Mudança de Variáveis em Integrais Triplas

Mudança de variáveis em integrais triplas A mudança de variável objetiva deixar o cálculo mais simples Analogamente ao procedimento realizado nas integrais duplas também é possível introduzir novas variáveis de integração na integral tripla I T fx y z dx dy dz Introduzindo novas variáveis de integração u v w por meio das equações x xu v w y yu v w z zu v w A integral I T fx y z dx dy dz pode ser expressa por I T fxu v w yu v w zu v w Determinante jacobiano de x y z em relação a u v w du dv dw Região no espaço u v w EXEMPLO Um exemplo da simplificação do cálculo das integrais triplas por meio da mudança de variáveis pode ser percebido nas coordenadas cilíndricas Calcular T x² y² dV onde T é a região delimitada pelo plano xy pelo paraboloide z x² y² e pelo cilindro x² y² a² z x² y² z 0 y x R a Região T e sua projeção sobre o plano xy Observandose a figura percebese que a região T é limitada inferiormente por z 0 e superiormente pelo paraboloide z x² y² que em coordenadas cilíndricas tem equação z r² Portanto I T x² y² dV R 0r² r² dz dr dθ Onde R 0 r a 0 θ 2π Assim I 0a r³3 r dr dθ πa⁸12