Lista de Exercícios Resolvendo Integrais Indefinidas com Substituições

Exercícios 55 Calculando integrais Calcule as integrais indefinidas nos exercícios 112 usando as substituições dadas para reduzir as integrais à formapadrão 1 sen 3x dx u 3x 2 x sen 2x² dx u 2x² 3 sec 2t tg 2t dt u 2t 4 1 cos t2² sen t2 dt u 1 cos t2 5 287x 25 dx u 7x 2 6 x³ x⁴ 1² dx u x⁴ 1 7 9r² dr 1 r³ u 1 r³ 8 12y⁴ 4y² 1² y³ 2y dy u y⁴ 4y² 1 9 x sen² x32 1 dx u x32 1 10 1x² cos²1x dx u 1x 11 cosec² 2θ cotg 2θ dθ a Usando u cotg 2θ b Usando u cosec 2θ 12 dx 5x 8 a Usando u 5x 8 b Usando u 5x 8 Calcule as integrais nos exercícios 1354 13 3 2s ds 14 2x 1³ dx 15 15s 4 ds 16 3 dx 2 x² 17 θ1 θ² dθ 18 4y dy 2y² 1 19 1x1 x² dx 20 1 x³ x dx 21 cos 3z 4 dz 22 tg² x sec² x dx 23 tg x dx 24 tg72 x sec² x2 dx 25 r² r³18 15 dr 26 r4 7 r5103 dr 27 x12 sen x32 1 dx 28 x13 sen x43 8 dx 29 sen 2t 1 cos² 2t 1 dt 30 6 cos t 2 sen t³ dt 31 1θ² sen 1θ cos 1θ dθ 32 sec z tg z sec z dz 33 1t² cos 1t 1 dt 34 cos θ θ sen² θ dθ 35 s³ 2s² 5s 53s² 4s 5 ds 36 t³1 t⁴³ dt 38 x³ x² 1 dx 39 cos x esen x dx 40 sen 2θ esen² θ dθ 41 1x ex sec² ex 1 dx 42 1x² e1x sec 1 e1x tg 1 e1x dx 43 dx x ln x 44 ln t t dt 45 dz 1 ez 46 dx x x⁴ 1 47 5 9 4r² dr 48 1 e² θ² dθ 49 esen1 x dx 1 x² 50 ecos1 x dx 1 x² 51 sen1 x² dx 1 x² 52 tg1 x dx 1 x² 53 dy tg1 y1 y² 54 dy sen1 y 1 y² Simplificando integrais gradativamente Se você não souber qual substituição deve fazer tente reduzir a integral passo a passo usando uma primeira substituição para simplificar um pouco a integral e depois outra para simplificar um pouco mais Você verá o que queremos dizer experimentando as sequências de substituições nos exercícios 55 e 56 55 18 tg² x sec² x 2 tg³ x² dx a u tg x seguida por v u³ e depois por w 2 v b u tg³ x seguida por v 2 u c u 2 tg³ x 56 1 sen² x 1 sen x 1 cos x 1 dx a u x 1 seguida por v sen u e depois por w 1 v² b u sen x 1 seguida por v 1 u² Seção 53 1 ₀² x² dx 3 ₇⁵ x² 3x dx 5 ₂³ 11 x dx 7 π4⁰ sec x dx 9 a 0 b 8 c 12 d 10 e 2 f 16 11 a 5 b 53 c 5 d 5 13 a 4 b 4 15 Área 21 unidades quadradas 17 Área 9π2 unidades quadradas 19 Área 25 unidades quadradas 21 Área 3 unidades quadradas 23 b²4 25 b² a² 27 12 29 3π²2 31 73 33 124 35 3a²2 37 b3 39 14 41 10 43 2 45 74 47 7 49 0 51 Usando n subintervalos de comprimento Δx bn e valores da extremidade direita Área ₀ᵇ 3x² dx b³ 53 Usando n subintervalos de comprimento Δx bn e valores da extremidade direita Área ₀ᵇ 2x dx b² 55 Mf 0 57 Mf 2 59 Mf 1 61 a Mg 12 b Mg 1 c Mg 14 63 a 0 e b 1 maximiza a integral 65 Limite superior 1 limite inferior 12 67 Por exemplo ₀¹ sen x² dx ₀¹ dx 1 69 ₐᵇ fx dx ₐᵇ 0 dx 0 71 Limite superior 12 Seção 54 1 6 3 8 5 1 7 52 9 2 11 23 13 0 15 π4 17 2π³3 19 83 21 34 23 2 8 1 25 16 27 73 29 π 31 1π 4⁴ 2⁴ 33 12 e 1 35 cosx12x 37 4t⁵ 39 3x² eˣ³ 41 1 x² 43 12 x¹² sen x 45 1 47 2x e12 x² 49 1 51 283 53 12 55 514 57 π 59 2π2 61 d desde y 1x e yπ π₁ 1t dt 3 3 63 b desde y sec x e y0 ₀ˣ sec t dt 4 4 65 y ₀ˣ sec t dt 3 67 s ₀ˣ fx dx s₀ 69 23 bh 71 900 73 a v dsdt ddt ₀ᵗ fx dx ft v5 f5 2 ms b a dfdt é negativo porque o coeficiente angular da tangente a t 5 é negativo c s ₀³ fx dx ½ 33 92 m uma vez que a integral é a área do triângulo formado por y fx o eixo x e x 3 d t 6 uma vez que depois de t 6 a t 9 a região fica abaixo do eixo x e Em t 4 e t 7 já que existem tangentes horizontais nesses pontos f Na direção da origem entre t 6 e t 9 pois a velocidade é negativa nesse intervalo Para longe da origem entre t 0 e t 6 pois a velocidade é positiva aí g Lado direito ou positivo porque a integral de f de 0 a 9 é positiva havendo mais área acima do eixo x do que abaixo 77 2x 2 79 3x 5 81 a Verdadeira Como f é contínua g é derivável de acordo com a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo b Verdadeira g é contínua porque é derivável c Verdadeira uma vez que g1 F1 0 d Falsa uma vez que g 1 f1 0 e Verdadeira uma vez que g1 0 e g 1 f1 0 f Falsa g x fx 0 logo g nunca muda de sinal g Verdadeira pois g1 f1 0 e gx fx é uma função crescente de x pois fx 0 Seção 55 1 13 cos 3x C 3 12 sec 2t C 5 7x 24 C 7 61 r³12 C 9 13 x32 1 16 sen 2x32 2 C 11 a 14 cotg² 2θ C b 14 cosec² 2θ C 13 13 3 2s32 C 15 25 5s 412 C 17 25 1 θ²54 C 19 21 x C 21 13 sen 3z 4 C 23 ln sec x C 25 r³18 16 C 27 23 cos x32 1 C 29 1 2 cos 2t 1 C 31 sen² 1θ 2 C 33 sen 1t 1 C 35 s³ 2s² 5s 5²2 C 37 23 1 1x32 C 39 esen x C 41 2 tg ex 1 C 43 ln ln x C 45 z ln 1 ez C 47 56 tg¹ 2r3 C 49 esen¹ x C 51 13 sen¹ x³ C 53 ln tg¹ y C 55 ln 73 57 ln 925 59 12 ln x² C 55 a 62 tg³ x C b 62 tg³ x C c 62 tg³ x C 57 16 sen 3 2r 1² 6 C 59 s 12 3r² 14 5 61 s 4t 2 sen 2t π6 9 63 s sen 2t π2 100t 1 65 6 m 69 b 399 Volts Seção 56 1 a 143 b 23 3 a 12 b 12 5 a 1516 b 0 7 a 0 b 18 9 a 4 b 0 11 a 16 b 12 13 a 0 b 0 15 23 17 34 19 32 1 21 3 23 π3 25 e 27 ln 3 29 ln 2² 31 14 33 ln 2 35 ln 27 37 π 39 π12 41 2π3 43 3 1 45 π12 47 163 49 252 51 π2 53 12815 55 43 57 56 59 383 61 496 63 323 65 485 67 83 69 8 71 53 Há três pontos de interseção 73 18 75 2438 77 83 79 2 81 10415 83 5615 85 4 87 43 47 89 π2 91 2 93 12 95 1 97 ln 16 99 2 101 2 ln 5 103 a c c b c 423 c c 423 105 113 107 34 109 Nenhuma delas 111 F6 F2 113 a 3 b 3 115 l a2 Exercícios práticos 1 a cerca de 680 pés b h pés 700 600 500 400 300 200 100 0 2 4 6 8 t s 3 a 12 b 31 c 13 d 0 5 ₁⁵ 2x 112 dx 2 7 π⁰ cos x2 dx 2 9 a 4 b 2 c 2 d 2π e 85 11 83 13 62 15 1 17 16 19 18 21 98 23 π²32 22 1 25 4 27 82 76 29 Min 4 max 0 área 2714 31 65 33 1 37 y ₅ˣ sen t t dt 3 39 y sen¹ x 41 y sec¹ x 2π3 x 1 43 4cos x12 C 45 θ² θ sen 2θ 1 C 47 r³3 4t C 49 13 cos 2t32 C 51 tg ex 7 C 53 etg x C 55 ln 73 57 ln 925 59 17 ln x² C sin 3x dx u 3x u du 3 1 x dx 3 x²2 3x²2 C 2 sin 2x² dx u 2x² 12 sin u²2 du 12 sin u²2 du 12 sin u2² du 12 2 π2 s π2 2x2 π2 s π2 22 C 3 sec 2t tg 2t dt u 2t 2 1sin 4t dt 2 sec u du 2 4 1v dv 2 12 lnv 12 lntan 2t C 6 x³ x⁴ 1² dx u x⁴ 1 x¹¹ dx 2x² dx x³ dx x¹²12 x⁸4 x⁴4 x¹²12 x⁸4 x⁹4 C 10 1x² cos² 1x dx u 1x 11 12 1 cosu du 12 12 x²x sin x²x 14 x²x sin 2x C 13 3 2s ds u 2u du 12 u du 12 23 u32 12 23 3 2s32 21 cos 3z 4 dz cos u 13 du 13 cos u du 13 sen u 13 sin 3z 4 13 sin 3z 4 C 4 23 tg x dx sin xcos x dx 1u du ln u ln cos x ln cos x C 37 x 1 x⁵ dx u ddx x 1 v 1 x⁵ dx x 1 23x32 3 2x 1 23x32 dx 2x 1 3x32 23 x 1 x 2x 1 3x32 23 x 1 x 2x 1 3x32 23 x 1 x C