Análise de Erro Estacionário e Estabilidade em Sistemas de Controle

Análise de Erro Estacionário e Estabilidade Sistemas de Controle Requisitos de um Sistema de Controle Sistemas de Controle 2 No projeto de um sistema de controle encontramse especificações de desempenho relacionadas com respostas transitórias da variável de saída do sistema respostas em regime permanente da variável de saída do sistema Análise de Erro Estacionário Sistema de controle pode apresentar erro estacionário devido a certos tipos de entrada Um sistema pode não apresentar erro estacionário a uma determinada entrada mas apresentar um erro a uma outra entrada O erro que um sistema apresenta a uma dada entrada depende do tipo de sua função de transferência de malha aberta Geralmente os sistemas de controle são classificados de acordo com sua habilidade em seguir os sinais de entrada degrau rampa e parábola Sistemas de Controle 3 Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 4 Diferença resultante entre as variáveis de referência e de saída do sistema após a etapa transitória conhecida como erro de regime permanente do sistema Considere inicialmente o caso em que a realimentação é unitária Rs sinal de referência Ys sinal de saída Es é o sinal de erro gerado pela diferença entre os sinais de referência e do sinal de realimentação da variável de saída do sistema Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 6 Note que neste caso o sinal Es é gerado diretamente pela diferença entre as variáveis de referência e de saída do sistema 1 E s R s Y s E s R s E s G s R s E s G s Aplicando o teorema do valor final 0 0 lim lim lim1 ss t s s e e t sE s sR s G s Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2 Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 7 Tipo de sistema 1 2 1 2 m j j n s z s z s z G s G s s s p s p s p s 0 j Gs tem um polo na origem com multiplicidade j 1 j j 2 Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 8 Constante de erro estático de posição Entrada degrau Rs1s 0 1 1 lim 1 1 1 1 0 1 ss s p e s s G s G K 0 lim 0 p s K G s G 1 R s E s G s Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 9 Sistema tipo 1 ou maior Constante de erro estático de posição Entrada degrau Rs1s 1 2 0 1 2 lim m p j s n s z s z s z K s s p s p s p 0 ss e O erro estacionário para sistemas tipo 1 ou maiores 1 1 0 ess G Sistema tipo 0 0 Kp G Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 10 2 0 0 0 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 lim ss s s s e s s G s s G s sG s Constante de erro estático de velocidade Entrada rampa Rs1s2 0 lim 1 v s ss v K sG s e K 1 R s E s G s Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 11 Constante de erro estático de velocidade Entrada rampa Rs1s2 Sistema tipo 0 0 lim 0 v s K sG s Sistema tipo 1 0 lim 0 v s G s K s G s Sistema tipo 2 ou maior 0 lim v j s G s K s s Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 12 Constante de erro estático de velocidade Entrada rampa Rs1s2 Sistema tipo 0 1 lim ss s e sG s Sistema tipo 1 Sistema tipo 2 ou maior 1 1 lim ss s v e G s K s s 1 lim 0 ss s j e G s s s Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 13 3 0 2 0 2 0 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 lim ss s s s e s s G s s G s s G s Constante de erro estático de aceleração Entrada parábola Rs1s3 2 0 lim 1 a s ss a K s G s e K 1 R s E s G s Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 14 Constante de erro estático de aceleração Entrada parábola Rs1s3 Sistema tipo 0 2 0 lim 0 a s K s G s Sistema tipo 1 2 0 lim 0 a s G s K s s Sistema tipo 2 2 0 lim 0 a s G s K s G s Sistema tipo 3 ou maior 0 lim a j s G s K s s Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 15 Constante de erro estático de aceleração Entrada parábola Rs1s3 Sistema tipo 0 2 1 lim ss s e s G s Sistema tipo 1 Sistema tipo 2 2 1 lim ss s e s G s s 2 2 1 1 lim ss s a e G s K s s Sistema tipo 3 ou maior 2 1 lim 0 ss s j e s G s s Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 16 Tipo de sistema Erro Entrada 1s Entrada 1s2 Entrada 1s3 0 1 2 1 1 Kp 0 1 Kv 0 0 1 Ka Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 17 Exemplo Calcule os erros degrau rampa e parábola e determine o tipo para 2 75 20 75 G s s s 2 2 10 1 5 15 s s G s s s s s 3 100 20 100 G s s s Análise de Erro Estacionário Sistemas de Controle 18 Exemplo Calcule os erros degrau rampa se 𝐺𝑐𝑠 é tipo 1 ou 2 1 2 5 s s c G s R s Y s E s Estabilidade Sistemas de Controle 19 A resposta yt de sistemas dinâmicos LTI é composta pela soma das respostas forçada e natural A estabilidade de um sistema pode ser analisada com base na resposta completa do sistema e no sinal de referência forçada natural y t y t y t Estabilidade Sistemas de Controle 20 Levando em conta só a resposta natural podese ter as definições Estável forçada natural y t y t y t natural 0 y t t Intestável ynatural t t Marginalmente estável natural o osciland y t t Estabilidade Sistemas de Controle 21 ESTABILIDADE BIBO Bounded InputBounded Output Estabilidade BIBO Um sistema é dito estável no sentido BIBO se e somente se para todo o sinal de entrada ut limitado a saída yt do sistema permanecer limitada para o tempo tendendo ao infinito Instabilidade BIBO Um sistema é dito instável no sentido BIBO se e somente se para qualquer sinal de entrada ut limitado a saída yt do sistema crescer ilimitadamente para o tempo tendendo ao infinito Estabilidade Marginal BIBO Um sistema é dito marginalmente estável no sentido BIBO se e somente se para determinados sinais de entrada ut limitados a variável saída yt do sistema crescer ilimitadamente para o tempo tendendo ao infinito Estabilidade Sistemas de Controle 22 1 1 1 1 m m m n n m s b s b Y s G s U s s a s a Assuma por conveniência que os polos da equação característica são reais ou complexas porém distintas A resposta do sistema é dados por 1 j n p t j j y t K e K j Depende das CI O sistema será dito estável se e somente se todo o termo da equação yt acima tender a zero com t 0 para todo j p t j e t p Estabilidade Sistemas de Controle 23 Critério de Estabilidade RouthHurwitz RouthHurwitz encontraram condição necessária e suficiente para que um sistema LIT seja estável precisase garantir que todos os polos da função de transferência de malha fechada tenham parte real negativa polos estejam localizados semiplano esquerdo do planos Estabilidade Sistemas de Controle 24 Critério de Estabilidade RouthHurwitz Exemplo Considere a seguinte FT 2 10 2 2 s G s s s s Os polos são 1 23 2 1 7 2 p j p a parte real é negativa A equação do denominador também é conhecida como Equação Característica Estabilidade Sistemas de Controle 25 Critério de Estabilidade RouthHurwitz Considere 7 6 4 3 2 10 6 9 1 s G s s s s s s Para determinar a estabilidade devese calcular todas as raízes da equação característica 7 6 4 3 2 6 9 1 0 s s s s s Essa tarefa é difícil sem o auxílio do computador RouthHurwitz desenvolveram um método capaz de determinar a localização das raízes da equação característica sem necessidade de calculalas explicitamente Estabilidade Sistemas de Controle 26 Critério de Estabilidade RouthHurwitz O método proposto por Routh requer o cálculo de uma matriz cujos elementos são funções dos coeficientes do polinômio característico Para que o sistema possua todos os polos localizados no semiplano esquerdo do plano s os elementos que compõe a primeira coluna desta matriz deverão apresentar o mesmo sinal Considere o seguinte sistema Estabilidade Sistemas de Controle 28 Critério de Estabilidade RouthHurwitz Estabilidade Sistemas de Controle 29 Critério de Estabilidade RouthHurwitz Estabilidade Sistemas de Controle 30 Critério de Estabilidade RouthHurwitz Exemplo Estabilidade Sistemas de Controle 31 Critério de Estabilidade RouthHurwitz Exemplo Estabilidade Sistemas de Controle 32 Exemplo Suponha o sistema de controle apresentado calcule o posicionamento dos polos do sistema operando em malhafechada admitindo que o ganho do controlador K3 e K7 Estabilidade Sistemas de Controle 33 Exemplo Considerando o sistema de controle ao lado onde K é um número real positivo determine a faixa de ganho em que o sistema apresente comportamento estável considerando as seguintes funções de transferência 1 8 8 4 G s s s 2 32 1 16 G s s s s Estabilidade Sistemas de Controle 34 Exemplo Um diagrama de blocos de um sistema de posicionamento de uma ponta de solda é mostrado Desejase determinar a faixa de valores de K e de a para os quais o sistema é estável A equação característica é 4 3 2 1 1 1 2 3 6 11 6 0 K s a G s s s s s q s s s s K s Ka Estabilidade Sistemas de Controle 35 3 60 6 K b 3 3 3 6 6 b K Ka c b se K 40 requerse a 0639 4 3 2 6 11 6 0 q s s s s K s Ka