Lista de Aplicação da Integral 1 - Exercícios de Cálculo de Massa e Taxas

Lista de Aplicação da Integral 1 VA Professora Cláudia Gomes de Oliveira Santos Cursos de Engenharias da UniEVANGÉLICA Aplicação da Integral 1 A densidade linear de um cabo de comprimento de 1 m é dado por x x 1 em gramas por centímetro a partir da extremidade do cabo Encontre a massa do cabo Obs dx x dm 2 A densidade linear de uma barra de comprimento de 4 m é dado por x x 9 em kilogramas por metro a partir da extremidade do cabo Encontre a massa total da barra 3 A água escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de t r t 4 200 litros por minuto onde 50 0 t Encontre a quantidade de água que escoa do tanque durante os primeiros dez minutos 4 Um modelo para a taxa de metabolismo basal em kcalh de um homem jovem é 12 018cos 85 t r t em que t é o tempo em horas medido a partir de 5 horas da manhã Qual é o metabolismo basal total deste homem t dt r 24 0 em um período de 24 horas 5 Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t 0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de t e r t 0 01 100 litros por minuto Quanto petróleo vazou na primeira hora 6 Uma população de bactérias tem inicialmente 400 bactérias e cresce a uma taxa de t e r t 1 12563 450268 bactérias por hora qual a população de bactérias daqui 2 horas 7 vazando a uma taxa de t e r t 002 50 milhares de litros por minuto a i por minuto no instante t0 E no instante t 60 b Quantos litros vazam durante a primeira hora 8 Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t 0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de 2 3 3 2 t t r t litros por minuto Quanto petróleo vazou na primeira hora 9 Uma partícula movese de acordo com a expressão 0 s 0 sabendo que 0 3 2cos2 s sen t t a t encontre a posição da partícula st 10 Os sismólogos estão monitorando os movimentos f h i i L ig ific duas placas continentais estão passando uma ao lado i i i ic ci g g fic situados em lados opostos das falhas parecem estar se movendo para direita As medidas mostram que a falha está se movendo com velocidade 2 4 10 60 t sen t t t dt dy centímetros por ano Determine a função que representa o de deslocamento medido pelos cientistas considerando que f10 11 O volume de gasolina num tanque é V m³ quando a profundidade da gasolina é h m Se a taxa de variação de V em relação a h for 9 12 3 ² h h dh dV O volume de gasolina no tanque quando a profundidade for de 4 m será de 12 A densidade linear de uma barra de comprimento de 9 m é dado por x x x 1 2 em kilogramas por metro a partir da extremidade do cabo O Valor da massa total da barra Obs 13 O volume de um balão está crescendo de acordo com a fórmula t t dt dV 3 2 3 2 onde V cm³ é o volume do balão em t s Se V 33 quando t 3 ache a fórmula para V em termos de t b o volume do balão em 11s 14 Uma das aplicações da integral é o cálculo do valor médio da função em um intervalo a b dado por b a f t dt a b Vm 1 Num circuito elétrico suponha que a força eletromotriz seja E volts em t segundos e que 3 3 E tsen t O valor médio da força eletromotriz no intervalo de t 0 a t 3 é 15 Determine a área da região limitada pelas curvas 4 4 e 4 2 2 x x y x y e esboce o gráfico 16 Calcule a área entre as curvas a b 17 Num circuito elétrico suponha que a força eletromotriz seja E volts em t segundos e que 3 2 2 t sen E Ache o valor médio de E de t 0 a t 3 18 Um tanque tem uma seção transversal constante de área de 50 pés quadrados e um orifício no fundo de ½ pé quadrado veja a figura a seguir Se enchermos o tanque com a água até uma altura de h pés e depois o deixamos esvaziar então a altura da água decresce a uma taxa descrita pela equação 50 20 0 50 20 25 1 t t dt dh Encontre uma expressão para a altura da água em qualquer instante t se a altura inicial for de 20 pés h0 20 19 Se q coulombs for a carga de eletricidade recebida por um condensador de um circuito elétrico de i amperes em t segundos então dt i dq Se 2 4sec2 t t tg i determine a carga de t 0 a t 8 ou seja 8 0 idt 21 Resolva as integrais abaixo a dx x x 2 1 4ln b 4 0 2 cos2 1 t dt sen t b 1 1 22 4 4 dr r r 22 Uma força de retardamento simbolizada pelo amortecedor na figura diminui o movimento da massa presa à mola de maneira que a posição da massa no instante t é e t y 4 t Encontre o valor médio de y no intervalo 3 0 t O valor médio de uma função é dado por b a y dt a b Vm 1 23 Se q coulombs for a carga de eletricidade recebida por um condensador de um circuito elétrico de i amperes em t s então dt i dq Se 60 5 t i sen e q 0 quando 2 t Determine a expressão da carga 24 Um foguete acelera pela queima do combustível a bordo assim sua massa diminui com o tempo Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento incluindo o combustível sejam m que o combustível seja consumido a uma taxa r e que os gases de exaustão sejam ejetados a uma velocidade constante ve relativa ao foguete Um modelo para a velocidade do foguete no instante t é dado pela seguinte equação m rt m v gt v t e ln Em que g é a aceleração da gravidade e t não é muito grande Se g 98 ms² m 30000 kg r 160 kgs e ve 3000 ms ache a altitude do foguete 1 minuto após o lançamento 25 Em águas calmas o petróleo vazando do casco perfurado de um petroleiro forma uma camada de óleo com formato circular Suponha que o raio r do círculo está crescendo a uma taxa de 4 2 30 t r t pésminuto após t minutos de o casco ter sido perfurado A expressão para o raio no instante t pode ser encontrado através da antiderivada e com isso podese calcular a área contaminada Calcule o valor do raio após 16 minutos da perfuração 26 Um copo de limonada a uma temperatura de 40ºF é deixado em uma sala cuja temperatura constante é de 70ºF Usando um princípio da Física denominado Lei do Resfriamento de Newton podese mostrar que se a temperatura da limonada atingir os 52ºF em uma hora então sua temperatura T como função do tempo decorrido pode ser modelada pela equação t e T 50 30 70 onde T está em graus Fahrenheit e t em horas O gráfico dessa equação mostrado na Figura abaixo confirma nossa experiencia do dia a dia de que a temperatura da limonada converge gradualmente à temperatura da sala Uma das aplicações da integral é no calculo do valor médio de uma expressão fx que pode ser dado por b a f t dt a b Vm 1 utilizando essa aplicação determine a temperatura média da limonada ao longo das primeiras 5 horas 27 O custo total da compra e manutenção de um equipamento por x anos pode ser modelado por tdt C x 0 5 4 5000 2 Determine o custo total depois de dezesseis anos 28 Trabalho é realizado quando uma força é aplicada a um objeto para movêlo por certa distância Se a força F for constante o trabalho realizado é apenas a força multiplicada pela distância como indicado na Fig Força F movendo um objeto por uma distância d O trabalho pode ser calculado através da integral abaixo Calcule o trabalho para a função com d 1 29 O circuito RLC representado na Figura abaixo tem R 10 Ω L 2 H e C 05 F Admitindo que a corrente it que flui no circuito seja it 10 sen 240π t A determine a tensão vt fornecida pela fonte de alimentação Respostas 1 20 2 1243 3 1800 4 2040 5 451188 6 339999998 7 8 10252 9 8 5 3 8cos 2 t sent t s t 10 50 10ln 4 cos2 50 4 10ln 3 2 ² 30 t t t t t y 11 196π 12 87 13 ² 3 21 3 2 3 1 3 2 x t t V b 6994 14 1 15 83 16 A 43 b 92 17 1 18 ht 20 100 ² 20 25 1 t t 19 2 2 20 21 1 22 A 2ln2² b ¼ c 0 23 431 4e3 24 Q112cos60t1