Bases Fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral

08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 112 Introdução Autoria Thiago Fernando Mendes Revisão técnica Sheila Motta Steffen do Nascimento Bases da matemática para ciências UNIDADE 3 BASES FUNDAMENTAIS DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 212 Diversas pesquisas principalmente no âmbito da educacional evidenciam que a matemática é considerada uma disciplina difícil seja por conta de sua linguagem própria seja pelo nível de abstração exigido para a compreensão de seus conceitos seja pelo estigma existente de que poucos nasceram com o talento especial para se dar bem na matéria Você concorda com tudo isso A verdade é que assim como qualquer outra área do conhecimento para aprender matemática é necessário ter muita dedicação pois na disciplina os conceitos se inter relacionam Isto é para aprender sobre derivada você precisa ter compreendido as propriedades que se aplicam às diferentes funções matemáticas Já para aprender a integração é necessário que conheça as definições e propriedades de derivação Além disso por fazer parte da grade curricular apenas da matemática do Ensino Superior a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e especificamente o conteúdo de integrais é motivo de grande parte das evasões e repetências na graduação No entanto assim como os conteúdos anteriores nesta unidade após conhecermos as principais propriedades definições e técnicas relacionadas às integrais discutiremos algumas aplicações práticas desses conhecimentos no sentido de significarmos o que aprendemos Afinal você já ouviu falar em integrar uma função Sabe o que isso significa Para que serve em nosso cotidiano São essas questões que buscaremos responder a partir de agora Bons estudos 31 Integral e o Teorema Fundamental do Cálculo O cálculo diferencial e integral sendo referido ao longo desta unidade apenas como cálculo é sem dúvidas uma ferramenta ou um mecanismo matemático que por ser um dos mais importantes avanços no campo da matemática em toda a história tem impacto direto em diversas outras ciências O filme Estrelas Além do Tempo dirigido por Theodore Melfi é baseado em uma história real que narra a trajetória de uma equipe de cientistas da NASA formada por três mulheres afroamericanas que durante a Guerra Fria no auge da corrida espacial entre Estados Unidos da América e Rússia provaram ser os elementos necessários para a vitória dos EUA nessa disputa Você quer ver 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 312 A história da matemática é a área capaz de nos responder com precisão qual é a origem do cálculo mas para nós basta sabermos que suas primeiras descobertas estão relacionadas à física Mais especificamente como nos ensina Devlin 2010 p 2425 está ligada ao movimento dos planetas e a queda dos corpos na terra ao funcionamento das máquinas ao fluxo dos líquidos à expansão dos gases e às forças físicas tais como o magnetismo e a eletricidade Com isso podemos perceber que desde a sua origem na Idade Moderna nos trabalhos de Gottfried Wilhelm Leibniz 16461716 e Isaac Newton 16421727 a aplicação prática do cálculo era bastante evidente Atualmente isso não é diferente conforme veremos ao longo deste tópico Acompanhe o conteúdo 311 Antiderivadas e integração indefinida Dizemos que uma função é uma antiderivada de uma função em dado intervalo se para todo no intervalo Por exemplo sendo uma constante o que significa que pode assumir qualquer valor real Apesar de ser originado na Idade Moderna foi na era contemporânea que houve uma abordagem mais rigorosa do cálculo quando conceitos importantes como continuidade funções séries limites derivadas e integrais foram explorados com detalhes em estudos espacial Elas lideraram o que ainda hoje é reconhecido como uma das maiores operações tecnológicas registradas na história americana Superando as barreiras e os preconceitos da época as cientistas Katherine Johnson Dorothy Vaughan e Mary Jackson se tornaram verdadeiras heroínas da nação No filme percebemos como a física faz uso intensivo do cálculo diferencial e integral principalmente nas cenas em que as personagens exploram eletricidade e magnetismo Vale assistir Ao se estruturar uma disciplina de cálculo diferencial e integral é comum seguirmos a ordem funções derivadas e integrais Isso se dá devido à complexidade dos assuntos o que de modo geral segue essa ordem crescente No entanto estudos na área de história da matemática e filosofia já comprovaram que o desenvolvimento das teorias de integrais e derivadas se deu de modo inverso ou seja primeiro foram definidas as propriedades de integrais e a partir disso deuse início à construção da Teoria das Derivadas VARBERG 2007 Você sabia 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 412 dos quais se sobressaíram matemáticos como August Louis Cauchy 17891857 Georg Friedrich Bernhard Riemann 18261866 e Karl Theodor Wilhelm Weiertrass 18151897 August Louis Cauchy foi quem apresentou uma das primeiras definições para o conceito de limites o que foi fundamental para posteriormente a estruturação das integrais De acordo com Boyer 2019 p 355 segundo o matemático quando valores sucessivos atribuídos a uma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo de modo a acabar diferindo dele por tão pouco quanto se queira esse último chamase o limite dos outros todos Essa definição foi aperfeiçoada por Karl Theodor Wilhelm Weiertrass sendo reescrita de uma maneira que formalmente designa aquilo que tempos depois acabou sendo conhecido como a integração de uma função Conforme Garbi 2009 p 299 para Weierstrass uma função tem por limite o valor no ponto se dado tão pequeno quanto se queira existir tal que para todo Mais tarde dedicandose a diferentes áreas da matemática como análise Teoria dos Números geometria e outras Georg Friedrich Bernhard Riemann desenvolveu a chamada equação de CauchyRiemann Conforme ressalta Alessio 2019 reconhecido pelo refinamento da definição de integral Riemann considerou uma curva limitada por determinado intervalo e a área que tal curva formava juntamente com o eixo das abscissas Contudo antes de discutirmos especificamente a questão da somatória e do cálculo de áreas proposto por Riemann vale elencarmos algumas propriedades das integrais indefinidas que nos auxiliarão a compreender as demais integrais Georg Friedrich Bernhard Riemann foi um matemático alemão que proporcionou valiosas contribuições para o desenvolvimento da matemática que hoje conhecemos principalmente no que diz respeito à análise real e geometria diferencial VARBERG 2007 Em síntese os estudos de Riemann foram fundamentais para a criação da chamada matemática nãoeuclidiana que pode ser entendida como uma teoria a qual afirma que o espaço possui quatro dimensões em vez de três comprimento largura e altura BOYER MERZBACH 2019 Você o conhece 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 512 Agora que conhecemos essas propriedades temos condições de avançarmos nossas discussões sobre integrais de uma função Vejamos 312 Somatório e cálculo de áreas Como citado anteriormente objetivando calcular a área que a curva formava com o eixo das abscissas Riemann reescreveu tal área a partir de figuras cujos cálculos eram mais simples No caso ele dividiu a área pretendida em retângulos e conforme seus estudos foram avançando a quantidade de retângulos que a área se dividia era cada vez maior Dessa forma obtevese uma melhor estimativa da área utilizando a aproximação da soma das áreas dos retângulos para encontrar a área total ou em outros termos a integral da função Atualmente é chamada de Integral de Riemann THOMAS 2008 Observe a figura a seguir para compreender PraCegoVer na figura temos três planos cartesianos Nestes há uma função crescente representada e uma marcação entre as retas e o eixo das abscissas retratando a área entre a curva e o referido eixo No primeiro plano cartesiano à esquerda a área está dividida em nove retângulos No segundo plano no centro da figura temos 30 retângulos Já no terceiro plano à direita há 90 retângulos Matematicamente podemos afirmar que Riemann desenvolveu a expressão a qual nos permite calcular a integral da função ou seja a área existente entre a curva e o eixo das abscissas com contínua em um intervalo Podemos observar isso na próxima figura PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano no qual está representada a curva da função Esta é limitada entre dois pontos do eixo das abscissas a e b A área entre a e o eixo entre o intervalo está destacada É importante ressaltar que a área é um valor positivo por isso se a curva estiver sob o eixo como na figura a seguir a área da região será dada por meio do módulo da integral da função PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano no qual está representada a curva da função Esta é limitada entre dois pontos do eixo das abscissas a e b abaixo deste A área entre e eixo entre o intervalo está destacada Figura 1 Aproximação da área da curva pela soma das áreas dos retângulos Fonte ALESSIO 2019 p 29 Figura 2 Área da curva delimitada pelos intervalos Fonte ALESSIO 2019 p 29 Figura 3 Área da curva delimitada pelos intervalos Fonte Elaborada pelo autor baseada em FROES FÁBREGA GERALDINE 2016 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 612 Além disso haverá casos em que as áreas estarão parcialmente sob o eixo como ilustrado na figura a seguir Dessa maneira a área total será a soma do módulo das áreas parciais Assim temos PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano no qual está representada a curva da função Esta é limitada entre dois pontos do eixo das abscissas a e b estando parcialmente acima e parcialmente abaixo deste A área entre e eixo entre o intervalo está destacada Também há a possibilidade de a área a ser estudada não estar delimitada pelos eixos do plano cartesiano mas sim por duas funções matemáticas distintas Nesse caso a área será definida pela integral da diferença entre as funções e PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de 0 a 3 e eixo das ordenadas indo de 0 a 25 Está representada uma área delimitada por duas funções distintas que seriam e Tal teoria trouxe contribuições para diversas áreas da matemática inclusive outras teorias que questionavam uma série de conceitos na época bastante consolidados e tidos como verdades absolutas como é o caso da geometria euclidiana Dessa forma podemos dizer que a somatória de Riemann foi a base para o que conhecemos hoje como integral definida conforme será discutido na sequência No entanto antes de seguirmos com o conteúdo vamos realizar uma atividade prática para fixarmos os conhecimentos adquiridos até aqui Figura 4 Área da curva delimitada pelos intervalos Fonte Elaborada pelo autor baseada em FROES FÁBREGA GERALDINE 2016 Figura 5 Área delimitada pelas funções e Fonte Elaborada pelo autor baseada em FROES FÁBREGA GERALDINE 2016 Considerando as propriedades de integrais de uma função como devemos proceder para determinar Vamos Praticar 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 712 32 Integral definida Se é uma função contínua definida em então a integral definida de de e é dada por Com isso temos que o Teorema Fundamental do Cálculo TFC é o seguinte A aplicabilidade de integrais no cálculo de antiderivadas é bastante comum principalmente no estudo de fenômenos que envolvem conceitos da física É sabido que a função velocidade é calculada a partir da derivação instantânea da função posição Além disso a função aceleração é a derivação da função velocidade Nesse contexto imagine que estudantes de engenharia de trânsito descobriram que a taxa de variação de deslocamento ou seja a velocidade de determinado veículo em uma avenida é descrita por Desse modo para determinarem a distância percorrida pelo veículo em qualquer intervalo de tempo basta calcular a integral de Sendo assim fazendo uso do teorema para encontrarmos a integral definida da função no intervalo precisamos seguir dois passos conforme observamos a seguir Acompanhe se então derivada de g de x é igual a f de x em que é qualquer primitiva de Caso Primeiro passo 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 812 Assim como as integrais indefinidas as definidas também são regidas por uma série de propriedades as quais serão descritas com detalhes no próximo item Vamos continuar nossos estudos 321 Propriedades das integrais definidas e integrais impróprias As propriedades das integrais definidas conforme elenca Thomas 2008 podem ser resumidas nas seguintes Conhecendo tais propriedades consideremos agora o problema de integrar uma função em um intervalo infinito nos reais Nesse caso podemos perceber que não é possível definir as somas de Riemann como estávamos fazendo até agora em um intervalo infinito uma vez que qualquer subdivisão de contém um número infinito de retângulos FERNANDES 2014 p 42 Logo temos o que conhecemos como integral imprópria Nesse contexto o que pode ser feito é o seguinte escolheremos um número grande mas finito Calcularemos então a Integral de Riemann de em e posteriormente tomaremos o limite Matematicamente Faccin 2015 define tudo isso da seguinte maneira seja uma função contínua Se o limite existir e for finito diremos que a integral imprópria converge Caso contrário ela diverge Integrais impróprias para se definem da mesma maneira ou seja Sabendo disso vamos colocar nossos conhecimentos em uma atividade A seguir temos um questão bem interessante a ser solucionada Leia com atenção e tente resolvêla com o que aprendeu até o momento Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada Segundo passo 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 912 Com todas essas informações já temos condições de explorarmos a aplicação das integrais em problemas relacionados à natureza e a biossistemas 322 Problemas relacionados à natureza e a biossistemas Para estudarmos a aplicação dos conceitos de integral iremos explorar uma situação relacionada à propagação de doenças adaptada do livro EnsinoAprendizagem com Modelagem Matemática de Rodney Carlos Bassanezi A situação exposta na obra é a seguinte Nesse caso o questionamento se refere ao processo de comprometimento de um estoque de maçãs sujeito à contaminação das frutas Logo nossos dados são Além disso temos que se então ou seja em 12 dias aproximadamente 80 das maçãs estarão podres Seguindo os pressupostos da modelagem matemática ainda para o caso precisamos assumir como hipótese que a velocidade de propagação da doença é proporcional à proximidade entre uma maçã contaminada e outra sadia BASSANEZI 2002 Dessa forma temos que a velocidade de propagação pode ser entendida como o aumento nessa situação com relação ao tempo em dias da quantidade de maçãs podres Para conhecer outros problemas de matemática relacionados à aplicação de integrais em situações cotidianas indicamos a leitura do livro Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática A obra escrita por Rodney Carlos Bassanezi apresenta uma série de problemáticas oriunda de situações cotidianas inclusive relacionadas à natureza e a biossistemas cujas resoluções matemáticas são descritas com detalhes Vale a leitura Você quer ler A armazenagem de maçãs é feita em câmaras frigoríficas em que as frutas são depositadas em caixas de madeiras sobrepostas e que neste caso em específico suportam 380 kg de frutas o que corresponde a aproximadamente 2500 maçãs Quando alguma fruta está podre a doença se propaga rapidamente contaminando as demais ao seu redor Sabese que em sete dias metade das maçãs da caixa estão contaminadas BASSANEZI 2002 p 253 é a população contaminada ou seja a quantidade de maçãs podres corresponde à população em uma caixa é o tempo em dias de propagação da doença 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 1012 Utilizando um modelo contínuo para a variação populacional temos que representa a velocidade de propagação Como a população total é constante e igual a a população sadia é dada por Logo da hipótese formulada para a epidemia podemos escrever o modelo seguinte em que é a taxa de contaminação considerada constante para cada doença Nesse sentido na equação estamos supondo que a proximidade entre as frutas contaminadas e sadias é modelada como sendo proporcional ao produto delas BASSANEZI 2002 Para solucionarmos a situação fazemos uso do processo de integração na primeira equação Resolvendo separadamente as duas integrais temos que Dos resultados e temos que Explicitando a variável em função de temos Agora para determinarmos o valor da constante iremos considerar as condições próprias da situação a saber e Assim Logo Além disso temos a informação de que quando uma maçã está contaminada após 15 dias 80 das frutas da mesma caixa estarão podres ou seja Substituindo tal informação na equação obtemos a taxa de contaminação ou ainda Por outro lado se precisarmos fazer previsões da propagação da doença devemos ter o tempo em função da porcentagem de frutas contaminadas ou seja Dessa maneira substituindo o valor na equação temos que ou Por fim aplicando o valor de em obtemos Dessa maneira por exemplo para se ter 50 das frutas podres em uma caixa com 2500 maçãs o tempo será de dias Ademais a partir desse modelo também podemos inferir que se então ou seja basicamente depois de 16 dias todo o estoque de uma caixa estará estragado Vamos realizar outra atividade para fixar melhor os conhecimentos adquiridos Acompanhe a questão a seguir e tente resolvêla 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 1112 Como pudemos perceber a situação explorada neste item é só um dos muitos exemplos que poderíamos ter abordado sobre o uso de integrais na resolução de problemas cotidianos alguns inclusive não matemáticos como o do apodrecimento de maçãs Nesse linha de pensamento vamos a mais uma atividade prática Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada Um colecionador comprou uma antiguidade por R 150000 de uma artesã cuja variação do valor dos trabalhos aumenta de acordo com a fórmula em que é o valor estimado de uma obra anos após sua compra Considerando que essa fórmula permaneça válida pelos próximos anos qual será o valor previsto para a antiguidade daqui a quatro anos Vamos Praticar Chegamos ao fim de mais uma unidade de estudos Nosso foco foi discutirmos os conceitos as propriedades e algumas aplicabilidades da integral de uma função para analisarmos matematicamente algumas situações cotidianas Nesta unidade você teve a oportunidade de Conclusão conhecer a definição de antiderivadas integração definida e integração indefinida discutir o Teorema Fundamental do Cálculo assim como a somatória de Riemann ter acesso à uma série de propriedades das integrais definidas indefinidas e impróprias compreender algumas aplicabilidades do conhecimento de integrais na matemática como na determinação de uma 08032022 1521 Bases da matemática para ciências httpsambienteacademicocombrcourseviewphpid6181 1212 área abaixo de uma curva no plano cartesiano explorar um problema relacionado à natureza e a biossistemas especificamente referente à propagação de uma doença dentro de um estoque de frutas ALESSIO A A importância do cálculo diferencial e integral para a formação do professor de matemática da Educação Básica 2019 Dissertação Mestrado em Matemática Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Presidente Prudente 2019 Disponível em httpsrepositoriounespbrbitstreamhandle11449181116alessioamesjrppd fsequence3isAllowedy httpsrepositoriounespbrbitstreamhandle11449181116alessioamesjrpp dfsequence3isAllowedy Acesso em 9 dez 2020 BASSANEZI R C Ensinoaprendizagem com modelagem matemática São Paulo Contexto 2002 BOYER C B MERZBACH U C História da matemática São Paulo Blucher 2019 DEVLIN K O gene da matemática 5 ed Rio de Janeiro Record 2010 ESTRELAS além do tempo Direção Theodore Melfi Estados Unidos Fox Film do Brasil 2017 1 DVD 127 min son color FACCIN G M Elementos de cálculo diferencial e integral São Paulo InterSaberes 2015 FERNANDES D B org Cálculo diferencial São Paulo Pearson Education Brasil 2014 FROES A L D FÁBREGA F M GERALDINE D Cálculo diferencial e integral II São Paulo Editora e Distribuidora Educacional SA 2016 THOMAS G B Cálculo São Paulo Pearson 2008 v 1 VARBERG E J P D Cálculo diferencial e integral São Paulo Pearson Education Brasil 2007 Referências