Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Integrais UniEVANGÉLICA

Centro Universitário de Anápolis UniEVANGÉLICA Avenida Universitária km 35 Cidade Universitária Anápolis GO CEP 75083515 Fone 62 3310 6600 wwwunievangelicaedubr grandes coisas fez o Senhor por nós por isso estamos alegres Sl 1263 Lista 4 pósaula Centro Universitário de Anápolis UniEVANGÉLICA Avenida Universitária km 35 Cidade Universitária Anápolis GO CEP 75083515 Fone 62 3310 6600 wwwunievangelicaedubr grandes coisas fez o Senhor por nós por isso estamos alegres Sl 1263 Respostas 161 0π20senθ r cosθ dr dθ 1 passo 0 senθ r cosθ dr cosθ 0senθ r dr cosθ r²2 0senθ cosθ sen²θ2 2 passo 0π2 cosθ sen²θ2 dθ 12 0π2 cosθ sen²θ dθ Faça μ seno dμ cosθ dθ seno 0 μ0 seno π2 μ1 daí 0π2 cosθ sen²θ2 dθ 12 01 μ²dμ 12 μ³3 01 0π2 cosθ sen²θ2 dθ 16 162 0π0 1cosθ r dr dθ 1 passo 0 1cosθ r dr r²2 0 1cosθ 1cosθ²2 0 1cosθ r dr 12cosθ cos²θ2 2 passo 0π 12cosθ cos²θ2 dθ I I 12 0π 1 2cosθ cos²θ dθ I 12 0π 1 dθ 2 0π cosθ 0π cos²θ dθ θ0π seno0π 0 cos²θ 1cos2θ2 12 0π dθ 12 0π cos2θ dθ π2 12 12 sen2θ0π π2 0 π2 I 12 3π2 3π4 165 0π0 1senθ r² cosθ dr dθ 1 passo 0 1senθ r² cosθ dr cosθ 0 1senθ r² dr cosθ r³3 0 1senθ cosθ3 1senθ³ 2 passo 0π cosθ 1senθ³3 dθ 13 0π cosθ 1senθ³ dθ Faça μ senθ dμ cosθ dθ θ0 μ0 θπ μ0 I0 Lo Mesmo intervalo de integrações 166 0π20 cosθ r³ dr dθ 1 passo 0 cosθ r³ dr r⁴4 0 cosθ cosθ4 2 passo 0π2 cosθ4 dθ 14 0π2 cos³θ cosθ dθ cos³θ cosθ dθ integração por partes μ cos³θ dv cosθ dθ dμ 3 cos²θ senθ v senθ cos³θ cosθ dθ cos³θ senθ senθ 3 cos²θ senθ dθ I cos³θ senθ 3 cos²θ sen²θ dθ I cos³θ senθ 34 4 cos²θ sen²θ dθ I cos³θ senθ 34 2 cosθ senθ² dθ I cos³θ senθ 34 sen²2θ dθ LEMBRE cos2α cos²α sen²α cos2α 1 sen²α sen²α cos2α 1 2 sen²α sen²α 1 cos2α2 daí I cos³θ senθ 34 12 cos4θ2 dθ I cos³θ senθ 34 θ2 sen4θ8 Digitalizado com CamScanner ₀π2 cos³θ senθ dθ cosθ senθ ¾ θ2 sen4θ8 ₀π2 cosπ2³ senπ2 ¾ π4 sen 2π8 cos 0 sen 0 ¾ 0 sen 08 0 3π16 0 3π16 voltando para ₀π2 cos θ4 dθ 14 3π16 3π64 Área da cardioide r 1 cosθ 7107 A ₀π ₀1cos θ r dr dθ 1 passo ₀1cos θ r dr r²2 ₀1cos θ ₀1cos θ r dr 1cosθ²2 1 2cosθ cos²θ2 2 passo A ₀π 12cosθ cos²θ2 dθ ₀π 12 dθ ₀π cosθ dθ 12 ₀π cos²θ dθ θ₀π π2 sen0₀π Já fizemos na questão 16 2 A π2 12 π2 3π4 Logo ATOTAL 2A 3π2 μA 7108 Área da região r sen 2θ A ₀π2 ₀sen 2θ r dr dθ A ₀π2 r²2 ₀sen 2θ dθ A ₀π2 sen²2θ2 dθ A 12 ₀π2 sen²2θ dθ já fizemos em 166 A 12 θ2 sen4θ8 ₀π2 A 12 π4 08 π8 Logo ATOTAL 4A π2 μA 7109 Área da Região do 1º Q limitada por r1 e rsen 2θ com π4 θ π2 θ π2 θ π4 A π4π2 ₀sen 2θ r dr dθ A π4π2 r²2 ₀sen 2θ dθ A π4π2 12 sen²2θ2 dθ A 12 π4π2 θ dθ 12 π4π2 sen2θ dθ A θ2 π4π2 12 θ2 sen4θ8 π4π2 A π4 π8 12 π2 0 π8 0 A π8 12 π4 π8 π8 12 π8 A π8 π16 π16 μA 2734 27 from 0 to 1 from 0 to 1x² x² y² dy dx observe a região do intervalo de integração 0 x 1 0 y 1x² Note que y 1x² y² 1x² x² y² 1 para y 0 Assim 0 θ π2 e 0 r 1 Fazendo x rcosθ y r senθ Logo from 0 to 1 from 0 to 1x² x² y² dy dx from 0 to π2 from 0 to 1 r² rdrdθ I from 0 to π2 r⁴4 from 0 to 1 dθ from 0 to π2 14 dθ 14 π2 π8 2734 28 from 2 to 2 from 4y² to 4y² ex²y² dxdy observe que 2 y 2 e 4y² x 4y² Note x 4y² x² y² 4 Esboço x 4y² y 2 x 4y² 2 x 2 2 Fazendo x rcosθ y r senθ 0 θ 2π 0 r 2 A from 0 to 2π from 0 to 2 er² rdrdθ 1º passo from 0 to 2 er² rdr Por substituição μ r² dμ 2rdr μ0 μ4 from 0 to 2 er² rdr from 0 to 4 eμ2 dμ 12 eμ from 0 to 4 from 0 to 2 er² rdr 12 e4 e0 12 12e4 2º passo A from 0 to 2π 12 12e4 dθ A from 0 to 2π 12 dθ from 0 to 2π 12e4 dθ A θ2 from 0 to 2π 12e4 θ from 0 to 2π 2π2 2π2 e4 A π π e4 μA 2734 33 from 0 to 2 from y to 4y² 11x²y² dxdy observe 0 y 2 e y x 4y² Note x 4y² x² y² 4 Esboço y x Fazendo x rcosθ y r senθ 0 r 2 e 0 θ π4 Dado A ₀π4 ₀² 11 r² r dr dθ A ₀π4 ₀² r1 r² dr dθ Por subst trig r tgθ dr sec²θ dθ 1º passo ₀² r dr1 r² ₀² r dr1 r² r dr1 r² tgθ sec²θ dθ1 tg²θ r dr1 r² tgθ sec²θ dθsecθ tgθ secθ dθ r dr1 r² secθ C 1 tg²θ C 1 r² C logo ₀² r dr1 r² 1 r²₀² 5 1 2º passo A ₀π4 5 1 dθ 5 1 θ₀π4 A 5 1 π4 μA