Integral de Linha de Campo Conservativo - EFB109

Integral de Linha de Campo Conservativo EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 1 Seja 𝑟𝑡 cos𝑡 𝑖 sen𝑡 𝑗 𝑡 0 𝜋 2 𝐹𝑥 𝑦 𝑦2𝑖 2𝑥𝑦 𝑒𝑦𝑗 Calcular 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 2 Verifique se a integral de linha abaixo independe do caminho e calcule seu valor 𝐼 𝑒𝑥 ln 𝑦 𝑒𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑦 𝑒𝑦 ln 𝑥 𝑑𝑦 33 11 3 Calcular 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑒𝑦𝑑𝑦 𝐶 onde 𝐶 é uma curva suave de 01 a 𝜋 0 4 Considere 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦2𝑖 2𝑥𝑦 𝑒3𝑧𝑗 3𝑦𝑒3𝑧𝑘 Encontre uma função 𝑓 tal que 𝑓 𝐹 5 Determine se 𝐹𝑥 𝑦 𝑦𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦𝑖 𝑒𝑥 𝑥 cos 𝑦𝑗 é ou não um campo vetorial conservativo Se for determine 𝜑 Calcule 𝐹 𝑑𝑟 𝐶 onde 𝐶 é a curva 𝛾𝑡 cos 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 0 𝑡 2𝜋 6 Mostre que 𝐼 1 2𝑥𝑦 ln 𝑥𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑦 𝐶 é independente do caminho e calcule o valor 𝐼 onde 𝐶 é dada por 𝛾𝑡 1 cos 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 com 𝜋 2 𝑡 𝜋 2 7 Mostre que o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 cos 𝑥𝑦2 𝑥𝑦2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦2𝑖 2𝑥2𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦2𝑗 é conservativo Em seguida calcule 𝐹𝑑𝑟 𝐶 para a curva 𝐶 dada por 𝛾𝑡 𝑒𝑡 𝑒𝑡1 com 1 𝑡 0 8 Calcule 2𝑥 cos 𝑦 𝑑𝑥 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 𝐶 ao longo dos caminhos 𝐶 a seguir a Parábola 𝑦 𝑥 12 de 10 a 01 b Segmento de reta de 1 𝜋 a 10 c O eixo 𝑥 de10 a 10 d 𝑟𝑡 cos3 𝑡 𝑠𝑒𝑛3𝑡 0 𝑡 2𝜋 no sentido antihorário 9 Calcule a integral de linha onde 𝐹 2𝑥𝑦𝑧3 𝑥2𝑧3 3𝑥2𝑦𝑧2 e 𝐶 é a curva dada por 𝑟𝑡 𝑠𝑒𝑛6𝑡 1 cos 𝑡 𝑒𝑡𝑡𝜋 2 0 𝑡 𝜋 2 10 Dados 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑦2 cos 𝑧 2𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠𝑧 𝑥𝑦2𝑠𝑒𝑛𝑧 𝐶 𝑟𝑡 𝑡2 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 0 𝑡 𝜋 Determine a função potencial e calcule 𝐹𝑑𝑟 𝐶 sobre a curva 𝐶 dada 11 Considere o campo 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑒𝑧 2𝑦𝑧 𝑥𝑒𝑧 𝑦2 a Verifique se o campo é conservativo b Se for conservativo calcule a função potencial Integral de Linha de Campo Conservativo EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II c Calcule a integral de linha 𝐹𝑑𝑟 𝐶 onde 𝐶 é dado por 𝑟𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑡 0 𝑡 2𝜋 12 Dados 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑒𝑦 𝑥𝑒𝑦 𝑧 1𝑒𝑧 𝐶 𝑟𝑡 𝑡 𝑡2 𝑡3 0 𝑡 1 a Determine a função potencial b Calcule 𝐹𝑑𝑟 𝐶 sobre a curva 𝐶 dada 13 Mostre que a integral de linha 2𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑥 𝑥2 cos 𝑦 3𝑦2𝑑𝑦 𝐶 onde 𝐶 é o caminho entre 10 a 51 é independente do caminho e calcule a integral 14 Considere o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 1 𝑦𝑒𝑥𝑦 2𝑦 𝑥𝑒𝑥𝑦 a Determine se o campo é ou não conservativo Em caso afirmativo encontre a função potencial b Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial ao mover uma partícula sobre a hipérbole 𝑥2 𝑦2 1 desde o ponto 3 8 até o ponto 3 8 15 A figura mostra o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 2𝑥𝑦 𝑥2 e três curvas que começam em 12 e terminam em 32 a Explique por que 𝐹𝑑𝑟 𝐶 tem o mesmo valor para as três curvas b Qual é esse valor comum Integral de Linha de Campo Conservativo EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Respostas 1 𝑒 1 2 0 3 3 𝑒 4 𝜑 𝑥𝑦2 𝑦𝑒3𝑧 𝐶 5 𝜑 𝑦𝑒𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝐶 0 6 𝐼 2 7 𝐹𝑑𝑟 𝐶 cos 𝑒2 1 𝑒 cos 1 𝑒 8 a 1 b 2 c 0 d 0 9 1 10 𝜑 𝑥𝑦2 cos 𝑧 0 11 b 𝜑 𝑥𝑒𝑧 𝑦2𝑧 c 𝑒2𝜋 1 12 a 𝜑 𝑧𝑒𝑧 𝑥𝑒𝑦 b 2𝑒 13 25𝑠𝑒𝑛 1 1 14 a 𝜑 𝑥 𝑦2 𝑒𝑥𝑦 b 𝑒38 𝑒38 15 a Como o campo é conservativo a integral de linha só depende dos pontos inicial e final de 𝐶 b 16