Ações de Controle e Estrutura Básica de Controladores

Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 138 9 AÇÕES DE CONTROLE E ESTRURURA BÁSICA DE CONTROLADORES 91 INTRODUÇÃO O controle automático é caracterizado pela medição variável controlada saída comparase este valor medido com o valor desejado referencia ou setpoint e a diferença entre estes dois valores é então processada para finalmente modificar ou não a posição do elemento final de controle O processamento é feito através de cálculos matemáticos e a cada tipo de cálculo é denominado ação de controle e tem o objetivo de tornar os efeitos corretivos no processo em questão os mais adequados Quando o sistema em malha fechada não atende os requisitos de projeto em termos de desempenho em regime e transitório desejados devese modificar a função de transferência através do uso de um controlador ou compensador Este controlador deve ter as propriedades adequadas para modificar as características do sistema para que os requisitos de projeto sejam atingidos Embora diversas estruturas de controle possam ser usadas os controladores são geralmente escolhidos dentre alguns tipos básicos de estrutura o que facilita a análise do seu comportamento e o projeto dos seus parâmetros Não se justifica na maior parte das aplicações a escolha de estruturas diferentes das padronizadas Em geral quanto mais complexa a estrutura de um controlador com maior número de parâmetros maior é a liberdade em atender diversos requisitos de projeto mas mais complexo é o ajuste dos parâmetros Neste capítulo discutiremos tanto estes princípios gerais de projeto e os requisitos sobre os controladores como as estruturas que atendem àqueles requisitos Os controladores apresentados nesta seção serão usados nas seções seguintes os quais abordam a questão do projeto ou seja da determinação dos parâmetros dos controladores visando algum desempenho especificado do sistema em malha fechada O projeto de sistemas de controle visa obter um desempenho do sistema tal que 1 O sistema seja estável 2 A resposta transitória do sistema seja aceitável 3 O erro em regime permanente que atenda às especificações Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 139 Para se obter tal desempenho o primeiro passo consiste no ajuste dos parâmetros do sistema de modo a atender as especificações 1 a 3 acima Para tanto podese lançar mão dos métodos já estudados Por exemplo usandose o Lugar Geométrico das Raízes é possível determinar o valor do ganho estático de modo a assegurar um desempenho estável para uma dada razão de amortecimento dos pólos dominantes Ou alternativamente os Diagramas de Bode podem ser usados para ajustar parâmetros do sistema de modo a se obter margem de ganho e fase especificadas etc Contudo nem sempre é possível se obter o desempenho desejado através de simples ajuste de parâmetros Muitas vezes as especiações em termos do regime transitório e aquelas que dizem respeito ao regime permanente são conflitantes de modo que não é possível se atender a ambas as especificações ajustandose os parâmetros do sistema existente Nestes casos fazse necessário partirse para um re estudo da estrutura do sistema Assim podese dizer de maneira ampla que o projeto de sistema de controle diz respeito ao arranjo da estrutura do sistema e à seleção de parâmetros e componentes convenientes A alteração na estrutura eou o ajuste de um sistema de controle de modo que se obtenha o desempenho desejado é chamada compensação Como o nome indica a compensação visa suprir as deficiências do sistema com o fim de se obter o desempenho desejado Os métodos de projeto a serem vistos nos capítulo subsequentes para sistemas de 1ª e 2ª ordem através de controladores passa baixo PI PID são métodos de compensação que utilizam ferramentas como o Diagramas de Bode e o Lugar Geométrico das Raízes rootlocus 911 CARACTERISTICAS DESEJÁVEIS DO SISTEMA CONTROLADO O sistema em malha fechada com o controlador projetado deve apresentar algumas características básicas tanto do ponto de vista de desempenho em regime permanente quanto em regime transitório O desempenho transitório envolve a estabilidade amortecimento e tempo de resposta O desempenho em regime permanente se refere aos erros em regime a diversos sinais padrão De forma genérica podemos descrever os requisitos de projeto como sendo Estabilidade Esta é uma característica fundamental para sistemas de controle que devem ser estáveis para a faixa de variação esperada dos parâmetros Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 140 Boa resposta transitória Do ponto de vista de desempenho dinâmico além da estabilidade o sistema deve apresentar uma adequada resposta transitória no sentido de que o amortecimento deve ser elevado e o tempo de resposta deve ser reduzido A determinação precisa dos valores de amortecimento e tempo de resposta dependem dos requisitos de projeto e limitações decorrentes das próprias características do sistema controlado Respostas do tipo exponencial amortecida tipo 1a ordem ou do tipo oscilatória amortecida tipo 2a ordem com um amortecimento entre 0 43 e 0 70 são consideradas como adequadas Erro nulo ou baixo O sistema deve apresentar um erro nulo ou baixo em regime permanente a sinais padrão como degrau rampa ou parábola O sinal a ser usado depende dos objetivos do sistema de controle As características de resposta de um sistema podem ser analisadas do ponto de vista da posição dos pólos no plano complexo ou em termos das características da resposta em frequência do sistema como dadas por exemplo pelo diagrama de Bode Analisaremos a seguir as características desejáveis do sistema do ponto de vista da posição dos pólos no plano complexo e da resposta em frequência e a ação esperada do controlador para que aquelas características sejam atingidas 912 POSIÇÃO DOS PÓLOS A posição dos pólos dominantes do sistema pode ser relacionada ao amortecimento e tempo de resposta do sistema Do ponto de vista de desempenho transitório quanto mais afastados os pólos dominantes do eixo imaginário mais rápido é o sistema O amortecimento também aumenta com a proximidade dos pólos do eixo real Se o sistema em malha fechada não tem o desempenho transitório esperado então o controlador deve modificar o lugar das raízes assegurando que os pólos dominantes estejam localizados de tal forma a atender àqueles requisitos Do ponto de vista do desempenho em regime permanente o ganho correspondente à posição dos pólos dominantes deve ser alto o suficiente para garantir que o erro esteja dentro da faixa fixada Novamente o controlador deve atuar no sentido de atender a este requisito mas sem alterar o lugar das raízes significativamente em torno da posição dos pólos dominantes Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 141 913 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA Podese resumir as características desejáveis do sistema de controle em termos da resposta em frequência dizendo que o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta deve apresentar altos ganhos em baixas frequências e baixos ganhos em altas frequências Altos ganhos em baixas frequências estão diretamente relacionados à altas constantes de erro ou seja altos ganhos estáticos de velocidade etc Por outro lado baixos ganhos em altas frequências asseguram maiores margens de ganho ou de fase Portanto do ponto de vista do desempenho em regime permanente o controlador deve permitir o aumento e ganho nas baixas frequências impedindo que a margem de fase seja deteriorada Do ponto de vista da resposta transitória o controlador deve aumentar a margem de fase e a banda de passagem do sistema para assegurar que os requisitos de amortecimento e de tempo de resposta sejam atendidos 92 AÇÃO DE CONTROLE MODOS DE ACIONAMENTO O sinal de saída do controlador depende de diferença entre a variável do processo saída ou PV e o valor desejado para aquele controle referencia ou SP Assim dependendo do resultado desta diferença a saída pode aumentar ou diminuir Baseado nisto um controlador pode ser designado a trabalhar de dois modos distintos chamados de ação direta e ação indireta A ação do controlador deve ser escolhida corretamente em função do processo para que o controlador funcione adequadamente A escolha errada da ação de controlador pode provocar uma instabilidade no sistema e o controlador não conseguirá operar em automático Na maioria dos sistemas digitais definise que o controlador com ação direta é aquele que quando a variável do processo aumenta a saída do controlador também aumenta No caso do controlador funcionando na ação reversa quando há um aumento na variável do processo em relação ao valor desejado ocorre um decréscimo no sinal de saída do controlador Para exemplificar suponha que se coloque um controlador para controlar o nível de um tanque atuando na vazão de retirada do mesmo Logo se o nível que é a PV subir a saída do controle deve aumentar abrindo a válvula Portanto este controlador deve ter a Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 142 ação direta Se a ação for configurada errada quando o nível subir o controle vai fechar a válvula fazendo com que o nível suba ainda mais até transbordar 93 AÇÃO DE CONTROLADOR ONOFF LIGADESLIGA De todas as ações de controle a ação em duas posições é a mais simples e também a mais barata e por isso é extremamente utilizada tanto em sistemas de controle industrial como doméstico Como o próprio nome indica ela só permite duas posições para o elemento final de controle ou seja totalmente aberto ou totalmente fechado Assim a variável manipulada é rapidamente mudada para o valor máximo ou o valor mínimo dependendo se a variável controlada está maior ou menor que o valor desejado Devido a isto o controle com este tipo de ação fica restrito a processos prejudiciais pois este tipo de controle não proporciona balanço exato entre entrada e saída de energia Para exemplificar um controle ONOFF recorremos ao sistema de controle de nível mostrado na figura 91 Neste sistema para se efetuar o controle de nível utilizase um flutuador para abrir e fechar o contato S energizando ou não o circuito de alimentação da bobina de um válvula do tipo solenóide Este solenóide estando energizado permite passagem da vazão máxima e estando desenergizado bloqueia totalmente o fluxo do líquido para o tanque Assim este sistema efetua o controle estando sempre em uma das posições extremas ou seja totalmente aberto ou totalmente fechado Figura 91 Sistema ONOFF de Controle de Nível de Líquido Observe que neste tipo de ação vai existir sempre um intervalo entre o comando liga e o comando desliga Este intervalo diferencial faz com que a saída do controlador Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 143 mantenha seu valor presente até que o sinal de erro tenha se movido ligeiramente além do valor zero Em alguns casos este intervalo é proveniente de atritos e perdas de movimento não intencionalmente introduzido no sistema Entretanto normalmente ele é introduzido com a intenção de evitar uma operação de ligadesliga mais freqüente o que certamente afetaria na vida útil do sistema O intervalo entre as ações é chamado de histerese A figura 92 mostra através do gráfico o que vem a ser este intervalo entre as ações ligadesliga Figura 92 Intervalo entre as ações de ligadesliga histerese O fato deste controle levar a variável manipulada sempre a uma das suas posições extremas faz com que a variável controlada oscile continuamente em torno do valor desejado Esta oscilação varia em freqüência e amplitude em função do intervalo entre as ações e também em função da variação da carga Com isto o valor médio da grandeza sob controle será sempre diferente do valor desejado provocando o aparecimento de um desvio residual denominado erro de offset vide fig 93 Figura 93 Curvas do processo Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 144 931 CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DO CONTROLE ONOFF Basicamente todo controlador do tipo ONOFF apresenta as seguintes características a A correção independe da intensidade do desvio b Provoca oscilações no processo c Deixa sempre erro de offset 932 CONCLUSÃO Conforme já foi dito o controle através da ação em duas posições é simples e ainda econômico sendo portanto utilizado largamente nos dias atuais Principalmente os controles de temperatura nos fornos elétricos pequenos fornos de secagem etc são realizados em sua maioria por este método No entanto por outro lado apresenta certas desvantagens por provocar oscilações e offset e principalmente quando provoca tempo morto muito grande os resultados de controle por estes controles simples tornam se acentuadamente inadequados Assim quando não é possível utilizar este tipo de controle recorrese a outros tipos de controle mais complexos mas que eliminam os inconvenientes deste tipo 94 AÇÃO PROPORCIONAL AÇÃO P Foi visto anteriormente que na ação ligadesliga quando a variável controlada se desvia do valor ajustado o elemento final de controle realiza um movimento brusco de ON liga para Off desliga provocando uma oscilação no resultado de controle Para evitar tal tipo de movimento foi desenvolvido um tipo de ação no qual a ação corretiva produzida por este mecanismo é proporcional ao valor do desvio Tal ação denominouse ação proporcional A figura 94 indica o movimento do elemento final de controle sujeito apenas à ação de controle proporcional em uma malha aberta quando é aplicado um desvio em degrau num controlador ajustado para funcionar na ação direta Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 145 Fig 94 Movimento do elemento final de controle A ação proporcional pode ser determinada pela seguinte equação MV Kp DV S0 Onde MV Sinal de saída do controlador Kp Constante de proporcionalidade ou ganho proporcional S0 Sinal de saída inicial DV Desvio VP SV VP Variável do processo PV SV SP Valor Setado Desejado Note que mesmo quando o desvio é zero há um sinal S0 saindo do controlador cuja finalidade é a de manter o elemento final de controle na posição de regime E mais para se obter o controle na ação direta ou reversa basta mudar a relação de desvio Assim para DV PV SV temse a ação direta e DV SV PV temse a ação reversa Um exemplo simples de controle utilizando apenas a ação proporcional é o mostrado na figura 95 onde a válvula de controle é aberta ou fechada proporcionalmente à amplitude do desvio Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 146 Fig 95 Exemplo de um sistema simples com ação proporcional 941 ERRO DE OFFSET Verificose até aqui que ao introduzirmos os mecanismos da ação proporcional eliminamos as oscilações no processo provocados pelo controle ligadesliga porém o controle proporcional não consegue eliminar o erro de offset visto que quando houver um distúrbio qualquer no processo a ação proporcional não consegue eliminar totalmente a diferença entre o valor desejado e o valor medido variável controlada conforme pode ser visto na figura 98 A figura 96 mostra a ação do controlador proporcional quando ocorre um erro em degrau Observase que a ação proporcional também será um degrau pois ela tem a mesma forma do erro apenas multiplicada por um ganho proporcional Se o erro não variar e ficar constante como mostra a figura 96 a saída do controlador P também não irá variar Portanto estes controladores permitem um erro em regime permanente isto é eles podem encontrar um ponto de equilíbrio onde existe um desvio entre o valor desejado e a variável a ser controlado Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 147 Fig 96 Resultado do controle pela ação proporcional 942 CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DO CONTROLE PROPORCIONAL Basicamente todo controlador do tipo proporcional apresenta as seguintes características a Correção proporcional ao desvio b Existência de uma realimentação negativa c Deixa erro de offset após uma variação de carga 943 CONCLUSÃO Vimos que com a introdução da ação proporcional se consegue eliminar as inconvenientes oscilações provocadas pelo controle ONOFF No entanto esta ação não consegue manter os sistemas em equilíbrio sem provocar o aparecimento do erro de off set caso haja variação na carga distúrbio que muitas vezes pode ser contornado pelo operador que de tempos em tempos manualmente faz o reajuste do controle eliminando este erro Se entretanto isto ocorrer com freqüência tornase desvantajosa a ação de correção do operador e então outro dispositivo dever ser usado Assim sistemas de controle apenas com ação proporcional somente devem ser empregados em processos onde grandes variações de carga são improváveis que permitem pequenas incidências de erros de offset ou em processos com pequenos tempos mortos Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 148 95 AÇÃO INTEGRAL AÇÃO I Ao utilizar o controle proporcional conseguimos eliminar o problema das oscilações provocadas pela ação ONOFF e este seria o controle aceitável na maioria das aplicações se não houvesse o inconveniente da não eliminação do erro de offset sem a intervenção do operador Esta intervenção em pequenos processos é aceitável porém em grandes plantas industriais isto se torna impraticável Para resolver este problema e eliminar este erro de offset desenvolveuse uma nova unidade denominada ação integral A ação integral vai atuar no processo ao longo do tempo enquanto existir diferença entre o valor desejado e o valor medido Assim o sinal de correção é integrado no tempo e por isto enquanto a ação proporcional atua de forma instantânea quando acontece um distúrbio em degrau a ação integral vai atuar de forma lenta até eliminar por completo o erro Para melhor estudarmos como atua a ação integral em um sistema de controle recorremos à figura 97 onde está sendo mostrado como se comporta esta ação quando o sistema é sensibilizado por um distúrbio do tipo degrau em uma malha aberta Observe que a resposta da ação integral foi aumentando enquanto o desvio esteve presente até atingir o valor máximo do sinal de saída até entrar em saturação Assim quanto mais tempo o desvio perdurar maior será a saída do controlador e ainda se o desvio fosse maior sua resposta seria mais rápida ou seja a reta da figura 97 seria mais inclinada Fig 97 Resposta da ação integral em distúrbio em degrau Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 149 Percebemos então que a resposta desta ação de controle é função do tempo e do desvio e deste modo podemos analiticamente expressála pela seguinte equação DV K dt ds I Onde dsdt Taxa de variação de saída do controlador DV desvio KI ganho integral ou taxa integral Na maioria das vezes o inverso de KI chamado de tempo integral I i K T 1 é usado para descrever a ação integral Ti tempo necessário para que uma repetição do efeito proporcional seja obtido sendo expresso em minuto por repetição MPR ou segundo por repetição SPR Integrando a equação anterior encontrase a saída atual do controlador em qualquer tempo como o t I S DV t dt K MV t 0 Onde MVt saída do controlador para um tempo t qualquer S0 saída do controlador para t o Esta equação mostra que a saída atual do controlador MVt depende do histórico dos desvios desde quando este começou a ser observado em t 0 e por conseguinte ao ser feita a correção do desvio esta saída não mais retornará ao valor inicial como ocorre na ação proporcional 951 CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DO CONTROLE INTEGRAL As principais características do controle integral são a Correção depende não só do erro mas também do tempo em que ele perdurar b Ausência do erro de offset Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 150 952 CONCLUSÃO Vimos que a ação integral foi introduzida principalmente para eliminar o erro de offset deixado pela ação proporcional atuando então até que o desvio volte a ser nulo No entanto como ela é uma função do tempo sua resposta é lenta e por isto desvios grandes em curtos espaços de tempo não são devidamente corrigidos Um outro fator importante notado quando se usa este tipo de ação é que enquanto o desvio não mudar de sentido a correção por exemplo o movimento de válvula não mudará de sentido podendo provocar instabilidade no sistema Tipicamente a ação integral não é usada sozinha vindo sempre associada à ação proporcional pois deste modo temse o melhor das duas ações de controle melhor tempo de resposta sem erro de offset A ação proporcional corrige os erros instantaneamente e a integral se encarrega de eliminar a longo prazo qualquer desvio que permaneça por exemplo erro de offset Entretanto às vezes ela pode ser utilizada sozinha quando o sistema se caracteriza por apresentar por pequenos atrasos de processos e correspondentemente pequenas capacitâncias 96 AÇÃO DERIVATIVA AÇÃO D Vimos até agora que o controlador proporcional tem sua ação proporcional ao desvio e que o controlador integral tem sua ação proporcional ao desvio versus tempo Em resumo eles só atuam em presença do desvio O controlador ideal seria aquele que impedisse o aparecimento de desvios o que na prática seria difícil No entanto pode ser obtida a ação de controle que reaja em função da velocidade do desvio ou seja não importa a amplitude do desvio mas sim a velocidade com que ele aparece Este tipo de ação é comumente chamado de ação derivativa Ela atua fornecendo uma correção antecipada do desvio isto é no instante em que o desvio tende a acontecer ela fornece uma correção de forma a prevenir o sistema quanto ao aumento do desvio diminuindo assim o tempo de resposta Matematicamente esta ação pode ser representada pela seguinte equação S0 dt T de MV d Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 151 Onde dt de Taxa de variação do desvio S0 Saída para desvio zero Td Tempo derivativo O tempo derivativo também chamado de ganho derivativo significa o tempo gasto para se obter a mesma quantidade operacional da ação proporcional somente pela ação derivativa quando o desvio varia numa velocidade constante As características deste dispositivo podem ser notadas através dos gráficos da figura 98 No caso a houve uma variação em degrau isto é a velocidade de variação foi infinita Neste caso a ação derivativa que é proporcional à velocidade desvio causou uma mudança brusca considerável impulsiva na variável manipulada No caso b está sendo mostrada a resposta da ação derivativa para a situação na qual o valor medido é mudado numa razão constante rampa A saída derivativa é proporcional à razão de mudança deste desvio Assim para uma grande mudança temos uma maior saída do desvio à ação derivativa Fig 98 Resposta da ação derivativa a uma mudança da variável do processo Analisaremos agora a figura 99 que mostra a saída do controlador em função da razão de mudança de desvio Observe que para uma dada razão de mudança do desvio Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 152 existe um único valor de saída do controlador O tempo traçado do desvio e a nova resposta do controlador mostram o comportamento desta ação conforme pode ser visto na figura Fig 99 Ação de controle do modo derivativo para uma amostra de sinal de desvio 961 CARACTERÍSTICAS BÁSICAS DO CONTROLE DERIVATIVO As principais características do controle derivativo são a A correção é proporcional à velocidade de desvio b Não atua caso o desvio for constante c Quanto mais rápida a razão de mudança do desvio maior será a correção 962 CONCLUSÃO Como esta ação de controle depende somente da razão da variação do desvio e não da amplitude deste não deve ser utilizada sozinha pois tende a produzir movimentos rápidos no elemento final de controle tornando o sistema instável No entanto para processos com grandes constantes de tempo ela pode vir associada à ação proporcional Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 153 e principalmente às ações proporcional e integral Esta ação não deve ser utilizada em processos com resposta rápida e não pode ser utilizada em qualquer processo que apresente ruídos no sinal de medição tal como vazão pois neste caso a ação derivativa no controle irá provocar rápidas mudanças na medição devido a estes ruídos Isto causará grandes e rápidas variações na saída do controlador o qual irá manter a válvula em constante movimento danificandoa e levando o processo à instabilidade 97 CONTROLADOR PID PROPORCINTEGRALDERIVATIVO É interessante assinalar que mais da metade dos controladores industriais em uso nos dias atuais utiliza estratégias de controle PID ou PID modificadas A maioria dos controles analógicos é hidráulica pneumática elétrica e eletrônica ou resulta de uma combinação destes tipos Correntemente muitos deles são transformados em digitais por intermédio dos microprocessadores Tendo em vista que a maioria dos controladores é ajustada no local de uso têm sido propostos na literatura muitos tipos diferentes de regras de sintonia A utilização destas regras de sintonia tem tornado possível o ajuste suave e preciso dos controladores PID no local de uso Além disso têm sido desenvolvidos métodos visando a sintonia automática e alguns controladores PID podem ser dotados de capacidade de sintonia automática em operação online Muitos métodos práticos de comutação suave da operação manual para a operação automática e de programação de ganho estão disponíveis comercialmente A utilidade dos controladores PID reside na sua aplicabilidade geral à maioria dos sistemas de controle No campo dos sistemas de controle de processos contínuos é fato conhecido que as estruturas de controle PID e PID modificadas provaram sua utilidade ao proporcionar controle satisfatório embora não possam fornecer o controle ótimo em muitas situações específicas Existem também outros quatro tipos de controladores P I PI PD possui estrutura simples e é eficiente para vasta classe de processos A estrutura básica de um controlador PID ideal é Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 154 a b Figura 910 a Estrutura do PID paralela b Entrada e saída do controlador Matematicamente t d i p dt T de t e t dt T e t K u t 0 1 Ou t d I p dt de t K e t dt K e t K u t 0 O controle proporcional associado ao integral e ao derivativo é o mais sofisticado tipo de controle utilizado em sistemas de malha fechada A ação do proporcional elimina as oscilações a integral elimina o desvio de offset enquanto a derivativa fornece ao sistema uma ação antecipativa evitando previamente que o desvio se torne maior quando o processo se caracteriza por ter uma correção lenta comparada com a velocidade do desvio por exemplo alguns controles de temperatura O termo de natureza integral tem a característica de fornecer uma saída não nula após o sinal de erro ter sido zerado Este comportamento é conseqüência do fato de que a saída depende dos valores passados do erro e não do valor atual Em outras palavras erros passados carregam o integrador num determinado valor o qual persiste mesmo que o erro se torne nulo Esta característica tem como conseqüência que distúrbios constantes podem ser rejeitados com erro nulo já que diferentemente do que ocorre com controladores proporcionais aqui não é necessário que o erro seja não nulo para dar origem a um controle que cancele o efeito do distúrbio Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 155 Assim a principal razão para a presença do termo de natureza integral é reduzir ou eliminar erros estacionários Note que a esse termo corresponde um pólo na origem da função de transferência de malha aberta e conseqüentemente o aumento do tipo do sistema Em contrapartida esse benefício geralmente é obtido as custas de uma redução da estabilidade ou do amortecimento do sistema O termo derivativo tem o papel de aumentar o amortecimento e em geral melhorar a estabilidade de um sistema Intuitivamente a ação do termo derivativo pode ser entendida quando considerarmos um controlador PD Proporcional Derivativo num instante em que o erro é momentaneamente nulo mas sua taxa de variação não Nesse caso o termo proporcional não terá contribuição alguma sobre a saída mas o termo derivativo sim este último tem assim o papel de fazer com que o controlador se antecipe a ocorrência do erro Essa característica de tornar o controlador sensível à taxa de variação do erro tem claramente o efeito de aumentar o amortecimento do sistema Ocorre no período de transitório e seu efeito não é menos considerável a medida que o erro tende a zero visto que a variação do da saída do sistema tende a zero A combinação dos termos de natureza proporcional integral e derivativa é normalmente utilizada para se obter um grau aceitável de redução de erro estacionário simultaneamente com boas características de estabilidade e amortecimento A influencia peso que cada ação de controle deve fornecer ao sistema varia para cada aplicação e comumente é denominado de sintonia do controlador PID O processo de sintonia é uma arte na engenharia de controle Exemplo Consideremos uma planta com função de transferência 1 20 1 s s G s E analisemos o sistema em malha fechada resultante para controladores de quatro tipos P proporcional PI PD e PID 1º Controlador proporcional Kp Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 156 A função de transferência do controlador é P C K s G Para distintos valores de Kp os pólos do sistema excursionam segundo a figura a seguir Para que o erro estacionário à entrada degrau seja pequeno é necessário que o ganho Kp do controlador seja suficientemente grande Ganhos elevados contudo têm como conseqüência à existência de pólos complexos conjugados e portanto de respostas altamente oscilatórias 2º Controlador PI Proporcional Integral A função de transferência do controlador é i P C sT K s G 1 1 Para distintos valores de Kp e Ti os pólos do sistema excursionam segundo a figura a seguir Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 157 Escolhendose Ti 5 o zero do controlador coincide com o pólo da planta situado em 02 O erro estacionário para uma entrada degrau é nulo independentemente do valor do ganho Note porém que quando comparado com o caso do controlador proporcional o lugar geométrico das raízes se deslocou para a direita 3º Controlador PD Proporcional Derivativo A função de transferência do controlador é d P C s T K s G 1 Suponhamos por exemplo que Td 5 de maneira que o zero do compensador coincide com o pólo s 02 da planta Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 158 Neste caso o sistema é do tipo zero apresentando pois erro estacionário finito para entrada degrau No entanto mesmo que se trabalhe com valores de ganhos elevados para que este erro seja reduzido a resposta do sistema sempre terá caráter superamortecido 4º Controlador PID Proporcional Integral Derivativo A função de transferência do controlador é d i P C s T sT K s G 1 1 Suponhamos que Td 0833 e Ti 60 de maneira que os zeros do compensador se situem nos pontos s 02 e s 1 cancelando assim os pólos de malha aberta da planta O sistema resultante é do tipo 1 apresentando pois erro estacionário nulo para entrada degrau para valores arbitrários de ganho Além disso a sua resposta é sempre superamortecida As características dos controladores PID Um controlador proporcional Kp terá o efeito de reduzir o tempo de subida e reduzirá mas nunca eliminará o erro de estado estacionário Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 159 Um controlador integral Ki terá o efeito de eliminar o erro de estado estacionário mas ele pode fazer a resposta transitória piorar Um controlador derivativo Kd terá o efeito de aumentar a estabilidade do sistema reduzindo o overshoot e melhorando a resposta transitória Os efeitos de cada um dos controladores Kp Ki e Kd em um sistema de malha fechada estão sintetizados na tabela a seguir Resposta Característica Tempo de Subida Overshoot Sobresinal Tempo de Acomodação Erro de Estado Estacionário Kp Diminui Aumenta Peq Mudança Diminui Ki Diminui Aumenta Aumenta Elimina Kd Peq Mudança Diminui Diminui Peq Mudança Note que estas correlações podem não ser exatamente obtidas porque Kp Ki e Kd são dependentes uma da outra Na verdade mudança em uma dessas variáveis pode mudar o efeito das outras duas Por esta razão a tabela deveria somente ser usada como uma referência quando você estiver determinando os valores de Kp Ki e Kd Devido à derivação Gcs UsEs possui dois zeros e um pólo sendo não realizável O problema de sintonização do controlador PID consiste na determinação de valores adequados de Kp Ki e Kd Exemplo Dado o sistema de controle abaixo de primeira ordem determine o ganho k de um controlador proporcional de forma que o sistema atinja o regime permanente em menos de 10ms com um erro offset de 5 após a aplicação de um degrau unitário Faça uma simulação da resposta mostrando os resultados obtidos Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 160 Pelo TVF teorema do valor final temos Como o degrau é unitário então 95 desse valar temos 095 É o valor final a ser atingido já que não há como atingir o valor 1 do setpoint devido ao offset imposto pelo controle proporcional na planta t s 0 s 0 k k lim yt lims Ys lims 095 k 76 s k 4 k 4 Considerando agora que a resposta tem que ir para esse valor com um tempo menor que 10ms então 1 4 Ts 4 4 005 seg 4 k 80 τ ou 50ms portanto bem maior que 10ms solicitado Então calculemos o valor de k para 10ms O valor de k a ser encontrado será maior favorecendo a primeira condição com um valor de erro menor que 5 1 4 4 0010 k 396 4 k τ O novo erro será 396 099 396 4 ou seja erro de 1 É bom lembrar que para a implementação prática desta solução devese considerar as limitações dos dispositivos a serem empregados Código MATLAB k76 t0000101 numk den1 4k y1stepnumdent k396 numk den1 4k y2stepnumdent plotty1rty 2b grid Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques Sistema de controle proporcional sistema de 1a ordem A en 07 fon oan inp nn pn tn 3 I I I I I S 05 i i i i I 7 E 04 7 T 1 I r T 7 0p I I I I I I 024 i i i i i i 5 001 002 003 004 005 006 007 008 009 01 Tempo de simulagao Exercicio proposto A planta do sistema de controle mostrado na figura abaixo 6 de segunda ordem e superamortecida em malha aberta verifique determine o ganho k de um controlador proporcional em malha fechada de forma que o sistema atinja um erro offset igual ou inferior a 5 apds a aplicacao de um degrau unitario y L Y S s6s54 1 O sistema em malha fechada com controlador sera subamortecido ou continuara sendo superamortecido 2 Considerando o ganho k encontrado determine O overshoot atingido em percentual pela resposta do sistema O tempo de estabelecimento critério 2 Faca uma simulacao da resposta mostrando os resultados obtidos 3 Se aumentarmos o valor do ganho do controlador proporcional k para 5 vezes o valor encontrado havera alteracdo no tempo de estabelecimento Justifique a sua resposta realizando calculos e conferindo através de simulacdo E10 fle 4 Mp e YT 7100 Tso 41 En 161 Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 162 971 AJUSTE EMPÍRICO DO CONTROLADOR PID Os métodos mais usuais propostos por ZieglerNichols são a Método da Resposta Transitória Estrutura do Controlador KP Ki Kd P 1LS PI 09LS 3L PID 12LS 2L 05L b Método do Ganho Crítico Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 163 Estrutura do Controlador KP Ki Kd P 05 KMax PI 045 kMax 12 Tc PID 06 KMax Tc2 Tc8 c Método do Decaimento 14 Caso a instabilidade seja catastrófica o seguinte procedimento é recomendado 4 1 a b d Estrutura do Controlador KP Ki Kd P K14 PI 09 K14 T14 PID 12 K14 T14 T144 Exemplo Seja um sistema de posição dado pelo seguinte diagrama de blocos Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 164 Utilizando o método do ganho crítico faça a Fazer o primeiro ajuste do controle PID obtendo os ganhos Kp Kd e Ki b Plotar o gráfico da resposta deste sistema a uma entrada degrau de 30 de referência setpoint c Fazer os ajustes fino com o objetivo de se ter a melhor resposta possível Resolução Item a Utilizando o controlador PID ajustamos em um primeiro momento Ti Ki 0 Td 0 Kd 0 e Kc Kp obtemos a função de transferência do sistema 8Kc Ys ss 2s 4 8Kc 8Kc 8Kc Us ss 2s 4 8Kc s³ 6s² 8s 8Kc 1 ss 2s 4 A equação característica é dada por s³ 6s² 8s 8Kc 0 As raízes para as quais o sistema terá parte real nula correspondem a s j ω sendo ω uma incógnita a ser determinada portanto substituindo j ³ 6j ² 8j 8Kc 0 j³ ³ 6j² ² 8j 8Kc 0 ω ω ω ω ω ω Sabemos que j² 1 e que j³ j²j j substituindo j ³ 6 ² 8j 8Kc 0 ω ω ω Rearranjando os termos reais e imaginários temos 8Kc 6 ² j8 ³ 0 ω ωω Para que este complexo seja zero tanto a parte real quanto a imaginária devem se zero logo chegamos no seguinte sistema de equações 8Kc 6 ² 0 8 ³ 0 ω ω ω Da segunda equação tiramos Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 165 8 ² 0 0 ou ² 8 8 283 radseg ω ω ω ω ω considerase a raiz positiva maior que zero Logo c c 2 2 283 radseg 283 2 f Tc 2 22 seg Tc 283 π π ω π Substituindo o valor de c ω na primeira equação temos 8Kc 68 0 Kc 6 Cálculo dos ganhos do controlador Kp 0 6Kc 0 66 3 6 1 Kp 36 Ti 05Tc 052 22 111 seg Ki 3 24 seg Ti 111 Td 0125Tc 01252 22 0 28 seg Kd KpTd 60 28 1 68 seg Item b Simulando o sistema para esses valores de ganho temos Código MATLAB Kp6 Ki324 Kd168 numcKd Kp Ki denc1 0 nump8 denpconv1 2conv1 41 0 numconvnumcnump denconvdencdenp nummfdenmfcloopnumden t0000110 step30nummfdenmft grid O gráfico fica Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 166 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 System sys Peak amplitude 449 Overshoot 498 At time sec 0959 System sys Settling Time sec 347 Step Response Time sec Amplitude Observe que o overshoot ficou próximo de 50 e o tempo de estabelecimento próximo de 35 seg Overshoots da ordem de 60 podem ocorrer com os valores de ganhos obtidos por este método Portanto tornase necessário um ajuste fino desses ganhos Item c Melhorando a sintonia e alterando por exemplo os valores de Kp de 6 para 5 Ki de 324 para 01 e Kd de 168 para 4 obtemos através da simulação do Matlab o gráfico a seguir Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 167 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 System sys Peak amplitude 355 Overshoot 184 At time sec 0598 System sys Settling Time sec 149 Step Response Time sec Amplitude Note que com o ajuste fino o overshoot caiu para algo próximo de 18 e o tempo de estabelecimento para próximo de 15 seg Se estas características da resposta atendem o processo então o controlador está sintonizado Os novos valores de Ti e Td serão 1 Kp Kp 5 Ki Ti 50 seg Ti Ki 01 Kd 4 Kd KpTd Td 08 seg Kp 5 Exercício proposto O sistema dado pela função de transferência 10s s² 2s 3 é instável em malha aberta observe que o denominador com polinômio do segundo grau e um dos elementos é negativo com polos dados por p110 j141 Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 168 a Sintonize um controlador PID utilizando o método de ZieglerNichols ganho crítico de forma a estabilizar este processo b Faça uma simulação e veja como ficou a sintonia b1 Quais os valores aproximados de Mp Tr e Ts c Altere alguns valores de ganho e tente melhorar a resposta c1 Quais os novos valores aproximados de MP Tr e Ts d Mostre que o controlador fará com que o valor final seja de 10ki 10ki 3 Sendo kp ki Ti Resp Kc2 Tc363 Ganhos do controlador Kp12 Ti182 Td045 Lista de Exercícios sobre Ações de Controle e Estruturas Básicas de Controladores Controladores PID 1 Considere o sistema a Considere inicialmente que Gcs é igual a Kp ou seja estamos perante um sistema de controle proporcional Nestas condições determine o erro estacionário do sistema para uma referência a degrau Use o teorema do valor final e confira a resposta usando o simulink b Faça um estudo da estabilidade do sistema em função do ganho proporcional simule no matlab c Projete um controlador do tipo PID usando o algoritmo de ZieglerNichols decaimento 14 Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 169 2 Considere agora o seguinte sistema de controle Determine os parâmetros PID do sistema utilizando o método de sintonização de ZieglerNichols para os métodos apresentados no capítulo Verifique com a ajuda do Matlab se overshoot ultrapassa os 25 Nesse caso ajuste os parâmetros por tentativa e erro até encontrar os valores pretendidos para isto utilize a tabela a seguir Tipo de Controlador tr Overshoot ts Erro Estacionário Kp Ti 0 Td 3 Se a planta da figura abaixo tem a seguinte função de transferência Gs1ss1 e tem um controle proporcional mais integrador perguntase a Função de Transferência de Malha Fechada b Qual o erro em RP para uma entrada degrau c As posições dos pólos e zeros d Compare a estabilidade com o sistema com compensador apenas proporcional e apenas integral a constante de tempo integral KpKi é 2s Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 170 4 Se a planta da figura abaixo tem uma função de transferência de Gps1ss1 e tem um controle proporcional mais derivativo pedese a Função de Transferência de Malha Fechada b Qual o erro em RP para uma entrada degrau c As posições dos pólos e zeros d Qual a condição de estabilidade a constante de tempo derivativa KpKd é 2s 5 Se a planta da figura abaixo tem uma função de transferência de Gps1ss1 e tem um controle PID perguntase a Função de Transferência de Malha Fechada b Qual o erro em RP para uma entrada degrau c As posições dos pólos e zeros d Qual a condição de estabilidade sendo a constante do derivativa KpKd é 05 a constante do KpKi é 2