Testes de Hipoteses para Proporcao - Valor P e Erros de Decisao

TESTES DE HIPÓTESES PARA A PROPORÇÃO VALOR P ERROS DE DECISÃO Todos os direitos reservados Reprodução e divulgação total ou parcial deste documento são expressamente proibidas sem o consentimento formal por escrito da professora autora TESTES DE HIPÓTESES PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL Em muitos problemas de Engenharia teremos a preocupação com uma variável aleatória que siga a distribuição binomial e consequentemente com casos de análise de proporção Por exemplo considere um processo de produção que fabrica itens classificados como aceitáveis ou defeituosos É razoável modelar a ocorrência de defeitos com a distribuição binomial em que o parâmetro p representa a proporção de itens defeituosos produzidos TESTES DE HIPÓTESES PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL Um teste aproximado baseado na aproximação da Binomial pela Normal é realizado Esse procedimento aproximado será válido desde que p não esteja extremamente próximo de zero ou de um e se o tamanho da amostra for relativamente grande TESTES DE HIPÓTESES PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL Para o teste de hipótese para a proporção de uma população temos 1 H0 ppo e H1 ppo ou H0 ppo e H1ppo ou H0 ppo e H1 ppo 2 Estatística de teste Lembrando que na Binomial EXnp e VARXnpq temos que 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑋𝑛𝑝𝑜 𝑛𝑝𝑜𝑞𝑜 ou dividindo todos os elementos por n encontramos Zcalc 𝑋 𝑛𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑞𝑜 𝑛 3 Achar z tabelado considerando o nível de significância verificando se o teste é unilateral ou bilateral 4 Analisar se zcalc está na região de rejeição ou de não rejeição de Ho 5 Interpretar o resultado do problema proposto TESTES DE HIPÓTESES PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL Exemplo 1 Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em aplicações no motor de automóveis O consumidor requer que a fração defeituosa em uma etapa crítica de fabricação seja menor do que 005 e que o fabricante demonstre capacidade de processo nesse nível de qualidade usando 005 O fabricante de semicondutores retira uma amostra aleatória de 200 aparelhos e verifica que 4 deles são defeituosos O fabricante pode demonstrar capacidade de processo para o consumidor Resp zcalc 195 está na RC logo rejeitamos Ho Para alfa5 há evidências de que a proporção de peças defeituosas seja menor do que 005 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 1 Parâmetro de interesse proporção 2 Definir as hipóteses Ho p 005 H1 p 005 3 Estatística de teste zcalc 𝑋 𝑛𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑞𝑜 𝑛 logo 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 4 200005 005095 200 195 4 Teste unilateral à esquerda com nível de significância α005 Procurando na tabela da normal encontramos que ztab164 RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 5 Verificar se zcalc está na região crítica RC ou na de não rejeição de Ho RNR zcalc está na região crítica logo rejeitamos Ho 6 Conclusão Para o nível de significância α5 há evidências de proporção de peças defeituosas menor do que 005 TESTES DE HIPÓTESES PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL EXERCÍCIO Sabese por experiência que 5 da produção de certo artigo é defeituosa Um novo empregado é contratado Ele produz 500 peças do artigo com 30 defeituosas Considerando 10 verificar se o novo empregado produz peças com maior índice de defeitos que o existente Resp zcalc103 está na RNR de Ho Para o nível de significância adotado não há evidências de que o novo empregado produza peças com maior índice de defeitos RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1 Parâmetro de interesse proporção 2 Definir as hipóteses Ho p 005 H1 p 005 3 Estatística de teste zcalc 𝑋 𝑛𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑞𝑜 𝑛 logo 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 30 500005 005095 500 103 4 Teste unilateral à direita com nível de significância α010 Procurando na tabela da normal encontramos que ztab 128 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 5 Verificar se zcalc está na região crítica RC ou na de não rejeição de Ho RNR Como o teste é unilateral à direita e zcalc ztab concluímos que zcalc está na região de não rejeição de Ho 6 Conclusão Para o nível de significância adotado não há evidências de que o novo empregado produza peças com maior índice de defeitos OUTRA FORMA DE RESOLVER TESTES DE HIPÓTESES USANDO O VALORP OU PVALOR Além do método estudado para efetuar testes de hipóteses podemos utilizar outro procedimento usando o ValorP também conhecido como nível descritivo do teste O ValorP é o método mais utilizado nos softwares para os testes de hipóteses PVALOR DE UM TESTE DE HIPÓTESE Se a hipótese nula for verdadeira um ValorP ou valor de probabilidade de um teste de hipóteses é a probabilidade de se obter uma estatística amostral com valores tão extremos ou mais extremos do que aquela determinada a partir dos dados da amostra Sendo o nível de significância do teste temos que Se ValorP então rejeite Ho Se ValorP então não rejeite Ho Exemplo de situação para um teste bilateral VALOR P DE UM TESTE DE HIPÓTESE Depois de determinar a estatística do teste por exemplo zcalc ou tcalc e a área correspondente da estatística do teste temos que a Para o teste unicaudal à esquerda ValorPárea da cauda esquerda b Para o teste unicaudal à direita ValorPárea da cauda direita c Para o teste bilateral ValorP2área da cauda da estatística do teste ROTEIRO DE RESOLUÇÃO USANDO O VALOR P 1 Definir as hipóteses Ho e H1 2 Achar zcalc ou tcalc 3 Na curva determinar as áreas associadas ao zcalc ou tcalc 4 Achar o ValorP verificar se o teste é unilateral ou bilateral 5 Comparar o ValorP com o nível de significância lembrando que se ValorP então rejeitamos H0 e se ValorP então não rejeitamos H0 EXEMPLO DE RESOLUÇÃO USANDO O VALORP Vamos resolver o exemplo 1 apresentado anteriormente utilizando a estratégia do ValorP Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em aplicações no motor de automóveis O consumidor requer que a fração defeituosa em uma etapa crítica de fabricação seja menor do que 005 e que o fabricante demonstre capacidade de processo nesse nível de qualidade usando 005 O fabricante de semicondutores retira uma amostra aleatória de 200 aparelhos e verifica que quatro deles são defeituosos O fabricante pode demonstrar capacidade de processo para o consumidor RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 USANDO VALORP 1 Parâmetro de interesse proporção 2 Definir as hipóteses Ho p 005 H1 p 005 3 Estatística de teste zcalc 𝑋 𝑛𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑞𝑜 𝑛 logo 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 4 200005 005095 200 195 4 Vamos verificar na tabela da normal o valor correspondente à z195 Encontramos a área 0474412 Como o teste é unicaudal à esquerda o ValorP área da cauda esquerda Logo ValorP 050474412 0025588 5 Como ValorP 0025588 e 005 concluímos que ValorP então rejeitamos Ho Logo para 5 há evidências de uma proporção de peças defeituosas menor do que 005 ERROS DE DECISÃO DECISÕES NO TESTE DE HIPÓTESES Ho é verdadeira Ho é falsa Não rejeitar Ho Nenhum erro Erro Tipo II Rejeitar Ho Erro Tipo I Nenhum erro Podemos cometer um erro de decisão quando realizamos um teste de hipóteses Os possíveis erros de decisão são apresentados na tabela Erro tipo I Rejeitar H0 quando ela é verdadeira PErro tipo I nível de significância Erro tipo II Não rejeitar H0 quando ela é falsa PErro tipo II ERROS DE DECISÃO DECISÕES NO TESTE DE HIPÓTESES Ho é verdadeira Ho é falsa Não rejeitar Ho Nenhum erro Erro Tipo II Rejeitar Ho Erro Tipo I Nenhum erro ERROS DE DECISÃO Observações a Só podemos cometer o erro tipo I quando rejeitamos H0 e o erro tipo II quando não rejeitamos H0 b A probabilidade de cometer o erro tipo I ocorre quando a estatística valor calculado cai na região de rejeição do teste logo PErro tipo I c A probabilidade de cometer o erro tipo II é denominada e para encontrálo temos que especificar a hipótese H1 como por exemplo H1 1 e efetuar o teste d Os erros tipo I e tipo II estão relacionados Uma diminuição na probabilidade de um sempre resulta em um aumento na probabilidade do outro desde que o tamanho da amostra não varie e Um aumento no tamanho da amostra reduzirá geralmente os dois tipos de erro desde que os valores críticos sejam mantidos constantes FUNÇÃO PODER DE UM TESTE OU POTÊNCIA DE UM TESTE A função poder de um teste fornece a probabilidade de se rejeitar corretamente uma hipótese nula falsa e é dada por P1 Prejeitar Ho quando ela é falsaPnão rejeitar Ho quando ela é falsa1 Prejeitar Ho quando ela é falsa 1 Prejeitar Ho quando ela é falsa 1 função poder de um teste Uma probabilidade alta de se rejeitar Ho quando ela é falsa demonstra que o teste é altamente poderoso EXERCÍCIOS Verificar lista de exercícios no moodle Do livro texto ex 5 e 8 da página 253