Transformada de Laplace e Números Complexos em Sistemas de Controle

Transformada de Laplace Sistemas de Controle Transformada de Laplace Tópicos Funções de Transferência Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace Resposta Temporal Sistemas de Controle 2 Números complexos Definição Um número complexo é todo número da forma z a jb onde Rez a Parte real Imz b Parte imaginária Propriedades básicas z1 z2 somente se a1 a2 e b1 b2 z1 z2 a1 a2 jb1 b2 z1z2 a1a2 b1b2 ja1b2 a2b1 Potências de j potências pares potências impares Sistemas de Controle 1 j 3 Números complexos Exercício Potências de j potências pares potências impares Sistemas de Controle 4 Números complexos Plano Complexo Rez Eixo x abscissas Imz Eixo y ordenadas z a jb Representação retangular z z arg z Representação polar Sistemas de Controle 5 Números complexos z a jb Forma Polar Módulo Números complexos Sistemas de Controle 6 Números complexos Função tangente Múltiplos valores de argumento levam à mesma tangente Sistemas de Controle 7 Números complexos z a jb Forma Polar Fase Números complexos Sistemas de Controle 8 Números complexos Dado um número complexo na forma polar podese obter a forma retangular através de Exercício Encontre a representação na forma cartesiana a b Sistemas de Controle 2 90o 5 60o 10 Transformada de Laplace Sua utilização na solução de equações diferenciais lineares invariantes no tempo segue os passos esquematizados no diagrama de blocos apresentado abaixo Outra vantagem associada ao emprego da transformada de Laplace técnicas gráficas para esboçar o comportamento do processo sem a necessidade da solução analítica Sistemas de Controle 11 Transformada de Laplace Funções transferência A análise de sistemas lineares invariantes no tempo no domínio da frequência através de funções transferência apresenta várias vantagens Avaliação qualitativa o comportamento do sistema polos e zeros da função de transferência Avaliar a resposta temporal Projeto de controladores de forma simples Sistemas de Controle 12 Transformada de Laplace Equações diferenciais lineares Transformadas de Laplace equações algébricas Permite empregar métodos para soluções de equações algébricas para resolver equações diferenciais lineares invariantes no tempo A definição de transformada de Laplace é dada na equação a seguir Sistemas de Controle 0 st F s f t e dt f t s j 13 Transformada de Laplace Exemplo Determine a transformada de Laplace das seguintes funções Degrau unitário Sistemas de Controle f t t 1 0 st F s f t e dt f t 0 0 0 1 0 st st t t F s t e dt e s e e s s s 1 0 0 1 t t e e 14 Transformada de Laplace Exemplo Determine a transformada de Laplace das seguintes funções Exponencial Sistemas de Controle at f t e t 1 0 st F s f t e dt f t 0 0 0 0 1 0 at st s a t s a t s a s a F s e e dt e dt e s a e e s a s a s a 0 0 1 t t e e 15 Transformada de Laplace Exemplo Determine a transformada de Laplace das seguintes funções Delta de dirac Sistemas de Controle 1 0 0 0 t t t 0 st F s f t e dt f t 0 0 1 st F s e dt 16 Transformada de Laplace A transformada de Laplace da derivada de uma função 𝒇𝒕 é dada por onde 𝒇𝟎 é o valor inicial de 𝒇𝒕 calculado em 𝒕 𝟎 Sistemas de Controle 0 d f t sF s f dt 17 Transformada de Laplace A generalização para o caso de derivada de ordem n de 𝒇𝒕 é obtida de modo similar e é dada pela seguinte equação Onde são as derivadas temporais sucessivas de 𝒇𝒕 avaliadas em 𝒕 𝟎 Sistemas de Controle 18 Transformada de Laplace ci nulas Derivação As derivadas temporais devem ser substituídas pelo operador s estabelecendose a equivalência entre os domínios tempo e frequência Integração Existe também uma equivalência entre os domínios tempo e frequência para operação de integração conforme Sistemas de Controle 19 Transformada de Laplace Exemplo 1 Saída yt Condições iniciais posição inicial y0 1 velocidade inicial dydt0 0 Equação diferencial Transformada de Laplace Sistemas de Controle 21 Transformada de Laplace Sistemas de Controle Exemplo 1 Saída yt Condições iniciais posição inicial y0 1 velocidade inicial dydt0 0 22 Transformada de Laplace Sinais de entrada e suas Transformadas de Laplace No exemplo foi mostrada a transformação de uma equação diferencial de um sistema dinâmico Sinal de entrada Sistema não possuía nenhum sinal excitando o sistema força externa Somente foi considerado um deslocamento inicial na direção da coordenada y Sendo assim necessitaríamos realizar a transformada de Laplace do sinal de excitação do sistema Sistemas de Controle 23 Transformada de Laplace Sistemas de Controle Gráfico Nome ft Fs 25 Transformada de Laplace Sistemas de Controle Gráfico Nome ft Fs 26 Transformada de Laplace Sistemas de Controle Gráfico Nome ft Fs sin t 27 Transformada de Laplace Sistemas de Controle 28 Transformada de Laplace Sistemas de Controle 29 Transformada Inversa de Laplace O sinal de saída Ys é obtido pelo produto entre o sinal de entrada Us e a função de transferência Gs A resposta temporal yt de um sistema linear descrito pela função de transferência Gs e alimentado por um sinal de entrada Us é dada pela transformada inversa de Laplace Sistemas de Controle 1 1 y t G s U s Y s Y s G s U s 30 Transformada Inversa de Laplace A Transformada inversa de Laplace de uma função no domínio da frequência é dada pela seguinte expressão onde c é uma constante real maior do que as partes reais de todos os pontos singulares da Fs Sistemas de Controle 1 c j st c j f t F s e ds F s 31 Transformada Inversa de Laplace Muitas vezes para a determinação da transformada inversa de Laplace utilizase resultados já existentes em tabelas que apresentam a função no domínio tempo e sua equivalente no domínio da frequência Nem sempre teremos uma função tabelada Como proceder Sistemas de Controle 32 Frações Parciais Dependendo do grau da função Fs é necessário fracionála Assim podemos ter uma resolução mais simples Podese utilizar Expansão por Frações Parciais Sistemas de Controle 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 n n n F s F s F s F s f t F s F s F s F s f t f t f t f t 33 Expansão por Frações Parciais O método de frações parciais usando diretamente o sinal de saída no domínio s baseiase no tipo de raízes do denominador da função Dependendo das raízes podese ter três métodos diferentes de obtenção da resposta temporal Tais métodos serão apresentados a seguir Sistemas de Controle 34 Expansão por Frações Parciais Exemplo resposta temporal Saída yt Condições iniciais posição inicial y0 1 velocidade inicial ሶ𝑦0 0 Equação diferencial Transformada de Laplace Sistemas de Controle 35 Expansão por Frações Parciais 1º Caso Função com raízes do denominador reais e distintas Se m1kg b52 Nsm k 100 Nm o sistema massa mola amortecedor apresentará uma resposta de saída dada pela seguinte equação Sistemas de Controle 36 Expansão por Frações Parciais Para determinar A e B substituise as raízes do denominador no numerador de Ys como mostrado abaixo Sistemas de Controle 2 50 2 52 2 50 50 2 50 48 s Se s s A s B s B B 52 2 50 s A s B s 50 2 50 52 2 50 2 50 2 48 s Se s s A s B s A A 2 2 50 52 48 48 52 100 50 2 s Y s s s s s 37 Expansão por Frações Parciais Sistemas de Controle 2 2 50 52 48 48 52 100 50 2 s Y s s s s s 1 1 2 50 48 48 50 2 y t s s 50 2 2 50 48 48 t t y t e e 1 1 e at s a 38 Expansão por Frações Parciais Sistemas de Controle 1 1 2 50 48 48 50 2 y t s s 50 2 2 50 48 48 t t y t e e 2 52 52 100 50 2 s A B Y s s s s s 50 52 2 50 50 2 48 s s A s s s 2 52 50 2 50 2 48 s s B s s s 1 s p A G s s p 39 Expansão por Frações Parciais Sistemas de Controle 2º Caso Função com raízes do denominador reais iguais Se m1kg b20 Nsm k 100 Nm Para encontrar A e B 2 2 2 20 10 20 100 10 10 20 100 s A B A B s Y s s s s s s s 20 10 1 10 s Bs A B B A 40 Expansão por Frações Parciais Sistemas de Controle 1 1 2 10 1 10 10 y t s s 1 1 1 1 1 n at n t e s a n 10 10 10 t t y t te e 2 2 20 10 1 20 100 10 10 s Y s s s s s 41 Expansão por Frações Parciais Sistemas de Controle Para encontrar os coeficiente de forma genérica podese Substituir qualquer valor de s na função Ou derivar a equação no seguinte formato 1 1 1 1 1 12 1 n n n n n n s p n n m m s p A A A Y s s p s p s p A s p G s d A s p G s m n m ds 1 1 2 10 1 10 10 y t s s 10 10 10 t t y t te e 2 2 2 10 20 10 10 10 s s A s s 2 1 2 10 20 10 10 s d s A s ds s 1 10 20 1 s d A s ds 42 Expansão por Frações Parciais Sistemas de Controle 3º Caso Função com raízes do denominador complexas conjugadas Se m1kg b12 Nsm k 100 Nm Para encontrar A e B se igualam os termos do numerador 2 2 2 12 12 100 6 8 6 8 s As B As B Y s s s s j s j s 2 2 2 2 2 2 6 12 100 2 6 8 8 s s s s s 12 1 12 s As B A B Para encontrar e igualamos os termos do denominador 43 Expansão por Frações Parciais Sistemas de Controle 2 2 2 2 12 12 100 6 8 075 6 8 6 8 s Y s s s s s s 2 2 2 2 sin cos at at e t s a s a e t s a 1 2 1 2 2 8 075 6 8 6 6 8 y t s s s 6 6 cos8 075 sin8 t t y t e t e t 1 2 2 2 2 2 2 B A s As B Y s s s s 1 1 12 16 075 8 A s B As B B A B 44 Teoremas do Valor Final e Inicial 1 Utilizados para determinar os valores iniciais e finais que a função ft assumirá no domínio do tempo transformada inversa de Laplace de Fs 2 Não requer o cálculo prévio da resposta temporal de uma função genérica Sistemas de Controle 45 Teorema do Valor Inicial Desejamos saber o valor de f 0 Usamos a propriedade da diferenciação Aplicamos o limite em ambos os termos Sistemas de Controle 0 0 st df df sF s f e dt dt dt 0 lim 0 lim 0 0 lim st s s s df sF s f e dt dt f sF s 46 Teorema do Valor Final Desejamos saber o valor de Usamos a propriedade da diferenciação Aplicamos o limite em ambos os termos Sistemas de Controle 0 0 st df df sF s f e dt dt dt 0 0 0 0 0 0 lim 0 lim lim 0 t s s s df sF s f e dt df f f dt f 0 lim s f sF s 47 Transformada Inversa de Laplace Encontre a resposta à entrada tipo degrau unitário das seguintes equações diferencias assumindo que as CI são nulas 1 2 3 Sistemas de Controle 1 20 75 75 y t y t y t t 1 20 100 100 y t y t y t t 1 20 200 200 y t y t y t t 1 15 5 e 3e 2 2 t t y t 1 10 10 10 e e t t y t t 1 10 e cos 10 sin 10 t y t t t 1 48 Transformada Inversa de Laplace Encontre a das seguintes FT 1 2 3 Sistemas de Controle 1 3 2 1 1 6 2 3 s s G s s s s s s s 1 2 2 2 4 13 7 2 3 7 s As B C G s s s s s s 3 1 2 s G s s s 2 3 3e 2e 1 10 15 6 t t g t 1 2 7 sin 3 7e cos 3 21 7e 34 34 t t t t g t 2 2 e 2e 2e 2 e 2 t t t t t g t t 49 Função de transferência Encontre a função de transferência das seguintes ED e a ED da FT 1 2 3 Sistemas de Controle 2 dc t c t r t dt 3 2 2 3 2 2 3 7 5 4 3 d c t d c t dc t d r t dr t c t r t dt dt dt dt dt 2 2 1 6 2 Y s s G s U s s s 50