Aplicações Gerais do Cálculo Diferencial e Integral

1 BASES DA MATEMÁTICA PARA CIÊNCIAS UNIDADE 2 APLICAÇÕES GERAIS DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Autoria Thiago Fernando Mendes Revisão técnica Sheila Motta Steffen do Nascimento 2 Introdução Nós já sabemos que vários fenômenos cotidianos podem ser representados por meio de uma linguagem matemática ou mais especificamente uma função No entanto você saberia como analisar matematicamente o comportamento de um fenômeno a partir de sua representação matemática Além disso muitos dos fenômenos que analisamos estão relacionados a taxas de variação preço de algum produto taxa de crescimento de um população velocidade de disseminação de um vírus em uma cidade entre inúmeros outros Assim considerando que tais fenômenos estejam representados a partir de uma função matemática você saberia determinar valores instantâneos Isto é você saberia dissertar sobre o comportamento da função em um período específico São para essas e outras aplicações que fazemos uso da derivada da função Por isso nesta segunda unidade começaremos a colocar em prática alguns conceitos que revisitamos anteriormente principalmente os relacionados a diferentes funções matemáticas e algumas propriedades algébricas A partir de agora usaremos tais propriedades para analisar a derivação de funções com diversos propósitos Discutiremos alguns destes mas vale lembrar que não podemos generalizar as aplicações que podem ser atribuídas à derivação Em síntese nossos objetivos serão discutir as definições de derivadas e retas tangentes compreender a taxa de variação e suas diferentes formas de representação explorar técnicas de diferenciação bem como discutir extremos das funções Teorema do Valor Médio métodos gráficos e problemas de otimização Bons estudos 21 Derivada de uma função Ao iniciarmos nossas discussões a respeito do cálculo diferencial e integral precisamos falar da derivada de uma função pois ela está relacionada à taxa de variação da função às vezes representada graficamente pela curva e à tangente da curva o que nos permitirá fazer uma série de análises Thomas 2008 nos alerta que a tangente da curva existe em qualquer ponto e a inclinação da tangente representa a taxa de variação naquele ponto 3 Nesse sentido podemos dizer que a é uma medida da inclinação de uma reta tangente a cada derivada ponto da função que lhe deu origem FACCIN 2015 p 47 grifo nosso Além disso é uma função que fornece valores relativos úteis Em todo caso temos muito o que extrair das funções e principalmente de suas derivadas pois elas nos fornecem múltiplas funções para manipular os valores destas suportam formas distintas de extração de informações trazem novas representações e nos permitem diferentes modos de analisar dados numéricos É importante ressaltar que assim como existem diversos tipos de funções também existirão várias representações e consequentemente distintas maneiras para se fazer a análise da derivada da função É especificamente sobre isso que trataremos ao longo deste tópico Acompanhe o conteúdo 211 Definições de derivadas retas tangentes e taxa de variação Há vários modos de representar a derivada de uma função em que a variável independente é e a dependente é Fernandes 2014 nos ensina que a derivada de uma função em relação a denotada por é dada por se o limite existir Por exemplo a derivada da função é dada por em que temos Você sabia Todo o desenvolvimento do cálculo diferencial está intimamente ligado à questão das tangentes Desde a época dos gregos antigos já se conhecia a reta tangente como sendo uma reta que intercepta uma curva em um único ponto generalizando a situação observada no caso da circunferência No entanto na realidade essa ideia era demasiadamente imprecisa Assim foi necessário um aprofundamento das teorias para que se pudesse dar um tratamento mais rigoroso à questão da reta tangente à uma curva Tal tratamento deu origem aos fundamentos que conhecemos hoje como cálculo diferencial e integral THOMAS 2008 Você quer ler Para conhecer um pouco mais sobre as potencialidades da análise de derivadas de funções com foco em procedimentos matemáticos básicos indicamos a leitura do livro A obra organizada por Patrick Jones e 1001 Problemas de Cálculo para Leigos distribuída digitalmente pela plataforma Amazon apresenta uma série de problemáticas oriundas de situações cotidianas que demandam entre outros recursos a aplicação da derivada de funções Nas palavras do organizador cálculo só pode ser aprendido por meio de muita prática então nada melhor do que solucionar mais de 1000 problemas sobre o tema Tire um tempo para a leitura 4 Uma aplicação interessante da derivada é a análise da tendência da função O resultado da derivada está relacionado à inclinação da linha tangente ao ponto pois as coordenadas cartesianas têm diferenças óbvias devido a mudanças nos dois primeiros quadrantes do plano cartesiano GONÇALVES FLEMMING 2006 Assim a análise da reta tangente nos fornece informações relevantes para analisarmos o comportamento de determinados fenômenos e as funções resultantes Matematicamente a reta tangente de em é a reta que passa em cuja é igual a inclinação com derivada de em Temos dessa maneira A equação da reta tangente é dada por A representação gráfica da reta tangente é ilustrada a seguir Figura 1 Reta tangente à curva em 4 0 Fonte Elaborada pelo autor 2020 5 PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de 2 a 6 e eixo das ordenadas indo de 4 a 4 Há uma parábola crescente representando o comportamento gráfico da função Além disso há uma reta tangente à essa curva passando pelo ponto 4 0 Ainda sobre os conceitos que circundam a temática derivada de uma função temos a chamada taxa de variação Com o intuito de explicar em termos mais simples a definição dessa taxa Fernandes 2014 p 17 exemplifica da seguinte forma de maneira efetiva temos um total x de porções T em n recipientes Essa simples representação mostra como uma taxa é estabelecida Tal razão é uma relação linear que pressupõe o comportamento da dependência direta entre os itens Caso seja necessário traçar um gráfico dessa taxa devese alterar o número de elementos e calcular o valor de nele mantendo o constante em que teremos uma reta Vale lembrar no entanto que podemos considerar que a taxa constante mas na natureza e em nosso dia a dia as situações que encontramos raramente mostram a constância observada nessa equação Portanto a taxa de variação pode ser definida como uma razão relacionada à uma reta que compara a variação vertical com a horizontal conforme ilustrado a seguir Figura 2 Representação gráfica da taxa de variação Fonte STEWART 2016 p 48 PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas e ordenadas não numerados Há uma representação gráfica geral em que foram marcados dois pontos P e Q A partir destes são destacadas as distâncias ou seja e ou seja Além disso há uma reta tangente passando pelo ponto P e uma reta secante passando pelos pontos P e Q Assim conforme representado na figura anterior o quociente das diferenças se dá por denominado taxa média de variação de em relação à no intervalo podendo ser interpretado como a inclinação da reta secante PQ 6 reta secante PQ O limite dessas taxas médias de variação e chamado de taxa instantânea de variação de em relação a em a qual e interpretada como a inclinação da tangente a curva em Dessa forma a taxa instantânea de variação é dada por Agora conhecendo as definições de derivada de uma função reta tangente e taxa de variação temos condições de explorar algumas das principais regras de derivação que utilizaremos com a maioria das funções conforme será discutido na sequência Confira o item a seguir 212 Técnicas de diferenciação Como já mencionado anteriormente há variadas formas de representar a derivada de uma função Se usarmos a notação tradicional para indicar que a variável independente e enquanto a variável dependente e certas notações alternativas para a derivada são as seguintes ou Para indicar o valor da derivada em um número específico denotamos Isso posto é possível elencarmos algumas das principais regras de derivação ou técnicas de diferenciação Iremos começar pela em que temos derivada de uma função constante Já para a temos derivada de uma função potência A é dada por regra da multiplicação por constante Por sua vez a é dada por derivada da soma ou diferença de duas funções deriváveis A segue a ideia de que seja duas funções e deriváveis então regra do produto Em outros termos a derivada de um produto de duas funções e a derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função Já para a seja duas funções e deriváveis então Nesse caso a regra do quociente derivada de um quociente e o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador todos divididos pelo quadrado do denominador Por outro lado na se for derivável em e for derivável em então a função composta regra da cadeia definida por e derivável em e dada pelo produto Na se e temos que notação de Leibniz Você o conhece Gottfried Wilhelm Leibniz 16461716 foi um importante filósofo e matemático alemão que concebeu as primeiras e principais ideias de cálculo diferencial e integral independentemente dos desenvolvimentos contemporâneos de Isaac Newton 1643 1727 As notações matemáticas desenvolvidas por Leibniz favoreceram o avanço dos estudos em cálculo enquanto a notação de Newton ficou sem uso por muitas décadas Leibniz foi um dos inventores mais prolíficos no campo das calculadoras mecânicas sendo o primeiro a descrever uma calculadora desse tipo no ano de 1685 Além disso também foi o responsável por refinar todo o sistema de números binários o que se 7 Ainda podemos mencionar a em que a função é diferenciável para derivada de função logarítmica todo Assim temos que Dessa maneira a derivada do logaritmo geral é dada por Agora antes de passarmos para a última regra de derivação vamos aplicar nossos conhecimentos adquiridos até aqui em um exercício Acompanhe a seguir Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada Voltando à nossa última regra para seja a função Sua derivada é dada derivada e função exponencial por Desse modo a derivada da função é dada por Agora que já conhecemos as primeiras regras de derivação temos condições de explorar especificamente meios de estudarmos os comportamentos das funções como seus extremos e comportamentos gráficos Continue os estudos 22 Aplicações da derivada de uma função Com relação à aplicabilidade do conhecimento de derivada de uma função Thomas 2008 esclarece que podemos utilizar todas as informações fornecidas pela derivada para desenhar por exemplo a curva de função Além disso ainda para o autor também podemos usar essas informações para lidar com problemas de otimização Quando tentamos encontrar por exemplo os extremos superiores e inferiores nós a otimizamos Para maximizar o lucro de determinada operação financeira ou minimizar o risco de uma ação corporativa entre também foi o responsável por refinar todo o sistema de números binários o que se tornaria a base dos computadores digitais atuais BOYER MERZBACH 2019 Caso A eficácia de um medicamento é determinada a partir da análise da função matemática que representa a concentração deste no corpo humano Por exemplo um laboratório farmacêutico após vários estudos determinou que a eficácia de um analgésico em uma escala de 0 a 1 horas após penetrar na corrente sanguínea é dada por com Assim para que o laboratório possa determinar a taxa de variação da eficácia desse medicamento em qualquer período de tempo específico basta utilizar a derivada de Caso deseje conhecer a variação da eficácia na primeira hora basta substituir por 1 na função derivada resultando em 8 Para maximizar o lucro de determinada operação financeira ou minimizar o risco de uma ação corporativa entre outros exemplos Assim neste tópico focaremos em alguns desses elementos que nos são propiciados a partir da análise da derivada de uma função Vamos em frente 221 Extremo de funções e Teorema do Valor Médio Antes de falarmos especificamente sobre os extremos de uma função e o Teorema do Valor Médio precisamos compreender a questão dos intervalos de crescimento e decrescimento de uma função A respeito desse assunto Boulos e Camargo 2006 esclarecem que seja uma função contínua em um intervalo fechado diferenciável no intervalo aberto De acordo com o existe um Teorema do Valor Médio número em tal que Segundo Thomas 2008 p 47 Geometricamente o Teorema do Valor Médio diz que se é uma função suave que liga os pontos e existe um ponto entre e tal que a reta tangente ao gráfico de em é paralela à reta secante que passa por A e por B Além disso se em um intervalo então e nele Por outro lado se em um crescente intervalo então e nele decrescente Por exemplo para determinarmos de que forma a função e crescente e decrescente inicialmente encontramos a A representação gráfica da função é apresentada na figura a seguir 9 Figura 3 Representação gráfica de Fonte Elaborada pelo autor 2020 PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de 10 a 40 e eixo das ordenadas indo de 25 a 15 Há uma curva representando a função de quarto grau Nesse sentido utilizando a regra da derivação de uma função potência temos que Observe a figura na sequência 10 Figura 4 Representação gráfica da função Fonte Elaborada pelo autor 2020 PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de 10 a 40 e eixo das ordenadas indo de 25 a 15 Há uma curva representando a função de terceiro grau A função de terceiro grau anterior também pode ser escrita colocando o fator comum em evidência ou por agrupamento Para melhor visualização em que temos Isso feito precisamos encontrar para quais valores Assim seguimos com o cálculo com e Agora para analisarmos qual é o sinal da nos intervalos encontrados basta escolhermos um ponto qualquer dentro do intervalo desejado Dessa forma podemos mencionar intervalo 1 intervalo 1 0 intervalo 0 2 intervalo 2 Nesse contexto considerando os intervalos de crescimento e decrescimento da função temos que a se comporta da seguinte maneira 11 Tabela 1 Análise do comportamento de Fonte Elaborada pelo autor 2020 PraCegoVer na tabela composta por três colunas e cinco linhas temos uma síntese do comportamento geométrico da função de acordo com os sinais assumidos pela derivada Na primeira coluna de cima para baixo temos os intervalos 1 1 0 0 2 e 2 Na segunda coluna temos os sinais e Já na última coluna quanto ao comportamento de temos decrescente crescente decrescente e crescente A partir disso podemos explorar por meio da derivada da função seus valores extremos ou seja o momento em que uma função deixa de ser crescente e passa a ser decrescente e viceversa A isso damos o nome de máximos sendo que para determinálos fazemos uso dos testes da primeira e segunda e mínimos locais da função derivadas No suponha que seja um número crítico ou seja o valor tal que de teste da primeira derivada uma função contínua Nesse caso temos três situações que você poderá ver a seguir Situação 1 Se o sinal de mudar de positivo para negativo em então tem um máximo local em Situação 2 Se o sinal de mudar de negativo para positivo em então tem um mínimo local em Situação 3 Se o sinal de é positivo à esquerda e à direita de ou negativo à esquerda e à direita de então não tem máximo ou mínimo locais em Por exemplo podemos determinar se a função possui ponto de mínimo ou máximo local Para tanto fazemos uso do estudo do sinal da derivada Assim considerando as informações constantes na tabela exposta anteriormente com relação à podemos afirmar que em temos um ponto de mínimo em temos um ponto de máximo em temos um ponto de mínimo Já com relação ao suponha que seja contínuo na proximidade de Nesse caso teste da segunda derivada temos duas situações que você poderá ver a seguir 12 Situação 1 Se e então tem um mínimo local em Situação 2 Se e então tem um máximo local em Por exemplo fazendo o teste da segunda derivada na função temos que A representação gráfica da função é apresentada na figura a seguir como podemos observar atentamente Figura 5 Representação gráfica da função Fonte Elaborada pelo autor 2020 PraCegoVer na figura temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de 10 a 40 e eixo das ordenadas indo de 25 a 15 Há uma curva representando a função de segundo grau Agora substituindo pelos valores 1 0 e 2 encontrados como máximos e mínimos locais no teste da primeira 13 Agora substituindo pelos valores 1 0 e 2 encontrados como máximos e mínimos locais no teste da primeira derivada Assim corroborando com o teste da primeira derivada no caso dessa temos que em temos um ponto de mínimo em temos um ponto de máximo em temos um ponto de mínimo Mais do que isso podemos concluir que o teste da segunda derivada nos permite uma análise com relação à concavidade e ao ponto de inflexão das funções conforme será discutido na sequência Acompanhe o conteúdo 222 Métodos gráficos concavidade e ponto de inflexão O conforme explicitado por Demana 2008 traz duas situações distintas que teste da concavidade et al devemos nos atentar se para todo em então o gráfico de é côncavo para cima em se para todo em então o gráfico de é côncavo para baixo em Para essa análise inicialmente precisamos determinar Considerando o mesmo exemplo temos que Aqui para determinarmos os pontos em que fazemos com que Simplificando a por 12 considerandoa uma equação de segundo grau temos que Você quer ver O Jogo da Imitação dirigido por Morten Tyldumé um filme que aborda de maneira explícita a aplicabilidade de conceitos matemáticos incluindo a derivada de uma função na resolução de problemas cotidianos No longa que se passa durante a Segunda Guerra Mundial o governo do Reino Unido convoca um grupo de cientistas para decifrar o código enigma usado pelos oficiais alemães para enviar mensagens aos submarinos Entre os cientistas existe o matemático Alan Turing que faz uso dos recursos matemáticos especialmente de cálculo diferencial e integral para solucionar o problema de seu estado É um filme bastante interessante para quem está estudando matemática 14 Dessa maneira para determinarmos as raízes da equação utilizamos a fórmula resolutiva da equação de segundo grau também conhecida como Realizando as substituições fórmula de Bhaskara ficamos com Com isso encontramos as duas raízes e Nesse sentido considerando os intervalos de crescimento e decrescimento da função temos que se comporta da seguinte maneira Tabela 2 Análise do comportamento de a partir da derivada segunda Fonte Elaborada pelo autor 2020 PraCegoVer na tabela composta por três colunas e quatro linhas temos uma síntese do comportamento geométrico da função de acordo com os sinais assumidos pela derivada segunda Na primeira coluna de cima para baixo temos os intervalos 055 055 122 e 122 Na segunda coluna temos os sinais e Já na última coluna quanto ao comportamento de temos côncava para cima côncava para baixo e côncava para cima novamente Além disso um ponto na curva e chamado de se for contínua no ponto e a curva ponto de inflexão mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou viceversa em Assim no exemplo explorado temos que em e há pontos de inflexão Agora antes de avançarmos no conteúdo vamos a mais uma atividade para fixar os conhecimentos adquiridos até o momento Confira na sequência Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada É justamente a análise dos elementos discutidos neste tópico que nos permitirão fazer algumas inferências na análise do comportamento de uma série de fenômenos aos quais estão descritos em uma linguagem matemática como em problemas de otimização Vamos ao próximo item 15 223 Derivada de uma função em problemas de otimização Antes de tratarmos de um exemplo de problema de otimização precisamos mesmo que brevemente conhecer a Varberg 2007 a apresenta da seguinte maneira seja um número Teoria dos Máximos e Mínimos Absolutos no domínio de uma função No caso é valor de em se para todo em máximo absoluto valor de em se para todo em mínimo absoluto Assim de acordo com o Teorema do Valor Extremo se for contínua em um intervalo fechado então assume um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em certos números e em Em outras palavras para encontrarmos os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua em um intervalo fechado devemos encontrar os valores de nos números críticos de em encontrar os valores de nas extremidades do intervalo o maior valor entre as etapas anteriores e o máximo absoluto ao passo que o menor desses valores e o mínimo absoluto Com isso podemos elencar alguns passos necessários para resolvermos um problema de otimização Vamos conhecer quais são Passo 1 Compreenda o problema que consiste em ler e entender a situação Passo 2 Faça um diagrama indicando as quantidades dadas e pedidas Passo 3 Introduza uma notação ou seja atribua um símbolo para a quantidade que deve ser maximizada ou minimizada por ora vamos chamálo de Q Passo 4 Selecione símbolos a b c x y para outras quantidades desconhecidas colocandoos no diagrama Passo 5 Expresse Q em termos de outros símbolos da etapa anterior Passo 6 Se Q for expresso como uma função de mais de uma variável anteriormente use as informações dadas para encontrar relações na forma de equações entre essas variáveis Passo 7 Use as equações encontradas para eliminar todas menos uma das variáveis para a expressão Q Assim por exemplo Passo 8 Escreva o domínio dessa função 16 Escreva o domínio dessa função Passo 9 Use os métodos derivativos para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos de Vamos fazer um exemplo juntos Imagine se pretende estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900 metros de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio 3000 metros rio abaixo O custo para estender um cabo pelo rio é de R 500 o metro enquanto que para estendêlo por terra custa R 400 o metro Nesse caso qual é o percurso mais econômico para o cabo Figura 6 Diagrama representado a situação proposta Fonte Elaborada pelo autor baseada em FERNANDES 2014 PraCegoVer na figura temos a representação em forma de diagrama da situação proposta para análise Há um ponto representado a fábrica distante metros de um ponto que se distancia metros da usina Aqui devemos achar o valor de modo a minimizar o custo de instalação do cabo A função custo será dada por Como e não podem ser negativos a região de interesse domínio do problema é o intervalo 0 3000 Logo devemos encontrar o número crítico 17 Como deve ser positivo o número crítico é 1200 Verificando se esse valor é mínimo ou máximo absoluto temos que Dessa maneira a partir de tais análises sabemos que o custo mínimo para a instalação do cabo será de R 14700 Para obtêlo deverá percorrer 1800 metros por terra a partir da fábrica para depois ir por água até a usina Esse é um exemplo entre vários de problemas que podem ser solucionados ou apenas analisados com a aplicação do conhecimento de derivada de uma função Como vimos anteriormente a matemática está presente em várias situações cotidianas sendo que a grande maioria pode ser descrita em uma linguagem matemática função tabela gráfico entre outros Dessa forma após termos representado a situação matematicamente e lançando mão de algumas das ferramentas matemáticas que conhecemos nesta unidade podemos explorar ainda mais as situações com fundamentos para por exemplo tomadas de decisões Conclusão Chegamos ao fim de mais uma unidade de estudos Nosso foco aqui foi discutir mesmo que de maneira suscinta algumas aplicabilidades da derivada de uma função para analisarmos fenômenos que não sejam essencialmente matemáticos mas que possam ser assim descritos Nesta unidade você teve a oportunidade de conhecer a definição de derivadas retas tangentes e taxa de variação ter acesso a uma série de notações relacionadas à derivada de uma função explorar diferentes técnicas de diferenciação como derivada de uma função constante derivada de uma função potência regra da multiplicação por constante derivada da soma ou subtração de duas funções deriváveis regra do produto regra do quociente e regra da cadeia discutir extremos das funções Teorema do Valor Médio métodos gráficos e problemas de otimização Referências BOULOS P CAMARGO I de um tratamento Geometria analítica vetorial 4 ed São Paulo Pearson Universidades 2006 BOYER C B MERZBACH U C São Paulo História da matemática Blucher 2019 DEMANA F D São Paulo Pearson 2008 et al Précálculo 18 FACCIN G M São Elementos de cálculo diferencial e integral Paulo InterSaberes 2015 FERNANDES D B org São Paulo Pearson Cálculo diferencial Education Brasil 2014 GONÇALVES M B FLEMMING D M funções limite derivação integração 6 ed São Paulo Pearson Cálculo A Universidades 2006 JONES P org 2 ed Rio de Janeiro Alta Books 2014 1001 problemas de cálculo para leigos O JOGO da imitação Direção Morten Tyldum Estados Unidos Diamond Films 2015 1 DVD 115 min son color STEWART J 8 ed São Paulo Cengage Learning 2016 Cálculo THOMAS G B São Paulo Pearson 2008 v 1 Cálculo VARBERG E J P D Cálculo diferencial e integral São Paulo Pearson 2007