Somatória de Riemann e Cálculo de Área: Geometria Plana e Integral Definida

Conforme nos explica Mendes 2018 há principalmente no âmbito da educação matemática diversas pesquisas que discutem as dificuldades com relação ao processo de ensino e aprendizagem do cálculo tanto diferencial quanto integral bem como seus desdobramentos em diferentes cursos de graduação A soma de Riemann por exemplo é uma parte do cálculo integral que tem como um de seus objetivos possibilitar a chegada à uma definição formal rigorosa e precisa da integral definida a partir de uma linguagem gráfica visual associada à linguagem algébrica De acordo com alguns estudos o uso dessas diferentes representações pode auxiliar no processo de compreensão do estudante MENDES T F A derivada de uma função em atividades de modelagem matemática uma análise semiótica 2018 Dissertação Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática Universidade Estadual de Londrina Londrina 2018 Assim sendo considerando a importância da somatória de Riemann na compreensão de vários elementos o cálculo integral disserte sobre o cálculo da área de uma função qualquer delimitada pelo eixo das abscissas Em sua dissertação você deverá abordar tal cálculo a partir de conceitos da geometria plana e do cálculo integral O cálculo da área de uma função qualquer delimitada pelo eixo das abscissas é um problema fundamental no cálculo integral Uma técnica comumente utilizada para calcular essa área é a somatória de Riemann que consiste em aproximar a área sob a curva por meio de uma soma finita de áreas de retângulos Para entender melhor como funciona esse processo é necessário lembrar alguns conceitos da geometria plana A área de uma figura plana é a medida da região ocupada por ela em um plano No caso de uma função delimitada pelo eixo das abscissas podemos representar a área sob a curva como uma figura plana delimitada pelo eixo x e a própria curva Suponha que tenhamos uma função fx delimitada no intervalo a b onde a é o limite inferior e b é o limite superior desse intervalo Para calcular a área sob a curva dividimos o intervalo a b em n subintervalos iguais cada um com largura Δx ban Em seguida construímos retângulos de largura Δx e altura igual aos valores da função fxi em cada ponto xi do subintervalo onde i varia de 1 a n A área sob a curva é então aproximada pela soma das áreas dos retângulos que é dada pela seguinte expressão A Σf xi Δxi12n Ou seja a área é aproximadamente a soma dos produtos dos valores da função em cada ponto xi pelo valor do incremento Δx À medida que aumentamos o número de subintervalos ou seja n aumenta a aproximação se torna mais precisa até que a soma das áreas dos retângulos converge para a área real sob a curva A área real sob a curva pode ser obtida por meio da integral definida da função fx no intervalo a b que é dada pela seguinte expressão A a b f x dx Essa integral representa a área sob a curva da função fx no intervalo a b A técnica de somatória de Riemann é uma forma de aproximar essa integral por meio de uma soma finita de áreas de retângulos conforme explicado anteriormente Existem diferentes tipos de somatórias de Riemann como a somatória de Riemann à esquerda à direita e ao centro Cada uma dessas somatórias se baseia em diferentes pontos de cada subintervalo para determinar a altura dos retângulos A escolha da somatória de Riemann a ser utilizada depende do comportamento da função fx em cada intervalo e do objetivo específico do cálculo Além disso é possível utilizar outras técnicas de integração para calcular a área sob a curva como a integração por partes e a substituição trigonométrica Essas técnicas são especialmente úteis para funções mais complexas que não podem ser facilmente aproximadas pela somatória de Riemann Em conclusão o cálculo da área de uma função qualquer delimitada pelo eixo das abscissas pode ser realizado através da técnica de integração da somatória de Riemann que consiste em aproximar a área sob uma curva por meio de uma soma finita de áreas de retângulos A compreensão desse processo é fundamental para o estudo do cálculo integral e sua aplicação em diversas áreas da Matemática e da Física A geometria plana fornece os conceitos necessários para a visualização da área de uma figura plana enquanto o cálculo integral fornece as ferramentas matemáticas para o cálculo exato da área sob uma curva