 30 e consequentemente não se justifica o uso do pavimento RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2 1 Parâmetro de interesse média 2 Definir as hipóteses Ho 30 ou simplesmente 30 H1 30 3 Verificar a estatística de teste 2 desconhecida mas n30 n52 estatística de teste Z 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 ത𝑋𝜇𝐻𝑜 𝜎2 𝑛 logo 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 287630 12262 52 073 4 Teste unilateral à esquerda com nível de significância α005 Procurando na tabela da normal encontramos que ztab164 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2 5 Verificar se zcalc está na região crítica RC ou na de não rejeição de Ho RNR zcalc está na região de não rejeição de Ho 6 Conclusão Para o nível de significância α005 não há evidências de que 30 e consequentemente não se justifica o uso do pavimento TH PARA A MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO NORMAL COM VARIÂNCIA POPULACIONAL DESCONHECIDA E n30 Vimos o processo de teste de hipóteses para a média populacional para os casos Variância populacional conhecida Variância populacional desconhecida e n30 Para estes casos usamos a estatística de teste Z Se a variância populacional for desconhecida e n30 considerando uma população normal ou aproximadamente normal utilizaremos a estatística de teste t de Student TH PARA A MÉDIA DE UMA POPULAÇÃO NORMAL COM VARIÂNCIA POPULACIONAL DESCONHECIDA E n30 Neste caso considerando v os graus de liberdade vn1 temos Lembrar que s2 é a variância da amostra TH PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM VARIÂNCIA POPULACIONAL DESCONHECIDA E n30 Exemplo 1 A vida média das lâmpadas elétricas produzidas por uma empresa era de 1120 horas Uma amostra de 8 lâmpadas extraída recentemente apresentou a vida média de 1070 horas com desvio padrão de 125 horas e distribuição normal para a vida útil Testar a hipótese de que a vida média das lâmpadas não se alterou ao nível 001 Resp tcalc 113 está na RNR Não rejeitamos Ho ou seja não há evidências de alteração para 001 Observe que conhecemos o desvio padrão somente da amostra e consequentemente podemos obter a variância amostral Não conhecemos a variância populacional a população é normal e a amostra é pequena formada por apenas 8 elementos n30 Logo para este caso usaremos t de Student RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 1 Parâmetro de interesse média 2 Definir as hipóteses Ho 1120 H1 1120 3 Verificar a estatística de teste 2 desconhecida n30 e população normal estatística de teste t t𝑐𝑎𝑙𝑐 ത𝑋𝜇𝐻𝑜 𝑠2 𝑛 logo t𝑐𝑎𝑙𝑐 10701120 1252 8 113 4 Teste bilateral com nível de significância α001 Procurando na tabela t no encontro de v7 vn1 graus de liberdade com 2 0005 encontramos que ttab 34995 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 5 Verificar se tcalc está na região crítica RC ou na de não rejeição de Ho RNR tcalc está na região de não rejeição logo não rejeitamos Ho 6 Conclusão Para o nível de significância α001 não há evidências de alteração da vida média das lâmpadas Exercício 1 Uma máquina é projetada para fazer esferas de aço com média de 1 cm de diâmetro Uma amostra de 10 esferas é produzida e tem o diâmetro médio de 1004 cm com desvio padrão amostral s0003 Considere a população com distribuição normal Há razões para suspeitar que a máquina esteja produzindo esferas com diâmetro maior do que 1 cm ao nível de 10 Resp tcalc422 está na RC Rejeitamos Ho ou seja para alfa10 há evidências de que as esferas produzidas pela máquina tenham diâmetro maior do que 1 cm TH PARA A MÉDIA POPULACIONAL COM VARIÂNCIA POPULACIONAL DESCONHECIDA E n30 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1 1 Parâmetro de interesse média 2 Definir as hipóteses Ho 1 H1 1 3 Verificar a estatística de teste 2 desconhecida n30 e população normal estatística de teste t t𝑐𝑎𝑙𝑐 ത𝑋𝜇𝐻𝑜 𝑠2 𝑛 logo t𝑐𝑎𝑙𝑐 10041 00032 10 422 4 Teste unilateral com nível de significância α01 Procurando na tabela t no encontro de v 1019 vn1 graus de liberdade com a área da cauda 01 encontramos ttab 13830 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1 5 Verificar se tcalc está na região crítica RC ou na de não rejeição de Ho RNR Como o teste é unilateral à direita e tcalcttab concluímos que tcalc está na região de rejeição de Ho 6 Conclusão Para o nível de significância α01 há evidências de que as esferas produzidas pela máquina tenham diâmetro maior do que 1 cm CONCLUSÃO TESTES DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA POPULACIONAL a Se a variância populacional 2 for conhecida usar a estatística de teste Z b Se a variância populacional 2 for desconhecida mas n30 usar a estatística de teste Z substituindo a variância da amostra s2 no lugar da variância populacional 2 c Se a variância populacional for desconhecida a população for normal ou aproximadamente normal e n30 usar a estatística de teste t com vn1 graus de liberdade EXERCÍCIOS Lista de exercícios no moodle sobre testes de hipóteses Exercícios de TH para a média do livrotexto páginas 253 e 254 exceto exercícios 5 e 8