Teorema de Bolzano e Método da Bissecção - Anotações de Aula com Exercícios

Modelagem e Simulação PROF CARLOS ASSIS Informações A nota será através de NF Nota Final Trabalhos em Grupo Formar os Grupos Aula de Hoje 1008 Conteúdo Teorema de Bolzano Método da Bissecção TEOREMA DE BOLZANO O Teorema de Bolzano vainos permitir concluir que uma função contínua pode ter zeros num intervalo fechado mesmo que não os consigamos determinar Esta informação é particularmente útil para a determinação de uma aproximação dos zeros por um processo computacional RAÍZES REAIS GRÁFICO As raízes reais são os valores de x para os quais y é nulo ou seja a interseção do gráfico com o eixo x Graficamente Se fx é continua num intervalo a b e fa x fb 0 então fx tem pelo menos um zero em a b Gráfico Exemplo 1 Considere a equação x3 x2 3 0 É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo a20 15 b15 10 c 10 00 d00 10 SOLUÇÃO TEOREMA DE BOLZANO Continuação Logo a raiz está nesse intervalo Exemplo 2 Mostre que a equação 0 1 5 10 2 3 x x x não admite nenhuma raiz real positiva no intervalo 30 Logo não tem raiz nesse intervalo fx x3 10 x2 5 x 1 Exemplo 3 Mostre que a equação 0 1 20 1000 2 3 x x admite uma raiz real positiva no intervalo 5 1 0 Logo admite raiz nesse intervalo fx 1000 x3 20 x2 1 Método da Bissecção O Método da Bissecção determina uma raiz x de uma função fx num intervalo xaxb R onde fxafxb0 A ideia é diminuir o intervalo através de repetidas divisões ao meio do intervalo xaxb de tal forma que o valor de xa tenda ao valor de xb ou seja que a raiz c xa xb e que fc seja aproximadamente nula dentro de uma certa tolerância ε Exemplo 1 Mostre que 0 possui raiz aproximada igual a 172 O intervalo 12 Intervalo 15 2 Raiz 17320508075689 0 Continuação O intervalo 15 175 Exemplo 2 Intervalo 01 Intervalo 05 1 Raiz 0545183980266 0 Calendário 2408 2408 RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 3108 1º TRABALHO EM GRUPO VALOR 25 TEOREMA DE BOLZANO MÉTODO DA BISSECÇÃO 0709 FERIADO 1409 MÉTODO DE NEWTON EXEMPLOS EXERCÍCIOS 2109 MÉTODO DA SECANTE EXEMPLOS EXERCÍCIOS 2809 RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 0510 2º TRABALHO EM GRUPO VALOR 25 MÉTODO DE NEWTON 1210 FERIADO 1910 SISTEMAS LINEARES POLINÔMIO DE LAGRANGE EXEMPLOS EXERCÍCIOS CONTINUAÇÃO DO CALENDÁRIO 2610 RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 0211 FERIADO 0911 3º TRABALHO EM GRUPO VALOR 25 SISTEMAS LINEARES POLINÔMIO DE LAGRANGE 1611 EDO USANDO MÉTODOS NUMERICOS 2311 RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 3011 4º TRABALHO EM GRUPO VALOR 25 EDO USANDO MÉTODOS NUMÉRICOS Exemplo 3 A equação possui um zero no intervalo 01 Obtenha pelo Método da Bissecção com quantas iterações são necessárias Exercícios Para Revisão da Aula 1 Lista Com Exercícios Variados Método de NewtonRaphson A estimativa do zero da função YfX é feita a partir da reta tangente à função em um ponto de partida O ponto em que essa reta tangente intercepta o eixo das abscissas corresponde à estimativa do zero da função Se o valor estimado não atender à tolerância estabelecida para o problema ou seja fzetol repetese o esquema até que a mesma seja verificada Equação de recorrência Para o triângulo retângulo destacado na figura tanθ fa faa ze ze a fafa Exemplo 2 fx x3 6x2 11x 8 con x₀ 4 xi1 xi fxifxi xr 35214 Exemplo 1 chute inicial x₀ 4 Determine a raiz real positiva da função fx x3 8x com precisão de 001 empregando o Método de Newton Raphson SOLUÇÃO