Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Integrais: Imediatas, Substituição e Indefinidas

2 O processo de integração a depender dos recursos a serem integrados poderá ser imediato Contudo na maioria dos casos fazse necessário o uso de técnicas de integração que tornam certas funções anteriormente integradas mais complexas e simples Assim sendo com base nessas análises técnicas e em nossos estudos sobre a integral imediata assinale a alternativa a seguir que representa o resultado da integral xsenx²dx a 12senx² C b 12cosx C c 12cosx² C d 12cosx² C e 12cosx C 4 Existem várias funções matemáticas que não podem ser integradas a partir de uma regra direta No entanto ainda assim há diversos métodos integrativos que nos permitem usar recursos matemáticos para simplificar a expressão e com isso determinar a função primitiva com base em regras conhecidas Um desses métodos é chamado de substituição trigonométrica Nesse contexto considerando a integral 9x²x² dx assinale a alternativa a seguir que indica sua resolução a 9 x²x arcsenx3 b 9 x²x arcsenx3 C c 9 x²x arcsenx3 C d 9 x²x C e 9 x²x arcsenx3 5 Conforme Thomas 2008 na matemática é bastante comum nos depararmos com as chamadas operações inversas como é o caso da adição com a subtração da multiplicação com a divisão e da potenciação com a radiciação No caso da derivação a operação inversa é a integração indefinida Todas as propriedades conhecidas de integrais são aplicadas às integrais indefinidas com a diferença que nos cálculos não limitados a integral em determinado intervalo THOMAS G B Cálculo São Paulo Pearson 2008 v 1 Sendo assim a partir de seus conhecimentos sobre o cálculo de integrais indefinidas assinale a alternativa a seguir que represente o resultado de 4x³ 8x 1dx a 4x⁴4 4x² x C b 4x³3 x² x C c 4x⁴3 2x² x C d 4x⁴3 4x x C e 4x⁴3 4x² x C 7 Considere uma função quadrática decrescente representada pela expressão y 12x² 192 cuja curva tenha 192 unidades de largura Agora imagine que por algum motivo você precise determinar toda a área existente entre a curva y e o eixo das abscissas Nesse sentido assinale a alternativa a seguir que adequadamente representa a área a ser determinada a 26476 ua b 25476 ua c 28476 ua d 24576 ua e 27476 ua cot²φ dφ csc²φ 1 dφ cotφ φ C Mas como x 3 sinφ sinφ x3 Então φ arcsinx3 e cotφ 9x²x Logo 9x²x² dx 9x²x arcsinx3 C Gabarito C 5 4x² 8x 1 dx 4x³3 8x²2 x C 43 x³ 4x² x C Gabarito 43 x³ 9x² x C Pela imagem parece o item e mas está confuso pela nitidez da imagem 7 y 148 x² 192 As raízes são obtidas para y0 Logo y 0 192 148 x² 0 x² 19248 x 19248 96 Então a área é delimitada pela conjunto xy ℝ² 96 x 96 0 y x²48 192 910 Assim como no caso das derivadas o cálculo da integral de uma função também demanda o uso de regras bastante específicas que se aplicadas de maneira equivocada podem comprometer todo o cálculo e até mesmo a interpretação a respeito do fenômeno No entanto em alguns casos o cálculo de uma integral parece mais simples do que o cálculo de uma função derivada como o que ocorre no caso do produto entre funções Considerando isso e nossos estudos sobre combinação de regras de integrais assinale a alternativa na sequência que representa a integral do seguinte produto entre funções 2x 53x 1dx a 2x³ 13x²2 5x C b 3x³ 13x²2 5x C c 2x³ 13x²2 5x C d 2x³ 12x²2 5x C e 2x³ 33x²2 5x C Conforme nos explica Thomas 2008 ao estudarmos a história da matemática especialmente a história do cálculo diferencial e integral percebemos que os primeiros conceitos relacionados ao cálculo surgiram em estudos da física Por exemplo as integrais de funções de uma variável real são amplamente utilizadas para o cálculo da velocidade de um corpo a partir de sua aceleração em determinado intervalo de tempo THOMAS G B Cálculo São Paulo Pearson 2008 v 1 Assim considerando que a aceleração de determinada partícula é dada pela função at tlnt assinale a alternativa a seguir que representa sua velocidade aproximada no intervalo 0 t 10⁴ a 11513 ms b 150 ms c 9038 ms d 2475 ms e 6537 ms Então vamos ter que a área é A from 96 to 96 x² 192 dx x³3 192x from 96 to 96 96³144 19296 96³144 19296 491522 24576 A área total é 24576 Gabarito d 910 2x 53x 3 dx 6x² 2x 15x 5 dx 6x² 13x 5 dx 6x³3 13x²2 5x C 2x³ 132 x² 5x C E o gabarito é o item e 10 A velocidade será Vt from 1 to 10 t lnt dt Fazemos u lnt dudt 1t dt t du Como u lnt t eu Logo teremos from 1 to 10 t lnt dt from u1 to u10 t u t du from 0 to ln10 t² u du from 0 to ln10 u e2u du E teremos que from 1 to 10 t lnt dt u e2u2 from 0 to ln10 e2u4 from 0 to ln10 ln10 eln1002 eln1004 14 9037 ms Gabarito C