Análise em Regime Permanente em Controle e Servomecanismos

Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 78 6 ANÁLISE EM REGIME PERMANENTE 61 INTRODUÇÃO A propriedade da estabilidade nos garante que após um período transitório o sistema se fixará em um modo de funcionamento permanente A análise em regime permanente se preocupa não apenas em ter certeza que o sistema estabilizará em um modo de comportamento estável mas também em garantir que este modo de comportamento para o qual o sistema vai evoluir corresponde ao comportamento desejado Dito de outra forma tratase da análise de chamado erro estacionário ou erro de regime do sistema que constitui o principal conceito abordado neste capítulo 62 ERRO ESTACIONÁRIO Um sistema de controle é útil porque permite o ajuste do comportamento da saída a partir do sinal de entrada O erro estacionário ou erro de regime é a diferença entre os sinais de entrada e de saída depois que todos os sinais transitórios decaíram deixando apenas a resposta permanente no sinal de saída Esta análise evidentemente só faz sentido para sistemas estáveis A diminuição da sensibilidade do erro estacionário às variações nos parâmetros do sistema é uma das principais razões para se utilizar realimentação em sistemas de controle Isto pode ser demonstrado calculandose o erro de regime para os dois tipos de sistemas Figura 61 Sistemas típicos em malha aberta e em malha fechada Para um sistema em malha aberta da Figura 61 a Transformada de Laplace do erro é Já o erro do sistema com realimentação negativa unitária é tal que Para calcular o valor estacionário do erro utilizase o teorema do valor final da transformada de Laplace Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 79 Utilizando uma entrada degrau unitário nos dois sistemas para efeito de comparação obtémse para o sistema em malha aberta Para o sistema em malha fechada temse O valor de Gs quando s0 é normalmente denominado ganho CC pois dá o fator de multiplicação em regime entre entrada e saída para uma entrada degrau Notase que o sistema em malha aberta pode ter um erro estacionário nulo simplesmente ajustandose o valor do ganho CC para que o sistema tenha G01 Qual é a vantagem do sistema em malha fechada neste caso No sistema em malha aberta podese calibrar o sistema de forma que G01 mas durante a operação do sistema é inevitável que os parâmetros de Gs mudem por envelhecimento ou por mudança das condições do ambiente Como se trata de um sistema em malha aberta o erro estacionário permanecerá diferente de zero até que o sistema seja recalibrado Já o sistema em malha fechada continuamente monitora o erro e gera um sinal de entrada para a planta de forma a reduzir o valor de regime do erro A menor sensibilidade a variações nos parâmetros dos sistemas em malha fechada pode ser percebida em um exemplo Seja uma planta com função de transferência O erro estacionário em malha aberta é Este erro pode ser feito nulo adotandose K1 Para o sistema em malha fechada Neste caso o erro nunca é nulo Podese reduzilo adotandose um ganho elevado Por exemplo para K100 o erro estacionário seria de erp00099 Comparando se estas duas situações a configuração em malha aberta parece ser superior A vantagem da realimentação aparece quando ocorrem variações nos parâmetros Por exemplo vamos supor uma variação de 20 no valor do ganho K No sistema em malha fechada o ganho passar de K1 a K08 faz com que o erro em regime passe de erp00099 a erp0012 Ou seja uma variação de 20 no valor do ganho se reflete integralmente no sinal de saída no caso em malha aberta enquanto que no sistema em malha fechada ocorre uma variação de apenas 021 no valor do sinal de saída Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 80 63 ERRO ATUANTE ESTACIONÁRIO Para sistemas realimentados além do erro tradicional diferença entre o sinal de entrada e o sinal de saída definese também o erro atuante eat que é a diferença entre o sinal de entrada e o sinal realimentado A Figura 62 ilustra esta definição do erro atuante notese que para sistemas com realimentação negativa unitária onde Hs1 o erro e o erro atuante são equivalentes Figura 62 Definição do erro atuante Da Figura 62 Da mesma forma que para o erro podese calcular o erro atuante estacionário ou seja o valor de regime do erro atuante utilizando o teorema do valor final da transformada de Laplace É útil para efeito de comparação determinarse o erro atuante estacionário para três entradas bastante usuais em análise de sistemas de controle entrada degrau entrada rampa e entrada parábola 631 ENTRADA DEGRAU O erro atuante estacionário para uma entrada degrau unitário rt1 é de Claramente é a função de transferência de malha aberta que determina o erro atuante estacionário Esta função de transferência pode ser escrita de forma geral como Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 81 O número N de integradores puros ou seja pólos na origem da função de transferência em malha aberta do sistema é freqüentemente denominado o tipo do sistema Para um sistema tipo 0 N0 o erro atuante estacionário para a entrada degrau é A constante é denominada Kp a constante de erro de posição de modo que Para sistemas tipo 1 ou superior o erro atuante estacionário para entrada degrau é nulo pois a constante Kp tende a infinito 632 ENTRADA RAMPA O erro atuante estacionário para uma entrada rampa unitária rtt é de Novamente o erro atuante estacionário depende do tipo do sistema Para um sistema tipo 0 o erro atuante estacionário é infinito Para um sistema tipo 1 onde a constante Kv é denominada constante de erro de velocidade Para sistemas tipo 2 ou superior o erro atuante estacionário para entrada rampa é nulo 633 ENTRADA PARÁBOLA O erro atuante estacionário para uma entrada parábola unitária é de Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 82 Para sistemas tipo 0 ou tipo 1 o erro atuante estacionário é infinito Para um sistema tipo 2 obtémse onde a constante Ka é denominada constante de erro de aceleração Para sistemas tipo 3 ou superior o erro estacionário para entrada parábola é nulo O sumário do erro atuante estacionário para as três entradas principais dos vários tipos de sistemas é sumarizado na Tabela 61 Se o sistema em malha aberta tem p integradores então o erro será zero em regime desde que o sistema em malha fechada seja estável para sinais de referência que são polinômios de ordem menor ou igual a p1 Para o caso mais freqüente da entrada degrau polinômio de ordem zero é importante lembrar que um único pólo na origem garante o erro atuante estacionário nulo Tabela 61 Sumário das fórmulas de cálculo do erro atuante estacionário e das constantes de posição Como ilustração a Figura 63 apresenta o comportamento esperado de um sistema tipo 1 com realimentação negativa unitária para os três tipos de entrada O sinal de saída do sistema segue perfeitamente uma entrada degrau acompanha com atraso constante uma entrada rampa e se distancia cada vez mais de uma entrada parábola Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 83 Figura 63 Comportamento de um sistema tipo 1 para vários tipos de entrada Exemplo O diagrama de blocos da Figura 64 representa um sistema de controle de temperatura Figura 64 Sistema de controle de temperatura Como o sistema não se encontra na configuração de realimentação unitária não é possível calcular diretamente os erros de estado estacionário Incorporando o ganho do sensor ks 005 VºC à planta chegamos ao sistema de controle com realimentação unitária da Figura 65 Supondo Cs kc obtemos e o tipo do sistema é N 0 O erro de regime para entrada degrau é constante e para as demais entradas é infinito Figura 65 Sistema de controle com realimentação unitária A constante de posição e o erro de regime para a entrada degrau são Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 84 O erro de regime é inversamente proporcional ao ganho do controlador mas restrições de ordem prática impedem que kc seja muito grande Se a referência degrau for de 100 oC e kc 10 então A temperatura de regime seria de 96 oC Exemplo Considere o diagrama de blocos da Figura 66 que representa o sistema de controle de posição de um motor DC Figura 66 Controle de posição de um motor DC Como a constante de tempo do motor é τ 01 segundos a velocidade do motor atinge seu valor de regime após aproximadamente 4τ 04 segundos quando operado em malha aberta Como o tipo do sistema é N 1 As constantes e erros de regime para as diferentes entradas são Se a unidade da saída for radiano e kc 10 por exemplo então o erro de regime para entrada rampa seria de 001 rads Nada se pode dizer a priori sobre o tempo necessário para o sistema chegar à situação de regime Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 85 Exemplo Calcule o erro estacionário a uma entrada em degrau unitário do sistema de controle apresentado na Figura 67 Figura 67 Sistema de Controle A FT de malha aberta do sistema em termos de ganho K pólos e zeros é Como esta FT representa um sistema do tipo 0 com K2 o erro estacionário será Uma solução alternativa seria