Métodos de Análise de Sistemas em Controle e Servomecanismos

Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 86 7 MÉTODOS DE ANÁLISE DE SISTEMAS E CONSIDERAÇÕES DE PROJETO 71 INTRODUÇÃO Seja um sistema em malha fechada dado pelo seguinte diagrama de blocos Como já visto a função de transferência Ys Us é dada por KGs 1 KGsHs Sabemos que a resposta transitória de um sistema depende da localização dos seus pólos no plano complexo A equação característica do sistema que fornecerá os pólos é dada por 1 KGsHs 0 Note que se variarmos o ganho K os pólos do sistema também variarão alterando a sua condição transitória e podendo chegar a um ponto definido como de desempenho satisfatório para o sistema Se mesmo variando o ganho K o sistema não alcançou a posição de desempenho desejada então outras estruturas poderão ser desenvolvidas para que os objetivos sejam alcançados por exemplo os compensadores Para a análise de sistemas levando em conta considerações de projeto foram desenvolvidas algumas ferramentas bastante úteis aos projetistas Neste material serão vistas as seguintes ferramentas Método do Lugar das Raízes Método do Diagrama de Bode 72 MÉTODO DO LUGAR DAS RAÍZES O desempenho de um sistema realimentado pode ser descrito em função da localização das raízes do polinômio do denominador da sua função de transferência também chamado de polinômio característico Quando igualamos este polinômio a zero para acharmos os seus pólos a equação formada é dita equação característica do sistema Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 87 Sabemos que a resposta de um sistema realimentado à malha fechada pode ser ajustada para alcançar o desempenho desejado através da seleção criteriosa de um ou mais parâmetros do sistema Seria útil portanto determinar como as raízes da equação característica polinômio do denominador da função de transferência deslocam ao longo do plano s à medida que se varia o valor de um dado parâmetro geralmente o ganho K da função de transferência O método do lugar das raízes nos mostra como as raízes da equação característica variam no plano s à medida que variamos o ganho K da função de transferência em malha fechada O método do lugar das raízes nos fornece um desenho no plano s e pode ser obtido através de processo gráfico ou através do uso de computadores utilizandose por exemplo o software MATLAB É possível utilizar o método do lugar das raízes para projetos de sistemas de controle quando dois ou mais parâmetros variam por exemplo um controlador PID que possui três parâmetros ajustáveis ganho proporcional tempo integral e tempo derivativo 721 CONCEITO DO LUGAR DAS RAÍZES Seja a função de transferência Ts que representa o desempenho dinâmico do sistema de controle à malha fechada mostrado a seguir Ys kGs Ts Rs 1 kGs As raízes do polinômio característico são dadas por 1 kGs 0 I Onde o ganho k é o parâmetro variável e as raízes devem satisfazer a equação I as quais são posicionadas no plano s Sendo s uma variável complexa então Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 88 1 kGs 0 kGs 1 kGs 1 j0 ou kGs kGs kGs 1 j0 Logo II kGs 1 kGs 180 p360 sendo p 1 2 Para cada valor de k teremos valores de s que satisfazem a equação I dada por II O lugar das raízes é portanto o percurso das raízes da equação característica traçado no plano s à medida que um parâmetro do sistema é alterado no caso o ganho k da função de transferência Exemplo Considere o sistema realimentado dado pelo seguinte diagrama de blocos Determine o lugar das raízes da função de transferência Ys Rs A função de transferência do sistema será k Ys k s 1 k Rs s 1 k 1 s 1 e o polinômio característico é dado por s 1 k 0 logo s 1 k s 1 k j0 Podese ver facilmente neste caso o lugar das raízes do polinômio Fazendo k 0 temos s 1 j0 e fazendo k temos s j0 O gráfico do lugar das raízes fica Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 89 722 PROCEDIMENTO GRÁFICO PARA OBTENÇÃO DO LUGAR DAS RAÍZES Há um método para a obtenção do gráfico do lugar das raízes de um dado sistema O procedimento a seguir mostra a obtenção passo a passo desse gráfico O MATLAB possui uma função rlocus que determina rapidamente o lugar das raízes de qualquer sistema O método gráfico será mostrado para que saber como o lugar das raízes é obtido sendo mais interessante o uso do software considerando que o método do lugar das raízes é apenas uma ferramenta de projeto Desta forma a predominância de tempo ficaria para a análise do projeto ao invés de levantar o gráfico do lugar das raízes que além do tempo para o levantamento teríamos imprecisões devido às alocações de pontos e traçados de curvas do gráfico MÉTODO GRÁFICO DE OBTENÇÃO PASSO A PASSO DO LUGAR DAS RAÍZES Passo 1 Escrever a equação característica como 1 Fs 0 e reorganizar a equação se necessário de modo que o parâmetro de interesse k apareça como fator multiplicativo sob a forma 1 kGs 0 O parâmetro k poderá ser qualquer parâmetro da função de transferência exemplo ganho de uma função de transferência em malha aberta ganho de qualquer ação de controle PID constante de tempo etc Obs Para o uso da função rlocus do MATLAB basta utilizar apenas esse passo Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 90 Fazendo Ps Gs Qs O código MATLAB fica Pan an1a2 a1 a0 Q bn bn1b2 b1 b0 rlocusPQ Os termos a e b deverão estar na ordem decrescente do grau do polinômio e se algum deles for zero este deverá ser considerado no vetor Passo 2 Fatorar Gs se necessário e escrever o polinômio na forma de pólos e zeros como se segue 1 2 m 1 2 n s z s z s z 1 k 0 s p s p s p com n m Passo 3 Localizar os pólos e zeros no plano s com símbolos selecionados x para pólos e o para zeros O lugar das raízes é determinado à medida que k varia de zero a infinito e inicia sempre nos pólos e termina sempre nos zeros como mostrado a seguir 1 2 m 1 2 m 1 2 n 1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 2 m 1 2 n s z s z s z s z s z s z 1 k 0 k 1 s p s p s p s p s p s p ks z s z s z s p s p s p ks z s z s z s p s p s p 0 s 1 2 n p s p s p 0 A expressão nos mostra que quando k 0 as raízes da equação serão os pólos do sistema Por outro lado quando k tende a infinito as raízes serão os zeros do sistema como visto a seguir Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 91 1 2 m 1 2 m 1 2 n 1 2 n 1 2 m 1 2 n 1 2 m s z s z s z s z s z s z 1 k 0 k 1 s p s p s p s p s p s p 1 s z s z s z s p s p s p s z s z s z 0 k Se n m então cada ramo do lugar das raízes será iniciado em um pólo e terminado em um zero definido Se n m o número de pólos ultrapassa o número de zeros terá ramo com zero no infinito Obs O lugar das raízes definido por pólos terminando em zeros sejam estes zeros definidos ou no infinito recebem o nome de RAMOS do lugar das raízes Passo 4 Localizar os segmentos do eixo real que fazem parte do lugar das raízes O lugar das raízes no eixo real estará sempre em uma seção à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros a partir do eixo imaginário Passo 5 Determinar o número de ramos Como os ramos do lugar das raízes iniciam nos pólos e terminam nos zeros o número de ramos é igual ao número de pólos uma vez que o número de pólos é sempre maior ou igual ao número de zeros Passo 6 O lugar das raízes deverá ser sempre simétrico em relação ao eixo real Isso ocorre pelo fato das raízes complexas aparecerem sempre aos pares de raízes complexas conjugadas Passo 7 Os ramos do lugar das raízes avançam em direção aos zeros no infinito segundo assíntotas centradas em sA com ângulo aA Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 92 Quando o número de zeros finitos de Gs nz é menor do que o número de pólos np de um número N np nz então N ramos devem finalizar em zeros localizados no infinito Esses ramos vão para os zeros no infinito através das assíntotas à medida que k tende ao infinito Essas assíntotas estão centradas em um ponto no eixo real dado por sA Soma da parte real de todos os pólos de Gs Soma da parte real de todos os zeros de Gs np nz aA 2q1180 np nz sendo q 0 1 2npnz1 Passo 8 Determinar o ponto no qual o lugar das raízes cruza o eixo imaginário caso isso ocorra Utilizase o critério de RouthHurwitz ou outro critério por exemplo substituindo o valor de s na equação característica por jω Com isso determinase o valor da parte imaginária para parte real nula e o ganho para o qual ocorre o cruzamento com o eixo imaginário Passo 9 Determinar o ponto de saída do eixo real se existir do lugar das raízes O lugar das raízes deixa o eixo real onde existirem raízes múltiplas tipicamente duas As tangentes aos ramos no ponto de saída são igualmente espaçadas sobre 360 O método mais direto de cálculo do ponto de saída envolve a reorganização da equação característica para isolar o ganho k Então a equação característica é escrita como k Gs Fazendo dks dGs 0 ds ds encontramos o ponto onde o lugar das raízes deixa o eixo real ou seja é quando kGs atinge seu valor máximo enquanto está no eixo real Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 93 Estimase o ponto provável que o lugar das raízes deixará o eixo real e montase uma tabela com alguns valores antes e após o ponto estimado com intervalos que dê uma boa precisão Condição para ter k máximo Seja o sistema mostrado abaixo Colocar o polinômio característico na forma abaixo 1 GsHs As kBs 0 Substituímos valores de s real na expressão abaixo até obtermos um máximo de k ou derivamos a expressão de k e igualamos a 0 como indicado abaixo Com isso determinados o valor de s para o qual k será máximo Este será o ponto de saída do lugar das raízes do eixo real Passo 10 Determinar o ângulo de saída dos ramos que partem de pólos complexos conjugados e os ângulos de chegada nos zeros Ângulo de partida de um pólo 180 Soma de todos os ângulos entre os outros pólos e este pólo Soma de todos os ângulos entre os zeros e este pólo Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 94 Obs todos os ângulos são medidos com referência ao ângulo 0 no sentido antihorário Esta informação é particularmente útil pois ajuda muito a complementação do lugar das raízes Exemplo O ângulo de saída do pólo p1 mostrado abaixo é dado por 180 a1 a2 b1 Resumo O lugar das raízes atenderá basicamente os seguintes critérios Regra nº1 O lugar das raízes possui nmaxnpnz ramos onde np é o número de pólos finitos da malha da função de transferência e nz é o número de zeros finitos da malha da função de transferência Regra nº2 O lugar das raízes é simétrico com relação ao eixo real do plano complexo s Regra nº3 O ramo do lugar das raízes começa sempre k 0 nos pólos da função de transferência da malha e termina k nos zeros da função de transferência da malha sendo que esses últimos podem estar no infinito Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 95 Regra nº4 O lugar das raízes no eixo real existe se existir um número ímpar de pólos e zeros da malha da função de transferência à esquerda do eixo imaginário Regra nº5 Se existirem zeros no infinito os ramos do lugar das raízes tendem a esses zeros através de linhas retas assíntotas determinadas através de expressões bem definidas EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 Um registrador de fita possui um sistema de controle de velocidade com realimentação negativa tal que Hs1 e k Gs ss 2s² 4s 5 em malha aberta Determine a O esboço do lugar das raízes para variações de k e mostrar que as raízes dominantes são s035j08 e s035j08 quando K65 b Para as raízes dominantes do item a determinar o tempo de assentamento e a ultrapassagem para uma entrada em degrau Item a Passo 1 O denominador da função de transferência em malha fechada fica 1 GsHs 1 K1 ss2s24s5 0 sendo Hs1 Para traçar o lugar das raízes no MATLAB o código fica p1 qconv1 0conv1 21 4 5 rlocuspq O gráfico utilizando o MATLAB fica Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 96 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Root Locus Real Axis Imaginary Axis ramo 3 ramo 4 ramo 1 ramo 2 Continuando o processo de obtenção gráfica do lugar das raízes deveremos chegar ao gráfico com 4 ramos indicado acima Observe que o lugar das raízes deverá ser simétrico em relação ao eixo real 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 System sys Gain 65 Pole 0343 0796i Damping 0396 Overshoot 258 Frequency radsec 0867 System sys Gain 649 Pole 265 123i Damping 0907 Overshoot 0115 Frequency radsec 292 System sys Gain 653 Pole 0342 0798i Damping 0394 Overshoot 261 Frequency radsec 0868 System sys Gain 649 Pole 265 123i Damping 0907 Overshoot 0115 Frequency radsec 292 Grafico do Lugar das Raizes Kss2s24s5 Eixo real Eixo imaginario Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 97 Observe também que para um mesmo valor de ganho cada ramo fornecerá uma das 4 raízes uma vez que a equação característica é de quarta ordem Observando o gráfico vemos que para a parte real aproximadamente igual a 06 o lugar das raízes deverá sair do eixo real isto será visto no passo 9 a seguir Passo 2 As raízes do polinômio característico ss2s24s5 são s1 0 s2 2 s3 2 j s4 2 j Logo a equação característica em termos dos pólos e zeros fica 1 1 k 0 ss 2s 2 js 2 j Passo 3 Localização dos pólos e zeros no plano complexo Número de pólos np 4 e Número de zeros nz 0 Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 98 Passo 4 Localizar os segmentos do eixo real que fazem parte do lugar das raízes O lugar das raízes no eixo real estará sempre em uma seção à esquerda de um número ímpar de pólos e zeros a partir do eixo imaginário Passo 5 Temos 4 pólos logo 4 ramos distintos temos que ter isso em mente Passo 6 Lugar das raízes deverá ser simétrico somente como lembrete Passo 7 sA 0 2 2 2 4 0 15 Com np 4 e nz 0 temse aA 2q1180 np nz Sendo q 0 1 2 3 q 0 a0 45 Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 99 q 1 a1 135 q 2 a2 225 q 3 a3 315 Passo 8 1 1 1 k 0 k 1 k ss 2s² 4s 5 ss 2s² 4s 5 ss 2s² 4s 5 Desenvolvendo os termos e igualando a zero temos 4 3 2 s 6s 13s 10s k 0 Aplicando o critério de RouthHurwitz para acharmos o limite de estabilidade situação na qual o lugar das raízes estará passando pelo eixo imaginário indo para a região de instabilidade ou seja região do plano s onde a parte real dos pólos será positiva S4 1 13 K S3 6 10 S2 113 K S1 C1 S0 K Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 100 6x1310x1 b1 113 6 b2 k 113 x 10 6 x k c1 0 113 6k k 188 113 Os valores de k que deixam o sistema estável é portanto 0 k 188 Para k188 o lugar das raízes estará em cima do eixo imaginário portanto no limite da estabilidade Substituindo esse valor na linha 3 do diagrama de RouthHuewitz temos 113s2 188 0 Logo os pontos no eixo imaginário que são cortados pelo lugar das raízes são s1 j13 e s2 j13 Passo 9 Do passo 8 temos 4 3 2 k s 6s 13s 10s I Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 101 Então dk 4s³ 18s² 26s 10 0 ds II Para sabermos o ponto onde o lugar deixa o eixo real ou fazemos uma tabela com os valores mais prováveis para um máximo de k utilizando a expressão I ou derivamos k e igualamos a 0 e obtermos o valor real de s que torna k máximo Neste caso se usarmos a opção II teríamos que resolver uma equação do 3 grau portanto vamos escolher a opção I Sabemos que a saída do lugar das raízes do eixo real deve ocorrer entre os pontos 15 e 0 Traçando alguns pontos nessa região e calculando os valores de k temos a seguinte tabela s 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 k 135 158 178 200 218 234 245 249 244 227 198 x x Para s 06 o lugar das raízes deixa o eixo real pois apresenta máximo valor de ganho k Observe que esse valor máximo de ganho ocorre enquanto o lugar das raízes se encontra no eixo real Quando ele sair do eixo real o ganho continua aumentando agora com raízes complexas Por outro lado utilizando uma calculadora que tenha recurso para o cálculo de raízes obtemos os seguintes valores para a equação obtida na opção II 19491 05958i 19491 05958i 06018 Observase que para s real aproximadamente 06 obtemos um máximo para o valor de k Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 102 Obs Não utilizamos o MATLAB para calcular as raízes porque se o fizéssemos ao invés disso calcularíamos diretamente o lugar das raízes como fizemos a título de demonstração da função rlocuspq no passo 1 Passo 10 O ângulo de saída do ramo que parte do pólo complexo 2 j é dado por Ângulo de partida do pólo 2 j 180 1534 90 90 1534 ou 2066 Ângulo de partida do pólo 2 j 180 2066 270 270 5666 2066 ou 1534 Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 103 Traçado do lugar das raízes baseado nas informações obtidas dos passos Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 104 Item b Para k 65 temos s4 6s3 13s2 10s 65 0 Utilizando uma calculadora científica para determinar as raízes da equação obtemos s1 s2 s3 e s4 s1 265 j123 s2 265 j123 As raízes acima não interferem muito na resposta do sistema pois estão afastadas do eixo imaginário relação entre as partes reais próximas de 10 Durante o transitório decrescem mais rapidamente que as raízes indicadas abaixo 265 76 035 s3 035 j080 s4 035 j080 As raízes acima possuem maior interferência na resposta do sistema são as chamadas raízes dominantes pois estão mais próximas do eixo imaginário Considerando então apenas as raízes dominantes temos ss3ss4 s 035 j08s 035 j08 s2 07s 07625 Os pólos s3 e s4 são dominantes pois a sua parte real é cerca de 8 vezes menor que a parte real dos pólos s1 e s2 e podemos portanto calcular o overshoot e o tempo de assentamento para 2 de erro como se fosse um sistema de segunda ordem com denominador dado por s2 07s 07625 Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 105 Fazendo 2ζωn 07 e ωn 2 07625 achamos para o overshoot 254 e para o tempo de assentamento com 2 de erro 114 seg Utilize as expressões já estudas para cálculo do overshoot Mp e do tempo de assentamento Ts A simulação no MATLAB da resposta ao degrau unitário para o sistema completo e aproximado fica num65 num107625 den1 6 13 10 65 t000116 y1stepnumdent Sistema completo den1 07 07625 y2stepnum1dent Sistema simplificado somente com os pólos dominantes plotty1rty2b grid 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0 02 04 06 08 1 12 14 Sistema Simplificado Sistema completo Constatase portanto da observação dos gráficos que a diferença entre as respostas considerando o sistema completo e simplificado não é tão acentuada e dependendo dos propósitos pode perfeitamente ser aceita Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 106 EXERCÍCIO RESOLVIDO 2 Dado um sistema representado pelo diagrama de blocos a seguir determine utilizando o MATLAB e baseado no seu gráfico do lugar das raízes a a faixa de valores de k que faz com que o sistema fique estável A função de transferência do sistema será 4 2ks 1 Ys s²s 5s 2 2ks 1 2ks 1 2ks 1 Us s²s 5s 2 2ks 1 s 7s³ 10s² 2ks 2k 1 s²s 5s 2 Colocando a equação característica na forma Ps 1 k Qs e dividindo a equação característica pelo polinômio independente de k temse 4 4 4 4 s 7s³ 10s² 2ks 1 2s 1 s 7s³ 10s² 2ks 2k 1 k s 7s³ 10s² s 7s³ 10s² Portanto 4 Ps 2s 2 Qs s 7s³ 10s² O código de somente uma linha fica rlocus2 21 7 10 0 0 Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 107 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Root Locus Real Axis Imaginary Axis ramo 1 ramo 2 ramo 3 ramo 4 Região estável Região instável 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 System sys Gain 105 Pole 00027 174i Damping 000156 Overshoot 100 Frequency radsec 174 Root Locus Real Axis Imaginary Axis Este limite de estabilidade poderia ser obtido através do procedimento gráfico mostrado ou através do critério de estabilidade de RouthHurwitz Para revisão Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 108 determine o limite de estabilidade deste sistema utilizando o critério de RouthHurwitz e confirme o resultado obtido através do lugardasraízes b Para um ganho de aproximadamente 61 determine o overshoot e o tempo de estabelecimento do sistema Para esse ganho obtemos do lugardasraízes as seguintes raízes s1552 s2135 s300641j129 s400641j129 Verificase que as raízes reais 552 e 135 estão muito afastadas da parte real dos polos complexos s3 e s4 portanto podemos considerar apenas o efeito dos polos complexos dominantes s3 e s4 A simulação a uma entrada degrau unitário dos sistemas completo e simplificado fica O código para simulação k612 num2k k den1 7 10 2k 2k t000190 y1stepnumdent num16682 Ajuste do ganho para que o sistema simplificado também tenha valor final igual a 1 denconv1 00641129j1 00641129j y2stepnumdent plotty1rty2b grid Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 109 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 Pico superior sistema completo Pico inferior sistema aproximado O overshoot e o tempo de estabelecimento baseandose no sistema simplificado fica A função de transferência aproximada fica Ys 16682 Us s² 01282s 16682 Comparando com a forma canônica n n n Ys ² Us s² 2 s ² ω ζ ω ω n n n 2 01282 ² 16682 1 2916 rdseg 01282 00496 212916 ζ ω ω ω ζ Logo n 2 2 0049612916 1 1 00496 Mp e e x100 09379x100 938 ζ ω ζ n 4 4 Ts 625 seg 004961 2916 ζ ω Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 110 Exercício resolvido 3 Seja o sistema de controle de altitude de um satélite mostrado através do seu diagrama de blocos onde Ts é o torque gerado pelos propulsores e θs é o ângulo de altitude do satélite O modulador k é um dispositivo que converte o sinal elétrico de erro no torque propulsor que é diretamente proporcional ao sinal de erro O modelo do satélite é dado pela função de transferência 1 1 1 1 k s k s² k Ts s² k 1 s² θ A transformada inversa de Laplace da função de transferência será uma senóide de frequência k para todo k0 Esta estrutura portanto é inaceitável como pode ser visto no lugar das raízes a seguir 1 1 1 s² k 1 k s² Ps 1 Qs s² Ganho k1 variando de 0 a infinito 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 1 08 06 04 02 0 02 04 06 08 1 Root Locus Real Axis Imaginary Axis Ramo 2 Ramo 1 Veja que não existe parte real das raízes que fazem com que ocorra o amortecimento Portanto a resposta será sempre oscilante sem amortecimento raízes complexas conjugadas e imaginárias puras para qualquer que seja o valor de k1 Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 111 Mostre utilizando o lugar das raízes que se fizermos uma realimentação do sinal de velocidade multiplicado por uma constante k2 realimentação tacométrica e adicionando este sinal ao sinal de posição como mostrado no diagrama de blocos a seguir obteremos uma estrutura estável para todo k0 A função de transferência do sistema fica 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 k k s k s² s² k k k s² k k s k Ts s² k k s k 1 s s² s² θ O lugar das raízes será dado por 1 2 1 s² k k s k 0 Dividindo por s² 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 s k k k k k s k k 1 0 1 1 k k s s² s² s² Fazendo arbitrariamente K22 temos a seguinte equação característica e o lugardas raízes fica 1 s 05 1 2k s² Considere o termo variante no lugardasraízes como sendo K 2K1 Ps s 05 Qs s² Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 112 14 12 1 08 06 04 02 0 05 04 03 02 01 0 01 02 03 04 05 Root Locus Real Axis Imaginary Axis Ramo 1 Ramo 2 Veja que todo o lugardasraízes está do lado esquerdo do plano complexo portanto estável para todo 0k1infinito Exercício resolvido 4 Dado o sistema A Determine utilizando o MATLAB o gráfico do lugar das raízes B Determine utilizando o método de RouthHurvitz a faixa de valores de K para os quais o sistema será estável e confirme verificando no gráfico do lugar das raízes utilize a mão deslizante do matlab C Verifique a resposta do sistema a uma entrada em degrau unitário para ganhos K nas regiões instável e estável Respostas Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 113 a A função de transferência em malha fechada fica 2 2 4 8 27 4 8 1 1 27 1 k s s Y s s k s s U s s s 2 2 4 8 1 27 1 4 8 Y s k s s s U s s s k s s I O polinômio característico será dado por 2 27 1 4 8 0 s s k s s Colocando na forma 1 0 p s k q s para ser usado pelo MATLAB temos 2 2 2 4 8 4 8 1 1 27 1 26 27 s s s s k k s s s s Código MATLAB p1 4 8 q1 26 27 rlocuspq 30 25 20 15 10 5 0 5 25 2 15 1 05 0 05 1 15 2 25 System sys Gain 0 Pole 27 Damping 1 Overshoot 0 Frequency radsec 27 System sys Gain Inf Pole 2 2i Damping 0707 Overshoot 231e003 Frequency radsec 283 System sys Gain 343 Pole 00352 Damping 1 Overshoot 0 Frequency radsec 00352 System sys Gain 55 Pole 0302 158i Damping 0188 Overshoot 548 Frequency radsec 161 System sys Gain 4 Pole 0996 0108i Damping 0994 Overshoot 0 Frequency radsec 1 System sys Gain 34 Pole 281 Damping 1 Overshoot 0 Frequency radsec 281 System sys Gain 4 Pole 0997 0107i Damping 0994 Overshoot 0 Frequency radsec 1 System sys Gain 55 Pole 0299 158i Damping 0186 Overshoot 552 Frequency radsec 161 Grafico do Lugar das Raizes Eixo real Eixo imaginario b Trabalhando o denominador da expressão I e utilizando o método de RouthHurwitz obtemos 2 2 2 27 1 4 8 26 27 4 8 s s k s s s s ks ks k 2 1 26 4 8 27 k s k s k Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 114 O método de RouthHurwitz fica 2 1 0 1 1 8 27 26 4 0 s k k s k s b 1 26 4 8 27 1 0 8 27 26 4 k k k b k k 1ª condição 1 0 1 k k 26 2ª condição 26 4 0 26 4 65 4 k k k k 27 3ª condição 8 27 0 8 27 3375 8 k k k k Fazendo a interseção de todos os intervalos encontramos a faixa de valores do ganho K para os quais o sistema será estável 3375 65 Valores fora da faixa Sistema instável Valores dentro da faixa Sistema estável k Obs A região estável é todo semiplano esquerdo do plano complexo Raízes reais e negativas Região instável K 3375 ou K 65 0 2 4 6 8 10 12 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 Resposta do sistema K65 Time sec Amplitude Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 115 0 5 10 15 20 25 30 70 60 50 40 30 20 10 0 10 Resposta para K3375 Time sec Amplitude Região estável 3375 K 65 0 2 4 6 8 10 12 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 Resposta para K40 Estavel Time sec Amplitude Controle e Servomecanismos Prof Carlos Magno R Vasques 116 0 5 10 15 20 25 30 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 Resposta para K55 Estavel Time sec Amplitude Exercícios propostos Referências de exercícios resolvidos e exemplos do livro do Ogata 3ª edição Exemplos 61pág 265 e 62 pág 270 Problemas ilustrativos e resolvidos A63 pág307 A64 pág309 A65 pág310 A66 pág311 A67 pág313 Problemas do livro do Ogata 3ª edição a partir da pág 331