Conteúdos Programáticos de Estatística II

Estatística II UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO UFMA Fundação instituída nos termos da Lei nº 5152 de 21101966 São Luís Maranhão CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA CCET DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DEMAT afonsofilhoufmabr CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS RECURSOS DIDÁTICOS PROCEDIMENTOS AVALIATIVOS TESTES DE HIPÓTESES OU SIGNIFICÂNCIAS Explicar definição de hipótese estatística testes de significâncias e tipos de erro Explicar Teste de Significância para Igualdade de Duas Médias Explicar Teste de Significância para Igualdade de Duas Proporções Explicar Teste de Significância paramétrico para Igualdade de Duas Variâncias Metodologia dialética Aula presencial de forma dialógica Notebook Datashow Apresentação de slides Será numa perspectiva processual através de critérios qualitativos frequência interação participação interesse compromisso habilidade atitude e competência comunicativa Na abordagem diagnóstica sondar os níveis de aprendizado dos alunos através da interação e competência comunicativa Na abordagem formativa acompanhar mediando o processo ensinoaprendizagem Na abordagem somativa atribuir critérios quantitativos aspectos da cientificidade compreensão análise e síntese dos conteúdos a partir de lista de exercícios e prova escrita Plano de Aula REFERÊNCIA FONSECA Jairo Simon MARTINS Gilberto de Andrade Curso de Estatística São Paulo Atlas 1995 p 196222 1 DEFINIÇÃO DE HIPÓTESE ESTATÍSTICA É uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional que será verificada por um TESTE PARAMÉTRICO quantitativo ou uma afirmação quanto à natureza da população que será verificada por um TESTE NÃOPARAMÉTRICO qualitativo 2 DEFINIÇÃO DE TESTE DE HIPÓTESE OU SIGNIFICÂNCIA É uma regra de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base nos elementos amostrais 3 TIPOS DE HIPÓTESES H0 chamada hipótese nula a hipótese a ser testada e expressa uma igualdade H1 chamada hipótese alternativa e expressa por uma desigualdade m H m H 70 1 70 1 1 1 1 0 m H m H 70 1 70 1 1 1 1 0 m H m H 70 1 70 1 1 1 1 0 A estatura média da população brasileira é 170m isto é Unilateral à direita Unilateral à esquerda Bilateral Realidade Ho verdadeira Ho falsa Decisão Aceitar Ho Decisão correta 1 Erro Tipo II ß Rejeitar Ho Erro Tipo I Decisão correta 1ß TIPOS DE ERRO ROTEIRO PARA ELABORAÇÃO DE UM TESTE DE SIGNIFICÂNCIA 1º Passo Enunciar as hipóteses H0 nula e H1 alternativa 2º Passo Fixar o limite do erro α e identificar a variável do teste 3º Passo Com auxílio das tabelas estatísticas considerando α e a variável do teste determinar as RC região crítica e RA região de aceitação para H0 4º Passo Com os elementos amostrais calcular o valor da variável do teste 5º Passo Concluir pela rejeição ou não de H0 pela comparação do valor calculado no 4º Passo com a RA e RC 3º Passo TESTE S DE SIGNIFICÂNCIAS PARAMÉTRICOS 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 1 𝑥 2 𝜎1 2 𝑛1 𝜎2 2 𝑛2 TESTE DE SIGNIFICÂNCIA PARA A IGUALDADE DE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS 1º CASO AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS SÃO CONHECIDAS INDEPENDENTES E NORMAIS 1º Passo 2º Passo Fixar α Escolha da variável normal padrão Z 3º Passo Com auxílio da Tabela Z determine RA e RC 𝑯𝟎 𝝁𝟏 𝝁𝟐 𝑯𝟏 𝝁𝟏 𝝁𝟐 4º Passo Cálculo da variável 5º Passo Decisão 𝑺𝒆 Z 𝜶 𝟐 𝒁𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒁 𝜶 𝟐 Não se pode Rejeitar H𝟎 𝑺𝒆 Zcalculado 𝒁 𝜶 𝟐 ou Zcalculado 𝒁 𝜶 𝟐 𝐑𝐞 𝒋 𝒆𝒊𝒕𝒂 𝒔𝒆 H𝟎 EXEMPLO Um analista pesquisa duas localizações alternativas para um centro comercial regional Uma vez que a renda familiar é uma consideração importante na escolha do local ele testa a H0 de que não existe diferença entre as renda médias das duas comunidades Para uma amostra de n1 31 famílias na 1ª comunidade apresenta renda média anual é de 15500 e com base em estudos anteriores aceitando o desviopadrão conhecido de σ 1800 Para uma amostra de n2 41 famílias na 2ª comunidade apresenta renda média de 14600 e um desviopadrão de σ 2400 Testar a hipótese nula ao nível 5 N1 n1 31 Pop Pop Amostra Amostra 𝑥 1 15500 N2 n2 41 𝑥2 14600 𝜎1 1800 𝜎2 2400 2 1 𝑯𝟎 𝝁𝟏 𝝁𝟐 não há diferença entre as rendas médias 𝑯𝟏 𝝁𝟏 𝝁𝟐 há diferença entre as rendas médias α 005 e a variável normal padrão Z 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 15500 14600 18002 31 24002 41 182 196 182 196 𝑁ã𝑜 se pode Rejeitar H0 Não se pode rejeitar a hipótese nula ou seja que não há diferença entre as rendas médias ao nível de significância de 5 1º Passo 3º Passo 4º Passo 5º Passo 2º Passo 04713 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑋1 𝑋2 𝑛1 1 𝑆1 2 𝑛2 1 𝑆2 2 𝑛1 𝑛2 2 1 𝑛1 1 𝑛2 TESTE DE SIGNIFICÂNCIA PARA A IGUALDADE ENTRE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS 2º CASO AS VARIÂNCIAS POPULACIONAIS SÃO DESCONHECIDAS PARA DADOS NÃO PAREADOS AMOSTRAS DIFERENTES 1º Passo 2º Passo Fixar α Escolha da variável de Student t 3º Passo Com auxílio da Tabela t determine RA e RC 2 1 1 2 1 0 H H 4º Passo Cálculo da variável 5º Passo Decisão Se t α 2 tcalculado t α 2 Não se pode rejeitar H0 Se tcalculado t α 2 ou tcalculado t α 2 Re j eita se H0 EXEMPLO Um analista está pesquisando duas localizações alternativas para um centro comercial regional Uma vez que a renda familiar é uma consideração importante na escolha do local ele testa a hipótese nula de que não existe diferença de renda média entre as duas comunidades Para uma amostra de n1 21 famílias na 1ª comunidade a renda média anual é de 15500 com um S 1800 Para uma amostra de n2 11 famílias na 2ª comunidade a renda média de 14600 e S 2400 Testar a hipótese nula ao nível de 5 N1 n1 21 Pop Pop Amostra Amostra 𝑥 1 15500 𝑆 1800 N2 n2 11 𝑥2 14600 𝑆 2400 2 1 𝑯𝟎 𝝁𝟏 𝝁𝟐 não há diferença entre as rendas médias 𝑯𝟏 𝝁𝟏 𝝁𝟐 há diferença entre as rendas médias α 005 e a variável t de Student H0 Rejeitar Não se pode 2 0423 120 2 0423 Não se pode rejeitar a hipótese nula ou seja que não há diferença entre as rendas médias ao nível de significância de 5 1º Passo 3º Passo 4º Passo 5º Passo 2º Passo 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 15500 14600 21 1 18002 11 1 24002 21 11 2 1 21 1 11 120 30 2 11 21 2 n n 2 1 22281 2 2 2 1 2 1 2 calculado n n x x Z 1 TESTE DE SIGNIFICÂNCIA PARA A IGUALDADE DE DUAS MÉDIAS POPULACIONAIS 3º CASO PARA DADOS PAREADOS DENTRO DA MESMA AMOSTRA 1º Passo 2º Passo Fixar α Escolha da variável t de Student 3º Passo Com auxílio da Tabela t determine RA e RC 2 1 1 2 1 0 H H 4º Passo Cálculo da variável 5º Passo Decisão 𝑆𝑒 t 𝛼 2 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑡 𝛼 2 Não se pode rejeitar H0 𝑆𝑒 tcalculado 𝑡 𝛼 2 ou tcalculado 𝑡 𝛼 2 Re 𝑗 𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒 H0 2 2 2 1 2 1 2 calculado n n x x Z 1 Um grupo de 12 estagiários em contabilidade são submetidos a um tipo de capacitação técnica através de um método tradicional e depois por um método novo Teste a hipótese que o rendimento médio do sistema estabelecido é igual ao rendimento médio do novo sistema ao nível de significância de 5 1º Passo 2º Passo 3º Passo 4º Passo 5º Passo 𝐻0 𝜇1 𝜇2 não há diferença entre os rendimentos médios 𝐻1 𝜇1 𝜇2 há diferença 𝜑 12 1 11 22710 TESTE DE SIGNIFICÂNCIA PARA A IGUALDADE ENTRE DUAS PROPORÇÕES POPULACIONAIS f1 e f2 são frequências relativas amostrais e p é o estimador comum a p1 e p2 dado por 1º Passo 2º Passo Fixar α Escolha da variável normal padrão Z 3º Passo Com auxílio da Tabela Z determine RA e RC p p H p p H 4º Passo Cálculo da variável 5º Passo Conclusões n n p p f f zcalculado 0 2 calculado 2 calculado 0 2 calculado 2 se H Re jeita Z ou Z Z Z Se Não se pode rejeitar H Z Z Z Se n x n e f x f n n x x p 2 EXEMPLO Foi conduzido um experimento para estudar a aversão de risco no mercado de ações A seguinte pergunta foi formulada a uma amostra de investidores homens e mulheres Se tanto o mercado de ações quanto uma determinada ação que você possua caírem 25 em três meses você compraria mais ações enquanto o preço está baixo De 227 homens 163 afirmaram que sim De 262 mulheres 154 disseram que sim No nível de significância de 5 existem evidências de que a proporção de mulheres que comprariam mais ações enquanto o preço estivesse baixo é igual a de homens N1 n1 227 Pop Pop Amostra Amostra 072 227 163 n x f 1 1 1 N2 n2 262 065 489 317 262 227 154 163 n n x x p 2 1 2 1 059 262 154 n x f 2 2 2 α 005 e a variável normal padrão Z 00 3 262 1 227 1 0 65 65 1 0 0 59 0 72 Zcalculado Rejeita se H ao nível de 5 196 3 00 0 1º Passo 3º Passo 4º Passo 5º Passo 2º Passo 2 1 1 2 1 0 p p H p p H 04713 TESTE DE SIGNIFICÂNCIA PARA IGUALDADE DE DUAS VARIÂNCIAS 1º Passo 3º Passo 4º Passo 5º Passo Fixar α Usar a variável De Fisher F com n1 1 graus de liberdade no numerador e n2 1 graus de liberdade no denominador 2 2 2 1 S S Fcalculado 2 2 1 2 2 0 2 1 2 1 H H 0 inf erior calculado superior calculado 0 superior calculado inferior se H Re jeita F ou F F F Se Não se pode rejeitar H F F F Se 2º Passo EXEMPLO Um analista está pesquisando duas localizações alternativas para um centro comercial regional Uma vez que a renda familiar é uma consideração importante na escolha do local ele testa a hipótese nula de que não existe diferença de renda média entre as duas comunidades Para uma amostra de n1 21 famílias na 1ª comunidade a renda média anual é de 15500 com um S 1800 Para uma amostra de n2 11 famílias na 2ª comunidade a renda média de 14600 e S 2400 Testar a hipótese nula de que as duas variâncias da renda familiar nas duas comunidades sejam iguais usando um nível de significância de 10 N1 n1 21 Pop Pop Amostra Amostra 1 800 S 15500 x 1 1 N2 n2 11 2 400 S 14600 x 2 2 2 1 1 calculando F e para invertendo o par Agora F 20 10 Para Tabela F Na graus de liberdade n graus de liberdade n 2 invertido 1 inferior 1 superior 2 1 2 1º Passo 2º Passo H H 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0 3º Passo 235 056