Exercícios sobre Equações Diferenciais Ordenadas em Cálculo II

Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Aula 3010 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Exercício 1 302 Exercício 1 Resolva a EDO 1 𝑥𝑦 y y2 É uma Equação Diferencial Por quê É uma EDO Por quê É uma EDO de qual ordem E de qual grau É uma EDO Linear Dá para resolver utilizando o método das variáveis separáveis Dá para resolver utilizando o método das Exatas Será que teria como transformar essa EDO em uma exata Se sim como Vamos pensar Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Fator Integrante 303 Será que se multiplicarmos ambos os lados da EDO 𝑀 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑁 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 0 𝟏 por uma função 𝜙𝑥 𝑦 não conseguiríamos transformar em um EDO exata 𝜙 𝑥 𝑀 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝜙 𝑥 𝑁 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 0 𝟐 Mas qual seria esta função 𝜙𝑥 𝑦 Vamos pensar primeiramente mais simples Supõe que 𝜙 𝜙𝑥 Será que as soluções da equação 𝟏 serão solução da equação 𝟐 também Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Fator Integrante 304 Se queremos encontrar uma função 𝜙 𝜙𝑥 que torne a equação 𝜙 𝑥 𝑀 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝜙 𝑥 𝑁 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 0 𝟐 exata estamos procurando uma 𝜙 𝜙𝑥 que satisfaça 𝑦 𝑀𝜙 𝑥 𝑁𝜙 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Fator Integrante 305 Derivando a equação 𝑦 𝑀𝜙 𝑥 𝑁𝜙 e reescrevendoa temos 𝜙 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 𝜙𝑥 𝑀 ด 𝜙𝑦 0 𝜙 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 𝜙𝑥 Como 𝜙 𝜙 𝑥 podemos escrever 𝜙𝑥 na notação de Leibniz 𝑑𝜙 𝑑𝑥 assim 𝜙 𝑥 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 𝑑𝜙 𝑑𝑥 ou 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝜙 𝑥 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Fator Integrante 306 Se 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 for apenas função de 𝑥 a EDO 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝜙 𝑥 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 pode ser resolvida como separável e assim determinamos a função 𝜙 que torna a EDO de equação 1 exata De maneira análoga se 𝜙 𝜙 𝑦 temos 𝝓 𝒚 𝒆 𝑵𝒙𝑴𝒚 𝑴 𝒅𝒚 1 𝜙 𝑑𝜙 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 𝑑𝑥 ln 𝜙 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 𝑑𝑥 𝝓 𝒙 𝒆 𝑴𝒚𝑵𝒙 𝑵 𝒅𝒙 Se a função 𝜙 𝜙𝑥 𝑦 é muito difícil resolver a EDO de forma analítica Não se tem um método formal de resolução Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Exercícios 307 𝝓 𝒙 𝒆 𝑴𝒚𝑵𝒙 𝑵 𝒅𝒙 𝝓 𝒚 𝒆 𝑵𝒙𝑴𝒚 𝑴 𝒅𝒚 Exercício 1 Resolva a EDO 1 𝑥𝑦 y y2 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software 𝝓 𝒙 𝒆 𝑴𝒚𝑵𝒙 𝑵 𝒅𝒙 𝝓 𝒚 𝒆 𝑵𝒙𝑴𝒚 𝑴 𝒅𝒚 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Exercício 2 Resolva a EDO cos 𝑦 𝑥 1 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 0 𝝓 𝒙 𝒆 𝑴𝒚𝑵𝒙 𝑵 𝒅𝒙 𝝓 𝒚 𝒆 𝑵𝒙𝑴𝒚 𝑴 𝒅𝒚 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Exercício 2 Resolva a EDO cos 𝑦 𝑥 1 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 0 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Exercícios 313 Exercício 3 Resolva a EDO 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥2𝑦 6𝑥2 Essa EDO é linear Será que podemos resolver EDO de primeira ordem linear da mesma forma que estávamos fazendo ou seja reduzindo a exata Vamos tentar Para tanto precisamos ver se conseguimos reescrever esta EDO na forma diferencial Será que dá para fazer este mesmo procedimento com qualquer EDO linear Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software EDO Linear 314 Vimos que uma EDO de primeira ordem linear pode ser representada da seguinte maneira 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 Dividindo os dois membros da equação anterior pelo coeficiente 𝑎1 𝑥 temos 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software EDO Linear 315 Reescrevendo na forma diferencial temos 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑀𝑥𝑦 𝑑𝑥 ณ1 𝑁𝑥𝑦 𝑑𝑦 0 Essa EDO não é exata pois 𝑁 𝑥 0 𝑀 𝑦 𝑃𝑥 Desta forma podemos determinar o fator integrante 𝜙 𝑥 𝑒 𝑀𝑦𝑁𝑥 𝑁 𝑑𝑥 𝑒𝑃𝑥0 1 𝑑𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software EDO Linear 316 Agora teremos uma nova EDO exata 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 0 Vamos determinar a função 𝜑 𝑥 𝑦 𝜑 𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥 𝐼 𝜑 𝑦 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝐼𝐼 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software EDO Linear 317 Integrando 𝐼𝐼 em relação a 𝑦 teremos 𝜑 𝑥 𝑦 න 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 𝑐 𝑥 Derivando em relação a variável 𝑥 temos 𝜑 𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝑐𝑥 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software EDO Linear 318 Comparando com a equação 𝐼 temos 𝑐 𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑐 𝑥 න 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 Voltando em e substituindo 𝑐𝑥 temos 𝜑 𝑥 𝑦 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 න 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 න𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 𝐶1 0 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software EDO Linear 319 Solução implícita 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 න𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 𝐶1 0 Solução explícita 𝑦 න 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 𝐶 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software 𝝓 𝒙 𝒆 𝑴𝒚𝑵𝒙 𝑵 𝒅𝒙 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Exercícios 323 Exercício 4 Resolva a EDO 𝑦 𝑥 5𝑦 Verifique Exercício 3 Resolva utilizando a fórmula desenvolvida para EDO linear 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥2𝑦 6𝑥2 Prof Dr Rafael Budaibes Giorgio Zaffani Matéria MatFisQuimMathSAT Cálculo II Dr em Matemática Pura Biomedicina Eng de Software Observações 324 Toda EDO separável é exata Se sim justifique Toda linear pode ser reduzida a uma exata Se sim justifique