Controle de Processos Digitais - Estabilidade e Simulação com MATLAB-Simulink

TRABALHO DE CONTROLE DE PROCESSOS Q1 Para o processo digitalizado apresentado na figura 1 determine o range de K para que o processo seja estável utilizando o critério de JURY a 05 b 07 c 08 Q2 Utilizando o MATLABSIMULINK simule o processo descrito na questão 1 atribuindo valores para K com as seguintes situações 1 Processo estável 2 Processo marginalmente estável 3 Processo instável Plote os gráficos da entrada e saída do processo para cada valor de K Q3 Para o processo contínuo apresentado na figura 2 determine para que valores de tempo de amostragem T o processo será estável utilizando critério de Jury Q4 Utilizando o MATLABSIMULINK simule o processo descrito na questão 3 atribuindo valores para T as seguintes situações 1 Processo estável 2 Processo marginalmente estável 3 Processo instável Plote os gráficos da entrada e saída do processo para cada valor de T Q5 Identifique os parâmetros do processo K e T descrito na figura que segue através da sua resposta ao degrau onde a 5 b 07 c 8 Q6 Simule o processo descrito na questão 5 no MATLABSIMULINK plote o gráfico e compare com a resposta da questão Q7 A função de transferência do processo contínuo encontrado na questão 5 deve ser digitalizado considerando o conversor DACZOH plote o gráfico e compare as respostas Considerando T igual a 1 T 5 2 T 07 3 T 0004 Q8 Projete um controlador digital DeadBeat para o processo da questão 7 Considere que Ta segundos onde a 5 Q9 Simule o processo descrito na questão 8 no MATLABSIMULINK e plote as seguintes variáveis do processo 1 SP 2 MV 3 PV Q10 Simule o processo descrito na questão 9 no MATLABSIMULINK e plote as seguintes variáveis do processo Considere uma saturação na saída do controlador de a 50 1 SP 2 MV 3 PV Q11 Projete um controlador digital Dahlin para o processo da questão 8 Considere que Tb segundos onde b 7 Q12 Simule o processo descrito na questão 11 no MATLABSIMULINK e plote as seguintes variáveis do processo 1 SP 2 MV 3 PV Q13 Simule o processo descrito na questão 9 no MATLABSIMULINK e plote as seguintes variáveis do processo Considere uma saturação na saída do controlador de a 50 1 SP 2 MV 3 PV Q14 Projete um controlador digital PID para o processo da questão 8 objetivando que o overshoot reduza em 50 o valor com relação ao sistema contínuo descrito na questão 6 Considere que Tc segundos onde c 8 Q15 Simule o processo descrito na questão 14 no MATLABSIMULINK e plote as seguintes variáveis do processo 1 SP 2 MV 3 PV Q16 Faça uma conclusão sobre cada tipo de controlador utilizado considerando itens de performance Overshoot limites de controle tempo de subida estabilização Busca da referência Questão 1 A malha fechada é dada por Hz Gz1 Gz Kz aKz a z cz bz 1 E então o polinômio característico é Pz Kz a z cz bz 1 aplicando a 05 b 07 e c 08 temos Pz z3 25z2 206 Kz 056 05K Então montando a tabela temos Linha z0 z1 z2 z3 1 1 25 206 K 05K 056 2 05K 056 206 K 25 1 3 b2 b1 b0 sendo b0 05K 056 K 206 1 25 225K 066 b1 05K 056 25 1 K 206 05K2 047K 13464 b2 05K 056 1 1 05K 056 025K2 056K 06864 O sistema é estável se an a0 05K 056 1 resolvendo 088 K 312 Pz 1 0 1 25 206 K 056 05K 0 resolvendo K 0 Pz 1 0 1 25 206 K 056 05K 0 resolvendo K 1224 bn1 b0 025K2 056K 06864 225K 066 resolvendo 0 K 13225169 51153 0016 e K 117 Portanto temos que 0 K 13225169 51153 Questão 2 a Estável b Marginalmente estável c Instável Figura 1 Caption Questão 3 O processo é dado por Gs s 05s 08s 07s 1 aplicando o ZOH e a transformada z temos Gz z 1z Ls 05s 08 ss 1s 07 mas como s 05s 08 s 1s 07 47 1s 13 1s 1 221 1s 07 Consultando tabela temos s 05s 08 s 07s 1 47 zz 1 13 zz eT 221 zz e07T E logo Gz z 1 4 7z 1 1 3z eT 2 21z e07T 21z2 19e07Tz 14eTz 9z 12e17T 7e07T 2eT 21z eTz e07T A malha fechada será Hz Gz1 Gz 21z2 19e07Tz 14eTz 9z 12e17T 7e07T 2eT 42z2 40e07Tz 35eTz 9z 33e17T 7e07T 2eT sendo assim Pz 42z2 40e07Tz 35eTz 9z 33e17T 7e07T 2eT Aplicando o critério de Jury Linha z0 z1 z2 1 42 40e07T 35eT 9 33e17T 7e07T 2eT 2 33e17T 7e07T 2eT 40e07T 35eT 9 42 O sistema será estável se Pz 1 0 42 40e07T 35eT 9 33e17T 7e07T 2eT 0 e17T e07T eT 1 resolvendo T 0 Pz 1 0 42 40e07T 35eT 9 33e17T 7e07T 2eT 0 47e07T 33e17T 37eT 51 resolvendo qualquer valor de T é solução Portanto pelo critério de Jury este sistema será sempre estável Questão 4 Como o sistema é sempre estável vamos simular para T 0001 T 1 e T 1000 Os resultados são mostrados a seguir a T 0001 b T 1 c T 1000 Observe que o tempo de acomodação normalizado por T diminui drasticamente con forme T aumenta Isso indica que os polos estarão mais próximos da origem enquanto que para valores pequenos de T ele tende a ficar bem próximo do círculo unitário E ainda conforme vimos no critério de Jury o sistema não se instabiliza para nenhum valor finito de T Questão 5 Note que o sistema tem um integrador logo ele sempre seguirá a referência o que significa que o ganho estático do sistema é sempre 1 Isso implica que o degrau aplicado teve amplitude 5 A malha fechada é dada por Hs CsRs Gs1 Gs KTs2 s K KTs2 1Ts KT ωn2s2 2ζωn ωn2 ou seja ωn2 KT T Kωn2 2ζωn 1T K ωn2ζ Sabemos ainda que b é o máximo sobresinal e c é o tempo de pico e a seria o ganho estático do sistema Mas como ζ lnbaπ2 ln2ba c πωn1ζ2 ωn πc1ζ2 em que dividimos b por a pois o ganho do sistema não é nulo Assim obtemos que ζ 05305 ωn 04633 K 04366 T 20345 Questão 6 A resposta do sistema identificado é mostrada na FIG 2 Observe que o pico do sinal foi evidenciado e é mostrado que ele ocorre em t 8 e tem amplitude de Mp 07 Ou seja os valores são idênticos a resposta apresentada Figura 2 Resposta do sistema identificado Questão 7 IMPORTANTE aqui vamos considerar que o T da questão é o T da discretização e não do modelo da questão 5 Então o processo contínuo é dada por Gs 04366 s2034s 1 Caso 1 T 5 A discretização pelo método ZOH leva a Gz 1371z 06253 z2 1086z 008564 Caso 2 T 07 A discretização pelo método ZOH leva a Gz 1371z 06253 z2 1086z 008564 Caso 3 T 0004 A discretização pelo método ZOH leva a Gz 1371z 06253 z2 1086z 008564 Gráfico Plotando a saída da realimentação unitária das funções transferências acima obtemos as respostas mostradas na FIG 3 Optouse por separar o primeiro caso dos demais porque a resposta foi muito diferente e atrapalharia a visualização das outras duas curvas Primeiro observase que os dois sistemas são estáveis e seguem a referência como esperado de um sistema com integrador Ainda o sistema no Caso 1 apresenta maior oscilação induzindo que o polo está mais próximo do círculo unitário A medida que T diminui a curva se assemelha muito a curva contínua No Caso 3 a resposta se sobrepõe ao sistema contínuo Msa vemos que se adotarmos a taxa mostrada no Caso 2 o sistema não perde muita informação e economizará muito na quantidade de amostragem isto é de computação necessária a T 5 b T 07 e T 0004 Figura 3 Resposta ao degrau Questão 8 Para T 5 segue Gz 1371z 06253 z2 1086z 008564 isto é a1 1086 a2 008564 b1 13171 b2 06253 Então q0 1 b1 b2 05010 q1 a1q0 05439 q2 a2q0 00429 p1 q0b1 006868 p2 q0b2 03132 Figura 4 Resposta ao degrau E o controlador é Cz q0z2 q1z q2 z2 p1z p2 0501z2 05439z 00429 z2 06868z 03132 0501z 00429 z 03132 Questão 9 Na FIG 4 temos a resposta da malha fechada Note que o sistema acomodou em nT 25 10 validando o controlador DeadBeat projetado Note que a MV foi negativa em um trecho mas o sinal não foi muito agressivo isso porque o sistema contínuo também acomodava em torno de 125 segundos Questão 6 Então reduzir de 125 para 10 não demandou muita energia Questão 10 Na FIG 5 temos o sistema montado com a saturação de 0 a 50 e a sua resposta Com a adição da saturação note que a resposta mudou um pouco Sem o controlador poder enviar valores negativos PV passa do SP e não consegue mais reduzir sua amplitude Assim o sistema não segue a referência e acabou não acomodando no tempo projetado Um comportamento assim é esperado pois a adição da nãolinearidade da saturação não foi prevista no projeto Questão 11 Pelo Método de Dahlin temos que o controlador desejase que a malha fechada se comporte como Hds ehs τds 1 a Diagrama de blocos b Resposta do sistema Figura 5 Simulação da Questão 10 e seja A eTτd N h T Então o controlador é Cz 1 Gz 1 AzN1 1 Az1 1 AzN1 No processo ado sabemos que h 0 e então N 0 que leva a Cz 1 Gz 1 Az1 1 z1 1 Gz 1 A z 1 Considerando τd 144 35 segue que A e2 e então Cz 03937z 001261 z 03469 Questão 12 Na FIG 6 temos a resposta da malha fechada Note que o sistema acomodou em 4τd 14 validando o controlador Dahlin projetado O sistema seguiu a referência mas novamente MV atingiu valores negativos Indicando que o valor de energia inicial da ação de controle provocou uma mudança abrupta na saída basta perceber que o sistema sai de 0 para 087 em uma amostragem Figura 6 Resposta ao degrau Questão 13 Na FIG 7 temos o sistema montado com a saturação de 0 a 50 e a sua resposta Com a adição da saturação note que a resposta mudou um pouco Sem o controlador poder enviar valores negativos PV passa do SP e não consegue mais reduzir sua amplitude Assim o sistema não segue a referência e acabou não acomodando no tempo projetado Um comportamento assim é esperado pois a adição da nãolinearidade da saturação não foi prevista no projeto a Diagrama de blocos b Resposta do sistema Figura 7 Simulação da Questão 13 Questão 14 Usando o PID Tuner do MATLAB o controlador PID projetado da forma Cz Kp 1 1Ti Tz1 Td 1TdN Tz1 um PID com um filtro no derivativo para que ele seja realizável Configurouse como Tipo PIDF Forma Padrão Foco Seguidor de Referência Tempo de resposta 12 Comportamento transiente 0495 e os parâmetros da sintonia do controlador foram Kp 022 Ti 593 Td 779 Ts 8 Questão 15 Na FIG 8 temos o sistema montado com a saturação de 0 a 50 e a sua resposta O controlador conseguir seguir a referência e apresentou o overshoot desejado de 7 mas com um tempo de acomodação de 32 s A ação de controle também teve um momento negativo Figura 8 Simulação da Questão 15 Questão 16 DeadBeat Esta abordagem visa minimizar o tempo de subida e o tempo de acomodação evitando ainda o percentual de overshoot O sistema projetado foi estável e com uma ação de controle modesta embora seu valor tenha sido negativo a partir de um ponto Isso faz com que os limites de controle possam ser violados dependendo do tipo de atuador usado Sendo assim para um processo com atuador capaz de agir em dois sentidos o controlador projetado é a melhor indicação Dahlin O controlador Dahlin teve um desempenho muito próximo do DeadBeat Ele atendeu aos critérios de projeto com um tempo de acomodação de apenas 2T e não houve sobressinal Contudo seu tempo de subida foi um pouquinho menor que o primeiro Mas a malha fechada estabilizou o sistema embora com o mesmo problema do MV ter sido negativo depois de um tempo Para uma planta com um atraso de transporte este controlador pode ser mais útil visto que seu projeto leva em conta exatamente este aspecto Assim foi o segundo melhor controlador analisado PID O controlador PID obteve um desempenho inferior aos outros 2 em todos os aspectos exceto no tempo de subida Embora ele tenha estabilizado o sistema seu tempo de acomodação foi o maior dos controladores e houve sobressinal Novamente devido ao pequeno tempo de subida o controlador fez com que MV fosse negativo a fim de diminuir o transiente do sistema Assim sua ação de controle também não respeitos os limites Foi a abordagem com pior desempenho analisado