Definicao Intuitiva do Conceito de Limite na Matematica - Revisao Historica

Grande parte dos conceitos e das teorias matemáticas surgiram como respostas a determinados problemas da época Assim para compreendermos os fundamentos de algumas teorias precisamos recorrer à história para analisarmos o contexto em que elas foram desenvolvidas De acordo com Boyer e Merzbach 2019 foi enquanto se dedicava ao estudo de funções matemáticas que Pierre de Fermat 16071665 se deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente como sendo aquela que encontrava a curva em um único ponto Tal dificuldade ficou conhecida na história da matemática como o Problema da Tangente Isso de fato foi um grande problema pois na época Fermat não dispunha de notação apropriada bem como o conceito de limite não estava claramente definido ampliandose os estudos sobre a temática a partir disso BOYER C B MERZBACH U C História da matemática São Paulo Blucher 2019 Dessa forma considerando que muitos conceitos matemáticos são resultados de problemas cotidianos é possível inferir que várias das teorias surgiram inicialmente a partir de uma visão intuitiva o que não foi diferente com o conceito de limite Isso posto apresente uma definição intuitiva para o conceito de limite de uma função Se julgar necessário exemplifique Desvendando o Conceito de Limite Uma Revisão Histórica e uma Definição Intuitiva O conceito de limite de uma função é uma ideia fundamental do cálculo de maneira geral se refere à ideia de que uma grandeza pode se aproximar de um determinado valor sem no entanto alcançálo completamente Isso pode ser visualizado em situações cotidianas como quando uma pessoa caminha em direção a um objeto distante mas nunca chega a tocálo Em termos matemáticos essa ideia se traduz em uma definição rigorosa que envolve a noção de infinitésimos e infinitos bem como o estabelecimento de critérios precisos para a verificação da existência e do cálculo de limites Sua origem remonta aos séculos XVII e XVIII quando matemáticos como Isaac Newton e Gottfried Leibniz estavam desenvolvendo os fundamentos do cálculo diferencial e integral Boyer Merzbach 2019 No entanto a ideia de limite só se tornou clara mais tarde quando matemáticos como AugustinLouis Cauchy e Karl Weierstrass estabeleceram uma definição rigorosa para o conceito Stewart 2015 De maneira geral o conceito de limite se refere à ideia de que uma grandeza pode se aproximar de um determinado valor sem no entanto alcançálo completamente Isso pode ser visualizado em situações cotidianas como quando uma pessoa caminha em direção a um objeto distante mas nunca chega a tocálo Em termos matemáticos essa ideia se traduz em uma definição rigorosa que envolve a noção de infinitésimos e infinitos bem como o estabelecimento de critérios precisos para a verificação da existência e do cálculo de limites Um dos problemas que levaram à necessidade de se estabelecer uma definição rigorosa para o limite foi o Problema da Tangente mencionado anteriormente Pierre de Fermat 16071665 observou que o conceito clássico de reta tangente como sendo aquela que encontrava a curva em um único ponto tinha limitações quando se tratava de curvas mais complexas Ele percebeu que era necessário definir um conceito mais geral de tangente que levasse em conta o comportamento da curva em pontos próximos ao ponto de tangência No entanto na época Fermat não dispunha de notação apropriada bem como o conceito de limite não estava claramente definido o que dificultou a solução do problema Boyer Merzbach 2019 Com o tempo matemáticos como Cauchy e Weierstrass estabeleceram uma definição rigorosa para o conceito de limite que envolve o comportamento da função em pontos próximos ao ponto em que se deseja avaliar o limite De forma intuitiva podese pensar no limite de uma função como o valor para o qual a função se aproxima quando a variável independente se aproxima de um determinado valor mesmo que em alguns pontos a função possa se desviar um pouco do caminho Stewart 2015 Dessa forma o conceito de limite é essencial para a compreensão de muitas outras teorias e conceitos matemáticos como a derivada e a integral de uma função Além disso ele também é utilizado em outras áreas do conhecimento como na física para a análise do comportamento de sistemas dinâmicos e em outras ciências que envolvem o estudo de fenômenos complexos Por exemplo considere a função h x x 21 x1 Quando x se aproxima de 1 a função não está definida em x 1 pois o denominador se torna zero No entanto é possível observar que a função se aproxima do valor 2 quando x se aproxima de 1 ou seja o limite de hx quando x se aproxima de 1 é 2 Essa intuição é importante para entender conceitos fundamentais em cálculo como a continuidade de funções e a existência de derivadas Figura 1 Representação quadrática da função x 21 x1 Fonte Elaborada pelo autor em 2023 Na Figura 1 temos um plano cartesiano com eixo das abcissas indo de 4 a 4 e eixo das ordenadas indo de 2 a 4 Nesse plano a uma reta representando o comportamento h x x 21 x1 Desse modo notase na Figura 1 duas setas vermelhas apontadas para o ponto 1 no eixo das abcissas simbolizando os limites pela esquerda e pela direita Realizando a tabulação desta função e aproximandose da posição 1 pelo lado esquerdo obtemos os dados a seguir x h x 0 1 02 12 04 14 06 16 08 18 09 19 099 199 Tabela 1 Valores da função da função x 21 x1 próximos a x1 pela esquerda Fonte Elaborada pelo autor em 2023 Figura 2 Representação quadrática da função x 21 x1 e dos pontos tabulados acima Fonte Elaborada pelo autor em 2023 No entanto mediante a construção de uma tabela representativa para a função em questão com a abordagem de aproximação do ponto 1 pela margem direita percebemos que x h x 2 3 14 24 12 22 11 21 105 205 1005 2005 1001 2001 Tabela 1 Valores da função da função x 21 x1 próximos a x1 pela direita Fonte Elaborada pelo autor em 2023 Figura 3 Representação quadrática da função x 21 x1 e dos pontos tabulados acima Fonte Elaborada pelo autor em 2023 Observase que ao efetuar a aproximação do valor de x em relação ao ponto 1 é possível notar que hx tende a um valor particular o qual é 2 no presente caso Tal fato ocorre em razão do limite da função x 21 x1 quando x tende a 1 ser igual a 2 Consequentemente admitindo que haja uma definição para quando se aproxima do número α essa definição deve abranger algum intervalo aberto que contenha o ponto α exceto eventualmente no próprio ponto Então definese lim x α h x L Destarte podemos afirmar que o limite de x quando tende a α é igual a L caso possamos restringir os valores de para se tornarem tão próximos quanto desejarmos de L ao escolher valores suficientemente próximos de α por ambos os lados de α sem necessariamente serem iguais a ele Em adição no tocante aos limites laterais lim xα h x L é escrito e afirmado que o limite situado à esquerda de hx à medida que x se aproxima de α é idêntico a L se pudermos tornar os valores hx de arbitrariamente próximos de L para x suficientemente próximo de α e inferior a x THOMAS 2008 Em sentido oposto temos que o limite que se aproxima pela direita de hx lim xα hx L quando x se aproxima de α é igual a L desde que possamos aproximar os valores de hx de maneira arbitrária próxima de L para valores de suficientemente próximos e maiores do que α THOMAS 2008 Ademais importa destacar que a existência do limite é condicionada à igualdade dos limites laterais Referências Boyer C B Merzbach U C 2019 História da matemática São Paulo Blucher Stewart J 2015 Cálculo São Paulo Cengage Learning STRANG Gilbert Cálculo com Geometria Analítica São Paulo Bookman 2003 THOMAS G B Cálculo São Paulo Pearson 2008 v 1 Mendes Thiago Fernando Bases da matemática para ciências Unidade 1 Introdução aos cálculos diferencial e integral São Paulo Editora Sheila Motta Steffen do Nascimento 2023