Lista de Exercícios - Integral Tripla EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II

Lista 7 Integral Tripla EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 1 Calcule as integrais triplas abaixo a 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑅 onde 𝑅 a b c d p q b 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑅 onde 𝑅 01 12 03 c 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑅 onde 𝑅 0 π 0 π 0 π d 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑅 onde 𝑅 01 01 01 e 𝑥𝑦𝑧2 𝑑𝑉 𝑇 onde 𝑇 01 02 13 2 Calcule 𝐼 𝑠𝑒𝑛2𝑧 4 𝑧 𝑑𝑦 𝑥 0 4𝑧 0 𝑑𝑥 𝑑𝑧 4 0 3 a Reescreva a integral 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑥 1 𝑦2 𝑧 0 𝑑𝑦 𝑑𝑧 1 0 na ordem 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 b Reescrever na ordem 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 Calcule a integral tripla 𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑇 onde T é o tetraedro sólido com vértices 0 0 0 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 5 Encontre o volume do tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano que passa pelos pontos 1 0 0 0 2 0 e 0 0 3 6 Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies 𝑧 𝑦 𝑦 𝑥2 1 e 𝑧 0 7 Calcule 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑊 onde W é limitado por 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧 2 no primeiro quadrante 8 Calcule o volume do sólido limitado por 𝑧 𝑥2 9 𝑧 𝑦 4 𝑦 0 e 𝑦 4 O sólido é limitado superiormente por 𝑧 9 𝑥2 e inferiormente por 𝑧 4 𝑦 O sólido W é do tipo I Lista 7 Integral Tripla EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 9 Encontre o volume da região comum ao interior dos cilindros 𝑥2 𝑦2 1 e 𝑥2 𝑧2 1 conforme ilustra a figura ao lado 10 Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pela superfície 𝑧 4 𝑥2 𝑦 11 Considerando a intersecção das superfícies 𝑥 0 𝑥 𝑎 𝑦 0 𝑦 𝑥2 𝑧 0 e 𝑧 𝑥2 determinar sua massa e seu centro de massa levando em conta uma distribuição de densidade constante 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝜌 12 Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico 𝑥 𝑦2 e pelos planos 𝑥 𝑧 𝑧 0 e 𝑥 1 13 Calcule a massa do sólido 𝑊 limitado pelos planos 𝑥 0 𝑦 0 𝑧 0 𝑦 𝑧 1 e 𝑥 𝑧 1 sendo a densidade 𝛿𝑥 𝑦 𝑧 𝑧 14 Encontre a massa e a coordenada 𝑧 do centro de massa do sólido 𝑊 limitado pelos gráficos das equações 𝑧 4 𝑥 𝑧 0 𝑦 0 𝑥 0 e 𝑦 4 sendo a densidade 𝛿𝑥 𝑦 𝑧 𝑘𝑥 onde 𝑘 0 é uma constante 15 Considere o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados pelos planos 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 e de densidade 𝛿𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 1 Encontre a A massa do sólido b O centro de massa c Os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados d O raio de rotação em relação aos eixos coordenados Lista 7 Integral Tripla EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Respostas 1 a 𝑑 𝑐𝑞 𝑝𝑏 𝑎 b 27 8 c 8 d 9 8 e 26 3 2 1cos8 4 3 a 𝑓𝑥 𝑦 𝑧𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑦 1 𝑦2 1 𝑦 1 0 b 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 1 𝑦 𝑥 0 1 0 4 1 60 5 1 6 8 15 7 82 15 8 648 5 405 3 9 16 3 10 128 15 11 𝑚𝐷 𝜌 𝑎5 5 𝑥 𝑦 𝑧 5𝑎 6 5𝑎2 14 5𝑎2 14 12 𝑥 𝑦 𝑧 𝑀𝑦𝑧 𝑀 𝑀𝑥𝑧 𝑀 𝑀𝑥𝑦 𝑀 5 7 0 5 14 13 𝑀 1 12 14 𝑀 128𝑘 3 𝑧 1 15 a 5 2 b 𝐶 8 15 8 15 8 15 c 𝐼𝑥 𝐼𝑦 𝐼𝑧 11 6 d 𝑅𝑥 𝑅𝑦 𝑅𝑧 11 15 085635