Análise no Domínio da Frequência em Sistemas de Controle

Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 117 8 ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 81 INTRODUÇÃO Pelo termo resposta em frequência entendese a resposta em regime estacionário de um sistema com entrada senoidal Nos métodos de resposta em frequência variamos a frequência do sinal de entrada em uma faixa de interesse e estudamos a resposta em frequência resultante O critério da estabilidade de Nyquist nos permite investigar tanto a estabilidade absoluta quanto à estabilidade relativa de sistemas lineares de malha fechada a partir de um conhecimento de suas características de resposta em frequência em malha aberta Ao usar este critério de estabilidade não temos que determinar as raízes da equação característica Esta é uma vantagem da técnica de resposta em frequência Uma outra vantagem desta técnica é que os testes da resposta em frequência são em geral simples e podem ser feitos precisamente pelo uso de geradores de sinais senoidais prontamente disponíveis e de equipamentos de medida precisos Muitas vezes as funções de transferência de componentes complicados podem ser determinadas experimentalmente pelos testes da resposta em frequência Além disso plantas com incertezas ou plantas que são deficientemente conhecidas podem ser manipuladas pelos métodos de resposta em frequência Um sistema pode ser projetado pelo uso da técnica de resposta em frequência de tal forma que os efeitos de ruídos indesejáveis sejam desprezíveis Finalmente as análises e os projetos de resposta em frequência de um sistema de controle podem ser estendidos a certos sistemas de controle não lineares 82 CONCEITOS BÁSICOS O método de análise por resposta em frequência desenvolvido anteriormente ao método do lugar das raízes data do período de1930 a 1940 e foi apresentado por Nyquist Bode Nichols entre outros Baseado na excitação de um sistema a um sinal senoidal a resposta obtida embora seja de mesma frequência apresenta amplitude e fase diferente do sinal de excitação Sobre estas variações obtemos características da função de transferência de uma planta sem a necessidade de seu modelamento matemático uma das principais dificuldades dos cálculos pelo caminho do lugar das raízes Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 118 O método da resposta em frequência é considerado uma ótima ferramenta para calculo de compensadores sendo complementar ao lugar das raízes devendo um projetista estar familiarizado com ambos os métodos Uma das vantagens do método de resposta em frequência é que os testes são simples e podem ser levantados com precisão Funções de transferências complicadas são obtidas com facilidade e exatidão através da resposta em frequência eliminando as perturbações por ruído indesejáveis abreviando todo trabalho de modelamento matemático necessário nos estudos pelo lugar das raízes A designação Resposta em Frequência está associada a sistemas lineares excitados por entradas senoidais e tomando suas saídas em regime permanente depois do transitório conforme ilustrado na figura abaixo A RESPOSTA EM FREQUENCIA de um Sistema Linear e Invariante no tempo é definida como O conjunto de valores medidas de amplitude e de fase do sinal de saída obtidos quando o sistema é alimentado em sua entrada por sinais senoidais de amplitudes unitárias e ângulos de fases nulos e cujas frequências variam dentro de uma dada faixa Exemplo do Filtro RC Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 119 821 REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS Uma função de transferência excitada por um sinal senoidal pode ser representada graficamente por um modulo e uma fase tendo uma frequência como referência Existem três tipos de representações muito comuns que utilizamos em engenharia Diagrama de bode ou gráfico logarítmico Diagrama de Nyquist ou diagrama polar Diagrama do logaritmo do modulo versus ângulo de fase carta de Nichols 83 DIAGRAMA DE BODE Composto de dois gráficos onde no primeiro representamos usualmente o ganho de sinal em dB decibéis versus a frequência de operação em escala logarítmica de uma função de excitação senoidal enquanto que no outro apresentamos a defasagem entre os sinais de entrada e saída também em função da frequência de operação novamente com este eixo em escala logarítmica Apresenta a facilidade de podermos somar e subtrair as grandezas apresentadas em gráficos logarítmicos ao invés de multiplicar ou dividir Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 120 A representação padrão do modulo é Gs 20 log10 Gs e a unidade de medida é o decibel além disto é bastante fácil a representação dos gráficos por aproximação de retas assintóticas Determinações experimentais de funções de transferências tornamse bastante simples com apresentação de resultados na forma de diagrama de bode Vantagens dos gráficos de Bode 1 Na ausência de um computador o diagrama de Bode pode ser obtido de forma aproximada através de suas propriedades assintóticas 2 Ganho de cruzamento fase de cruzamento margem de ganho e margem de fase são mais facilmente determinados no gráfico de Bode do que no gráfico de Nyquist 3 Para propósitos de projeto os efeitos de adição de controladores e seus parâmetros são mais facilmente visualizados no gráfico de Bode do que no gráfico de Nyquist Desvantagem dos gráficos de Bode 1 Estabilidade absoluta eou relativa podem ser determinadas através do diagrama de Bode somente para sistemas de fase mínima1 831 REPRESENTAÇÕES BÁSICAS DE GjwHjw Os fatores básicos que observamos com bastante frequência em funções de transferências são Ganho K Fatores integrais e derivativos jω1 Fatores de 1ª ordem 1 jωT1 Fatores quadráticos 12ς jωωn jωωn2 1 Após traçados os gráficos individuais é possível a composição entre eles através de somas ou subtrações pois a adição de logaritmos equivale a multiplicação deles 1 Os sistemas cuja função de transferência não tem pólos ou zeros no semiplano complexo direito são designados de fase mínima Em situação contrária isto é com pólos eou zeros no semiplano complexo direito são designados de fase nãomínima Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 121 Exemplo do Filtro RC 832 GANHO K Como se pode verificar o ganho e a fase não variam com a frequência As situações possíveis são mostradas nas figuras seguintes Se K1 o ganho é positivo se K1 o ganho é negativo Em qualquer dos casos a curva do ganho é uma reta Podemos gerar estes gráficos no MatLab através dos comandos abaixo na janela command window Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 122 19 195 20 205 21 Magnitude dB 10 0 10 1 1 05 0 05 1 Phase deg Bode Diagram Frequency radsec 21 205 20 195 19 Magnitude dB 10 0 10 1 1 05 0 05 1 Phase deg Bode Diagram Frequency radsec 19 195 20 205 21 Magnitude dB 10 0 10 1 179 1795 180 1805 181 Phase deg Bode Diagram Frequency radsec Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 123 Porém se considerarmos o ganho como um fator K crescente em nosso exemplo um múltiplo de 10 teremos 833 FATORES INTEGRAIS E DERIVATIVOS jω1 O valor logarítmico de 1jω em decibéi é 20 log 1jω 20 log ω enquanto que o ângulo de fase de 1jω é constante e igual a 90º Um diagrama de bode tem a característica de representar as relações de frequências em termos de oitavas ou décadas Uma oitava corresponde a relação de ω1 até 2ω1 e uma década corresponde ao intervalo de frequência de ω1 ate 10ω1 onde ω1 será qualquer valor de frequência que se desejar Quando desenhado em papel semilog se medirmos a distância entre ω 1radseg e ω 10radseg esta será a mesma distância que entre ω 62radseg e ω 620radseg Para a construção gráfica consideramos Resultando no gráfico abaixo Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 124 Ou ainda podendo ser observado separadamente como Gráfico de BODE com fator integrativo Gráfico de BODE com fator derivativo Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 125 Consequentemente se nossa função for um múltiplo da função original teremos 834 FATORES DE PRIMEIRA ORDEM 1 jωT1 Podese verificar que o gráfico desenhado será uma reta paralela ao eixo de w com ganho de 0 db até o ponto onde ω 1T quando o sistema passa a apresentar uma inclinação de 20 dbdec Vale também observar que existe uma curva exata calculada ponto a ponto que descreve a resposta deste sistema e podemos também aproximar a resposta a duas retas assintóticas que irão apresentar uma resposta muito próxima a real para pontos distantes Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 126 do ponto de inflexão apresentando apenas um pequeno erro no ponto nas proximidades do ponto de inflexão O ângulo de fase se comporta como segue O erro de aproximação por assíntotas pode ser calculado Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 127 835 FATORES QUADRÁTICOS 12ς jωωn jωωn2 1 Frequentemente aproximamos sistemas de controle a sistemas de 2ª ordem que apresentam fatores quadráticos da forma Se ζ 1 podemos aproximar o sistema a dois pólos reais distintos ou coincidentes de primeira ordem sistema superamortecido ou criticamente amortecido Se 0 ζ 1 estes fatores quadráticos serão produto de fatores complexos conjugados O processo de aproximação assintótica não será tão preciso para baixos valores de ζ Calculando obtemos o gráfico apresentado 8351 Procedimento geral para construção do diagrama de Bode Inicialmente devemos escrever a função de transferência senoidal Gjw Hjw dos fatores básicos Em seguida determine as frequências de canto associadas a estes fatores básicos Traçar as curvas assintóticas de módulo em db com suas respectivas inclinações associadas as frequências de canto Finalmente compor todos os fatores na curva resultante e se necessário corrigir os erros da aproximação por assíntotas A curva de ângulo de fase de Gjw Hjw pode ser desenhada pela composição das curvas de ângulo de fase dos fatores básicos Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 128 A utilização dos diagramas de bode com aproximação por assíntotas facilita enormemente a determinação da resposta em frequência de um sistema e por consequência a função de transferência A facilidade de construção e de modificação pela inclusão de compensadores faz com que a utilização dos diagramas de bode seja utilizado enormemente no processo de resposta em frequência Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 129 EXEMPLO Desenhe o diagrama de bode da função de transferência abaixo É usual apresentar Gjw na forma normalizada onde as assíntotas dos termos de 1º e 2º sejam retas com partidas em 0 db deste modo podemos reescrever Desmembrando a função em termos isolados teremos Os pontos de inflexão ou frequência de canto dos termos 3 4 e 5 são respectivamente ω 3 ω 2 e ω 2 sendo o coeficiente de amortecimento do termo 5 é ζ 0 3536 Construa as curvas de cada um dos termos independentemente como apresentado no gráfico sendo atento aos pontos de inflexão das assíntotas Após desenhar todas as assíntotas independentes faça a composição das resultantes que é a soma de todos os segmentos Até a frequência de ω 2 1 41 radseg a resultante é a soma dos termos 1 e 2 3 4 e 5 apresentam modulo de 0 db e possui uma inclinação de 20 dbdec De 1 41 radseg ω 2 radseg o termo nº 5 entra na composição e a inclinação passa a ser de 60 dbdec De 2 ω 3 radseg incluímos também o item 4 sendo agora a inclinação de 80dbdec Finalmente com a inclusão do item 3 para ω 3 radseg a inclinação retorna para 60 dbdec novamente Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 130 O mesmo estudo se faz para a composição dos ângulos de fase A curva resultante do modulo do ganho da função de transferência esta apresentada como uma aproximação de retas assintóticas caso necessário a curva real devemos levar em conta os erros de aproximação em cada inflexão e obter a curva real Verificando com o MatLab digitamos no command window Que resulta no gráfico que segue Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 131 84 ESTABILIDADE RELATIVA E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA A estabilidade de um sistema pode ser estudada também a partir da sua resposta em frequência por exemplo do diagrama de Bode A condição é dada pela equação característica ou seja 0 1 kG s H s 1 kG s H s Ou ainda o s H s kG s H s kG 180 1 Haverá um determinado k kc em uma frequência w wc que levará o sistema a condição no limiar da instabilidade pólos sobre o eixo imaginário jw que corresponde o c c c c c c H j G j k H j G j k 180 1 ω ω ω ω Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 132 Concluíse que o sistema é estável desde que 1 ω ω H j kG j na freqüência o H j kG j 180 ω ω Esta conclusão não é geral pois existem sistemas estáveis que não satisfazem essa condição Uma conclusão geral devese utilizar o critério de estabilidade de Nyquist 841 MARGENS DE ESTABILIDADE Muitas vezes é desejável conhecer a qual distância da instabilidade um sistema se encontra No domínio da frequência as margens de fase e de ganho fornecem uma indicação dessas distâncias tornandose indicadores úteis na análise e projeto de sistemas de controle fase Alguns conceitos serão vistos na sequência 842 PONTO DE FASE CRÍTICA É o ponto do diagrama no qual a fase da função de transferência de malha aberta ω ω H j kG j é 180o A frequência nesse ponto é chamada de frequência de cruzamento de fase φ ω 843 MARGEM DE GANHO MG É o fator pelo qual deve ser multiplicado o ganho para se produzir instabilidade Em termos da função de transferência na freqüência de cruzamento de fase φ ω temse 1 MG H j j kG φ φ ω ω Ou em dB 0 20log 20log MG H j j kG φ φ ω ω A equação acima nos leva a uma definição alternativa a margem de ganho é o fator que deve ser somado ao ganho em dB para levar o sistema ao limiar da instabilidade Ou ainda indica quanto o ganho do sistema pode ser aumentado de forma que ele ainda seja estável em malha fechada A margem de ganho é medida na frequência em que a fase cruza por 180º Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 133 844 PONTO DE GANHO CRÍTICO É o ponto do diagrama no qual o módulo da função de transferência de malha aberta ω ω H j kG j é unitário A frequência nesse ponto é chamada frequência de cruzamento de ganho G ω 845 MARGEM DE FASE MF É o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento de ganho G ω necessário para levar o sistema ao limiar de instabilidade A margem de fase MF é 180o mais o ângulo de φ de ω ω H j kG j na frequência de cruzamento ou φ o MF 180 180 arg ω ω H j kG j Ou ainda podese definir que a margem de fase indica quanto a fase do sistema pode ser atrasada na frequência de cruzamento de ganho de forma que o sistema ainda seja estável em malha fechada A margem de fase é medida na frequência em que o módulo cruza por 0dB frequência de cruzamento de ganho 846 COMENTÁRIOS Com referência às definições de margem de ganho e margem de fase apresentadas anteriormente a interpretação destes parâmetros através do diagrama de Bode é ilustrada na figura apresentada a seguir Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 134 As seguintes observações podem ser feitas com relação à análise da estabilidade de um sistema através de seu diagrama de Bode 1 A margem de ganho é positiva e o sistema é estável se a magnitude de GjwHjw na fase de cruzamento é negativa em dB Isto é a margem de ganho é medida abaixo do eixo 0dB Se a margem de ganho é medida acima do eixo 0dB a margem de ganho é negativa e o sistema é instável 2 A margem de fase é positiva e o sistema é estável se a fase de GjwHjw é maior que 180º no ganho de cruzamento Isto é a margem de fase é medida acima do eixo 180º Se a margem de fase é medida abaixo do eixo 180º a margem de fase é negativa e o sistema é instável Portanto para um sistema de fase mínima ser estável tanto a margem de ganho quanto à margem de fase devem ser positivas Se uma das margens for negativa o sistema é instável Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 135 EXEMPLO Considere a função abaixo e a análise de estabilidade para dois valores de K 30 e 200 Inicialmente fazse o calculo de ωππππ Observe a frequência ωπ marcada no gráfico cujo o valor exato independe de K pode ser calculado assim Para esta frequência o módulo é menor que 0 db para K30 Sistema Estável e maior que 0 dB para K200 Sistema Instável Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 136 No diagrama de BODE da figura abaixo apresentado considerando K30 como valor de projeto observe que se houver um aumento de acima de 658 dB no ganho o sistema passará a ser INSTÁVEL Esta é portanto a MARGEM DE GANHO para o sistema que tem como ganho de projeto K igual a 30 Para medida da margem de fase precisamos definir uma outra frequência crítica A frequência ω1 é quando GH jω1 1 ou pelo diagrama quando o módulo cruza o nível de 0 dB Medese a margem de fase pelo ângulo de fase do sistema nesta frequência Se houver portanto uma variação na fase maior que 301o nesta frequência o sistema poderá se tornar INSTAVEL Definese então as seguintes fórmulas para o cálculo das margens que podem ser deduzidas pela análise direta do diagrama Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 137 Uma outra forma de medir a margem de ganho é obtendo a seguinte relação Exercícios Considerando o diagrama de blocos apresentado a seguir 1a Admitindo a função abaixo e K10 e K100 faça Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 138 O diagrama de Bode e a análise de estabilidade Para cada uma das situações de ganho determinar analítica e graficamente as margens de fase e de ganho Obs Realizar a simulação no Matlab 1b Admitindo a função abaixo e K1000 e K10000 faça O diagrama de Bode e a análise de estabilidade Para cada uma das situações de ganho determinar analítica e graficamente as margens de fase e de ganho Obs Realizar a simulação no Matlab 2 Determine o diagrama de Bode módulo e fase das funções abaixo e sua Margem de ganho e fase Obs Realizar a simulação no Matlab a b c d e f g h i Exercícios propostos Referências de problemas e exemplos do livro do Ogata 3ª edição Exemplos 81pág 395 83 pág 403 84 pág 404 85 pág 408 e 820 pág 495 Problemas A82 pág467 A819 pág488 A820 pág489 A823 pág492 somente BODE A824 pág493 e B84 pág495 Simular a seção 83 a partir da pág 402 no Matlab todos os exemplos e conclusões bem como os exercícios 1 e 2 da apostila determinando a MG e MF Entregar na última aula trabalho em dupla