Lista de Exercicios Resolvidos Servomecanismos e Lugar das Raizes-Controle-AEDB

Servomecanismo Atividades AEDB 4º ano Engenharia ElétricaEletrônica Profº Carlos Magno Classificação da informação Interno Atividades Exercícios complementares Estes devem ser feitos com identificação do aluno e matrícula Feitos em dupla é preciso que todos carreguem o documento no AVA Entrega no dia 24112022 às 19h00 Classificação da informação Interno Atividades Considere o sistema mostrado na Figura abaixo Supondo que o valor do ganho K varie de 0 a construa o gráfico do lugar das raízes quando Kh01 03 e 05 Compare as respostas ao degrau unitário do sistema para os três casos a seguir 01 04 06 Classificação da informação Interno Atividades Considere o sistema da figura abaixo e desenhe o diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta Gs Determine a margem de fase e a margem de ganho com o MATLAB Questão 1 Primeiro precisamos manipular a diagrama de blocos para obter a função de transferên cia para aplicar na função rlocus do MATLAB Para isso utilizaremos as regras de manipulação de diagramas de Bode veja anexo O processo está simplificado na FIG 1 Em a temos o diagrama dado no exercício em b utilizamos a regra 4 do anexo passando o integrador para dentro da primeira malha Em c fizemos uma simplificação nos somadores e em d simplificamos o dois ramos1 Rs Cs 1 s s 1 K Kh Rs Cs ss 1 K Rs Cs ss 1 K Khs Khs Rs Cs ss 1 K a b c d Cs Gs Fs Khs1 Figura 1 Simplificação do diagrama de blocos A malha fechada será descrita por regra 6 do Anexo A Hs K ss 1 1 KKhs 1 ss 1 K ss 1 KKhs 1 K s2 1 KKhs K Reescrevendo a equação característica s2 s KKhs 1 0 dividindo ambos os lados pelos termos que não acompanham K neste caso s2 s ss 1 segue 1 K Khs 1 ss 1 0 E então usamos a função transferência K Khs 1 ss 1 1CUIDADO Eles não formam um ramo e portanto não se deve aplicar a regra 6 do anexo Para ser uma malha o caminho deve ser circular e neste caso temos apenas dois ramos que se somam para obter o LGR do sistema dado Perceba no entanto que esta abordagem adiciona um zero no sistema Observe também que a função é precisamente GsFs Então o LGR pode ser traçado no MATLAB usando rlocusGF Mas ressaltando que para isso o ganho K irá ser adicionado pelo próprio comando O script usado está no Anexo B O Lugar Geométrico das Raízes LGR obtido nos 3 casos está mostrado na FIG 2 Observamos dos três gráficos que conforme Kh aumenta o zero fica mais próximo dos polos fazendo com que o comportamento circular fique menos acentuado ou seja reduzindo a oscilação do sistema Sabemos também que quanto mais próximo o zero está dos polos mais ele atrairá o ponto de saída para ele e logo mais deverá ser o ganho K para que o sistema comece a oscilar E importante notar que em todos os casos para qualquer valor de K o sistema é sempre estável a Kh 01 b Kh 03 c Kh 05 Figura 2 Lugar Geométrico das Raízes para Kh igual a 01 03 e 05 A resposta ao degrau unitário dos sistemas é mostrado na FIG 3 Nela podemos constatar que mesmo com as mudanças no valor de Kh o comportamento do sistema é como Figura 3 Resposta ao degrau analisado pelos LGRs A medida que Kh aumentou menor foi a oscilação e até mesmo no último caso para Kh 06 o ganho foi insuficiente para que os polos ficassem complexos conjugados Ainda a estabilidade do sistema pode ser comprovada Questão 2 O diagrama de Bode de Gs é traçado fazendo no MATLAB bodeG ao qual obtemos o resultado mostrado na FIG 4 Figura 4 Diagrama de Bode de Gs Margem de Fase Para determinar a margem de fase devemos traçar uma reta vertical no gráfico da fase onde a Magnitude é 0 dB Na FIG 4 percebemos que em volta de ω 04 rads temos que o ângulo está em aproximadamente 80 Logo a distância da fase para 180 é de ϕm 100 Margem de Ganho De maneira similar devemos traçar uma reta vertical no ponto em que a fase atinge 180 Este ponto é bem próximo de ω 4 rads E a magnitude neste ponto é de aproxima damente 10 dB Logo a margem de fase é de Gm 10 dB 101020 316 MATLAB No MATLAB podemos obter de duas formas 1 plotando o Bode e ativando nas Características a exibição das margens de fase e ganho obtendo um resultado parecido com a FIG 5 2 ou usando a função marginG ao qual retornará que Gm 31369 e ϕm 1037 resultados bem próximos da aproximação gráfica que fizemos Figura 5 Diagrama de Bode com as Margens de Fase e Ganho A Regras de Simplificação do Diagrama de Blocos Esta tabela foi tirada do DORF e BISHOP p 109 2022 14 ed Table 25 Block DiagramTransformations Transformation Original Diagram Equivalent Diagram 1 Combining blocks in cascade X1 G1s X2 X3 G2s X1 G1G2 X3 X1 G2G1 X3 or 2 Moving a summing point behind a block X3 X2 X1 G X3 X2 X1 G G 3 Moving a pickoff point ahead of a block X2 X2 X1 G X2 X2 X1 G G 4 Moving a pickoff point behind a block X2 X1 X1 G X2 X1 G X1 1 G 5 Moving a summing point ahead of a block X3 X2 X1 G X3 X2 X1 G 1 G 6 Eliminating a feedback loop X2 X1 G H G 1 GH X2 X1 B Código Q1 1 K 10 Ganho 2 Kh1a 01 Kh1b 03 Kh1c 05 3 Kh2a 01 Kh2b 04 Kh2c 06 4 5 Gs 6 G tf1110 7 Fs para Kh1 8 F1a tfKh1a11 9 F1b tfKh1b11 10 F1c tfKh1c11 11 12 LGRs 13 figure1 14 rlocusGF1a 15 figure2 16 rlocusGF1b 17 figure3 18 rlocusGF1c 19 20 step 21 Ha tfK11KKh2aK 22 Hb tfK11KKh2bK 23 Hc tfK11KKh2cK 24 25 figure4 26 stepHab Hb r Hc k 27 legendKh01Kh04Kh06 28 grid on 29 setgcaGridLineStyle C Código Q2 1 num 2011 2 den conv1501210 3 G tfnumden 4 bodeG 5 grid on 6 7 GmFmWcgWcf marginG